“線性代數在線智能學習系統”的建立與探索

◆閻家斌 宋叔尼 秦宏超 孫艷蕊

(東北大學理學院)

線性代數是高等學校理工科各專業和經濟管理類專業的一門重要基礎課，它不但是學習數值分析、最優化方法、離散數學和微分方程等數學課程的基礎，也廣泛地應用于工程學、計算機科學、物理學、生物學、經濟學、統計學、力學、信號與信號處理、系統控制、通信、航空等學科和領域。線性代數包含行列式、矩陣、向量、線性組合、線性相關、秩、線性方程組、線性空間、線性變換、基、維數、坐標、向量正交、二次型、慣性指數等大量的抽象數學概念，也包含行列式計算、矩陣求逆、矩陣作初等變換、矩陣和向量組求秩、向量組求極大無關組、線性方程組求解、線性空間求基、維數和坐標、將矩陣相似對角化、二次型化標準形等大量的具體計算。由于學生計算能力較差，邏輯思維能力不是很強，導致學生在學的過程中不知所措，學完之后很快忘記。為了適應學生學習線性代數課程，我們制作了“線性代數在線智能學習系統”，使學生可以利用網絡資源在線進行學習和測試，提高了學生學習興趣，改善了學習效果。

一、“線性代數在線智能學習系統”的建立背景

由于線性代數課程中存在大量計算問題。例如，行列式的計算、求矩陣的逆矩陣、對矩陣作初等變換、求矩陣和向量組的秩、求向量組的極大無關組、求線性方程組的解、求線性空間的基、維數和坐標、將矩陣相似對角化、化二次型為標準形等。讓學生掌握這些問題的計算方法無疑是重要的，也是學習線性代數課程的最基本的要求。然而，由于線性代數課程課時比較少，學習周期比較短，課程中又有很多抽象的概念，使得學生很難在短時間內消化所學的知識，對這些大量的計算問題也很難找到其中的規律。又由于眾所周知的原因，現在的線性代數課程都采用大班上課，學生和教師溝通的機會相對較少，使得線性代數課程的教學效果并不是很好。

為了讓學生學好這門課程，任課教師采用一系列教學方法。比如，按時布置并批改作業，按時安排課程答疑，但由于學生常年養成的被動式學習方法，答疑時很少有學生提出具體的問題，作業也是為了應付教師的要求，甚至有不少抄作業現象，而任課教師很難解決這些問題。要想有效解決這些問題就要對教學方法作進一步改革。

我國大學應當扭轉重理論教育輕實踐教育的風氣。加強實訓基地建設，根據學科專業教育特點，努力在校內和校外建立持久穩定、質量有充分保障的實訓基地，使學生能夠有充分的機會將所學的理論和知識用于實踐中。原教育部副部長周遠清教授說:“教學方法偏死在中國是長期存在的難題。我們提出培養創新能力，如果教學方法不改革，不能有效地開展啟發式教學、案例教學，如何培養創新人才?”隨著計算機技術的飛速發展，人類社會正在進入網絡信息時代，同時，信息技術本身也正在對教育的改革產生深遠的影響，并且成為教育現代化的核心和成功的關鍵。為了適應時代的發展，充分利用網絡資源是教學改革的重要手段，也可以有效提高學生的創新能力。在此背景下，我們建立了“線性代數在線智能學習系統”。

二、“線性代數在線智能學習系統”的內容和功能

由于線性代數課程中存在大量計算問題，而很多問題都有著內在的規律性。我們將各類具有相同規律的問題歸納到一起，構造成具體的線性代數問題，其中大量參數可以隨機生成。這樣，每一個問題又有著大量的隨機性，而求解思路和過程都是固定的，對每個問題都可以給出一個具體的、系統的解題方法，使得每一類問題有一個統一的解題方法，而每一類問題又都有著大量的變化。例如，系統可以隨機生成一個向量組，利用矩陣秩的計算方法求出向量組的秩，再利用向量組的秩判定向量組的線性相關性，進一步求出向量組的一個極大線性無關組，并把不屬于極大無關組的向量用極大無關組線性表示，系統會給出每一步的具體計算過程。由于向量組生成的隨機性，向量組的秩和其它結果都是變化的，這就解決了線性代數習題的單一性，相當于給出一個大題庫。通過大量細致的工作，我們把線性代數各章內容都歸納出一些常見的、典型的、具有一定代表性的問題，組成100分值的計算題，形成了“線性代數在線智能學習系統”，通過和網絡進行鏈接，學生在任何環境下，只要登錄到校園網進入系統就可以進行自主學習。

“線性代數在線智能學習系統”分為在線學習和測試兩個功能。進入在線學習系統，學生可以按章節自由生成相應題目練習，系統可以隨時對每個題目給出詳細的解答方法，學生可以根據解題方法分步檢驗自己對相應內容的掌握情況，系統可以重復生成同種類型但結果可能完全不同的其它題目，供學生練習。而且可以一直進行下去，直到完全掌握題目的解答方法為止。從而達到學習的目的。進入測試系統，系統對應教材按章分類，每一章對應100分值的題目，學生解答完畢后，只要提交，系統就會自動打分。學生可以通過打分了解自己對該部分內容的掌握情況。系統會自動對所有學生提交的題目打分并保留結果，系統也會對所有提交的題目按錯誤進行分類保存，教師就可以容易地了解全班學生的學習狀況，教師可以通過查詢結果，了解學生對每一類題目的掌握情況，并及時反饋到教學中，從而達到提高教學質量的目的。

三、“線性代數在線智能學習系統”在教學中的應用

我們將“線性代數在線智能學習系統”應用到線性代數課程的教學中，要求學生以測試系統題目作為作業，必需按時提交，而且按系統給出的分數作為平時成績，否則沒有平時成績。這樣就促使學生必需要作。而由于系統中任何一道題都是隨機生成的，在一段時間內生成完全相同的題幾乎是不可能的，這就避免了抄襲作業的現象。而學生為了取得較好的平時成績，就要先按學習系統題目進行練習，把內容掌握以后再進入測試系統測試提交，這就增加了學生自主學習的動力。

由于線性代數課程采用大班教學，使得教師難于對每個學生的作業進行認真批改，也就很難對每個學生的學習作全面了解。應用“線性代數在線智能學習系統”后，由于系統對提交的內容有嚴格的審核、給分標準，這就代替了教師批改作業的工作。教師可以隨時進入系統查看每個班學生提交的題目，由于系統會對提交的題目按錯誤進行分類保存，教師就可以容易地了解全班學生的學習狀況，減輕了工作強度，也就提高了工作效率。

線性代數課程涉及學生專業很廣，結合這個特點我們編制了相應的教材，教師也根據不同專業學生的特點，引入大量相應的應用例題，編制了相應的多媒體教學課件。注重引導學生如何探索和發現知識，以具體的應用實例出發引入相應的概念及解決方法。增加了學生對課程的興趣和對知識的渴望。

為了更好地體現線性代數課程與計算機等現代教學設備的聯系，我們還開發了線性代數計算機考試系統，系統可以隨機生成不同考題，而試題覆蓋了線性代數課程的各章節的內容，包含了線性代數的各類計算方法，完全由學生自我考核，即提高了學生的動手能力，也提高了學生學習線性代數課程的興趣，也提高了學生應用計算機解決實際問題的能力。而且試題完全由計算機自動打分，學生提交試題就能看到自己的成績，并可以看到哪些試題出現了什么樣的錯誤，便于學生學習。

現在，我們有了“線性代數在線智能學習系統”，與教材、多媒體課件以及線性代數計算機考試系統有機地結合到一起，形成了完整的教學、考試體系，而學生只要登錄到計算機網絡平臺，就可以同時查看課程的多媒體教學課件、線性代數在線智能學習系統、線性代數教學大綱、線性代數各年考試試題、線性代數各年研究生入學考試試題等學習資源。學生還可以通過提問、留言等形式與教師進行溝通，大大提高了學生學習線性代數課程的興趣。實踐證明，這一套教學體系得到學生的歡迎與認可，提高了學生的學習成績。

從線性代數課程的角度來看，學生的創新精神、創新能力的培養主要通過應用數學方法解決具體實例來體現。李大潛院士指出:“數學的教學不能和其它科學和外部世界隔離開來，只是一個勁地在數學內部的概念、方法和理論中打圈子，這不利于了解數學的概念、方法和理論的來龍去脈，不利于啟發學生自覺運用數學工具來解決各種各樣的現實問題，不利于提高學生的數學素養”。在高等學校，線性代數教學涉及專業廣，涉及學生人數眾多，加強課程與計算機的結合，加強課程的實際應用，讓學生通過具體實踐去認識、掌握所學的知識，并運用所學的知識去解決實際問題，無疑是重要的，也需要我們去進一步探索、實踐。

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