N維球體體積的麥克斯韋分布率推導

☉湖北省武漢二中高三1班 葉 千

N維球體體積的麥克斯韋分布率推導

☉湖北省武漢二中高三1班 葉 千

麥克斯韋分布率是熱平衡狀態下的速度分布函數，本文從速度空間及概率的角度給出一種較為簡明的數學推導.

其由無數個體元構成，其體元形式為vx～vx+dvx；vy～vy+dvy；vz～vz+dvz，于熱平衡狀態下其概率表達式Fm（v）dv= Fm（vx，vy，vz）dvxdvydvz.

Fm（v）=Fm（vx，vy，vz）為麥克斯韋分布函數.

麥克斯韋假設Ⅰ 熱平衡狀態下速度分布函數彼此獨立.

Fm（vx，vy，vz）dvxdvydvz=Fm（vx）dvx·Fm（vy）dvy·Fm（vz）dvz，Fm（vx，vy，vz）=Fm（vx）·Fm（vy）·Fm（vz）（1）.

麥克斯韋假設Ⅱ 熱平衡狀態下各向同性.

即Fm（vi），i=x、y、z是相同的分布函數，可稱為麥克斯韋分布，引入v～v+dv間的球殼，概率關系式有：

Fm（vx，vy，vz）4πv2·dv=fm（v）dv，fm（v）=4πv2·Fm（vx，vy，vz） （2）.

對（1）式取對數，lnFm（vx，vy，vz）=lnFm（vx）+lnFm（vy）+ lnFm（vz）=lnFm（v）.

（3）式即為麥克斯韋分布率，我們通常利用其去研究推導某些物理量的統計平均.

本文通過對麥克斯韋分布率的推導發現它還可過渡到數學的N維空間研究中，我們由此巧妙地推導出N維球體的面積及體積公式.

二維中S2（R）=2πR，V2（R）=πR2；

不妨設SN（R）=αN·RN-1.全空間概率積分為1.

此處將R改為了V，因為是速度空間將N改為N+2，同樣成立，有

分兩種情況求αN.

回歸SN（R）、VN（R），知：

由上述推導，我們獲得了N維球體的面積及體積公式，本文對我們學習研究N維空間給出了一種新思路.

1.趙凱華，羅蔚茵.熱學［M］.北京：高等教育出版社，1998.

2.馬文蔚，周雨青.物理學教程［M］.北京：高等教育出版社，1999.A