論芝諾悖論的“語言解答”

宋 偉

(湖北大學哲學學院，武漢 430062)

一、問題的緣起

從哲學史上看，芝諾悖論的解答大致有3種類型:一是“語言解答”，如亞里士多德(Aristotle)和穆勒(John S.Mill)的解答;二是“數學解答”，如德摩根(Augutus De Morgan)和羅素(Bertrand Russell)的解答;三是“形而上學解答”，如黑格爾(Georg W.F.Hegel)和柏格森(Henry Bergson)的解答。其中“語言解答”是一種歷史悠久且最為樸素的解答，由于這一解答與“數學解答”之間的爭論與20世紀60年代西方哲學有關日常語言是否需要改革的爭論有關，所以在這一背景下對芝諾悖論的“語言解答”重新加以考察和討論將有助于對芝諾悖論有更為深入的理解和思考。

亞里士多德在其《物理學》中提出，時間、距離以及任何連續的東西通常被稱為“無窮的”實際上包含了兩種涵義:一是劃分(divisibility)的無窮，二是延展(extrimeties)的無窮［1］233a(23－29);其針對芝諾悖論提出的潛無窮(potential infinite)和實無窮(actual infinite)的區別［1］263a(29－30)，263b(1－10)也正是這兩種涵義的區別。從這個意義上說，亞里士多德對芝諾悖論的解答屬于指出芝諾的論證中包含了語詞歧義的“語言解答”。自亞里士多德之后至今，不少學者在討論“無窮的”這一概念時堅持“無窮可劃分”與“無窮”的區別，即可劃分出無窮多個部分的東西與其自身是無窮的不是一回事，并將這種區別視為是對芝諾悖論的解答。由于這類解答均認為芝諾悖論是借語詞歧義而進行的一種不相干結論的詭辯、一個證明了與其假裝要證明的命題并不相同的命題的論證，所以這類解答均可被視為是對芝諾悖論的“語言解答”。不過，由于“無窮”這一概念與“無窮小”、“無窮大”、“極限”、“級數”這些數學概念有著內在的關聯，所以芝諾悖論從一開始就注定與數學有著密不可分的聯系，而找出芝諾悖論的“數學解答”也就成了一件自然而然的事。19世紀末，隨著康托爾(Georg Cantor)集合論和連續統理論的提出，芝諾悖論被認為找到了完美的“數學解答”，如羅素在其《神秘主義與邏輯》一書中就認為:“每個時代最杰出的才智之士都在徒勞地企圖回答伊利亞的芝諾提出的那些明顯不可回答的問題，最終格奧爾格·康托爾找到了答案并為理智開創了一個一直混沌不堪、晦暗不明的廣闊新領域。”［2］64對于康托爾的解答，羅素進一步評論說:“對于那些熟悉數學的人來說，這種解答如此清晰以至于沒有再留下一絲一毫的可疑之處。”［2］81按照羅素的上述看法，康托爾對芝諾悖論的“數學解答”似乎是唯一正確、深刻和徹底的解答，而別的任何解答包括“語言解答”似乎都算不上是什么真正的解答。

自羅素之后，許多學者繼續致力于對芝諾悖論的“數學解答”，時至今日，肇始于數學直覺主義者外爾(Hermann Weyl)在討論芝諾悖論時所提出的一個無窮機器即在有窮時間內可執行無窮多次任務的機器是否存在的問題仍在被許多學者所討論。相比之下，芝諾悖論的“語言解答”似乎被許多學者認為只是對芝諾悖論自身的一種重新表述和解釋，因其未能把握問題的“關鍵所在”或“要害之處”，所以根本算不上是一種解答。不過，正如薩爾蒙(Wesley C.Salmon)在其主編的《芝諾悖論》一書的導言中所說:“記住芝諾悖論是有關物理變化、物理運動和物理重復(plurality)的論證尤為重要。它們可以說是應用數學的悖論，沒有任何純粹數學的理論能夠完全解決它們。盡管要解決這些悖論有必要給出有關連續統、收斂無窮級數的和、函數和導數等數學概念邏輯上一致的說明，但這樣做還遠遠不夠，還必須要表明這些數學概念如何能用于描述物理現象以及如何給出所需要的相關定義，而這正是語義問題。”［3］33由此看來，即使是“數學解答”，由于涉及到“描述物理現象”、“給出所需要的相關定義”這些“語義問題”，似乎仍與“語言解答”即指出芝諾悖論中所存在的語詞歧義和混淆有著不可完全分割的關系，加上堅持“語言解答”的學者對“數學解答”的不斷批評和反駁，所以芝諾悖論的“語言解答”盡管歷史悠久且最為樸素卻仍然值得被認真考察和討論。

二、以穆勒、賴爾和古德斯坦為例

自亞里士多德之后至19世紀，恩皮里克(Sextus Empiricus)、奧古斯丁(St.Augustine)、阿奎那(Thomas Aquinas)、司各脫(Duns Scotus)、霍布斯(Thomas Hobbes)、洛克(John Locke)、康德(Emmanuel Kant)、穆勒(John S.Mill)等人都直接或間接地提出了芝諾悖論的“語言解答”，這些解答基本上都沿襲了亞里士多德的解答，即“無窮的”有兩種涵義、“無窮”和“無窮可劃分”不是一回事，其中就這類“語言解答”的全面程度和詳細程度來看，穆勒的解答都可以說是這類解答中的一個典型代表。

在《威廉·哈密爾頓爵士的哲學考察》一書中，穆勒詳細討論了芝諾悖論中的“阿基里斯”和“飛矢”悖論。在他看來，既然“二分法”、“阿基里斯”、“飛矢”、“運動場”這4個芝諾悖論只是同一種論證的4種不同形式，所以討論其中的兩個就夠了［4］474。

穆勒首先討論了“阿基里斯”悖論，該悖論大意是說:讓阿基里斯比烏龜跑得快100倍，但要是烏龜有先跑的優勢，阿基里斯將永遠追不上烏龜;因為假如二者起初隔了1 000米遠，當阿基里斯跑完這1 000米時，烏龜會向前跑10米，當阿基里斯又跑完這10米時，烏龜又會向前跑1/10米，就這樣永遠下去，阿基里斯將永遠追不上烏龜。穆勒認為，芝諾的這一悖論假定了穿過“無窮可劃分的”空間需要“無窮的”時間，但“無窮可劃分的”空間并不意味著“無窮的”空間，僅意味著“有窮”空間的無窮可劃分，而穿過有窮的空間只需要有窮的時間;另一方面，這一悖論僅僅表明了穿過“無窮可劃分的”空間需要“無窮可劃分的”時間而不是“無窮的”時間，因為“無窮可劃分的”時間本身可以是“有窮的”，實際上，無論多么短的有窮時間都是“無窮可劃分的”;因而，阿基里斯會在極短的時間內追上烏龜［4］474。除了上述在《威廉·哈密爾頓爵士的哲學考察》一書中對“阿基里斯”悖論的討論之外，在其《邏輯體系》一書中，穆勒對“阿基里斯”悖論也作了簡單討論。穆勒認為，結論中的“永遠”(forever)即“阿基里斯將永遠追不上烏龜”中的“永遠”的意思是指所能設想的任意長時間，而前提中的“永遠”即“就這樣永遠下去”中的“永遠”的意思并不是指任意長時間，而是指時間任意多次的再劃分，因而芝諾這一悖論所表明的僅僅是穿過“有窮的”空間需要“無窮可劃分的”時間而不是“無窮的”時間［5］535。穆勒顯然認為“阿基里斯”悖論不過是歪曲了“無窮”和“無窮可劃分”這兩個語詞的意思，純粹屬于語詞混淆和不相干結論的謬誤。無疑，穆勒這里對“無窮”與“無窮可劃分”的區分完全是沿襲了亞里士多德對此二者的區分。

接下來，穆勒討論了“飛矢”悖論。這一悖論的大意是說:如果一個物體運動，那么它肯定或者在它所在的位置上運動或者在它所不在的位置上運動，但在這兩種情況下運動都是不可能的，所以飛矢不可能運動。在穆勒看來，即使這一悖論無法反駁，也并不表明我們的運動觀念中有任何矛盾;我們不是想象一個或者在它所在的位置上運動或者在它所不在的位置上運動的物體，而是想象一個從它所在的位置到它所不在的位置的物體，換句話說，我們想象一個先后出現在一個位置和另一個位置上的物體;這樣，在這一時刻的一個位置和下一時刻的另一個位置之間就不會有什么觀念上的矛盾。至于這一悖論的錯誤，穆勒認為，沒必要說運動應當在一個位置上，因為運動不是對象而是變化，說位置的變化應當或者在舊位置上或者在新位置上是用詞上的矛盾。而對于“位置”這個詞，穆勒認為其實際上存在兩種涵義:一種指可劃分的空間部分，另一種指不可劃分的最小空間部分;如果是前者，如房間、街道等，那么在這一意義上說每個運動都在一個位置上即在一個有限的空間部分內則是正確的，而且在這一意義上，由于物體確實在它所在的位置上運動，所以“飛矢”悖論就消失了;但要是我們把“位置”理解為不可劃分的最小空間部分，運動必須在一個位置上顯然就是錯誤的，因為運動只能是去往這樣一個位置或來自這樣一個位置［4］474－475。由以上論述可以看出，穆勒對“飛矢”悖論的解答是一種標準的“語言解答”，即指出了其中所存在的語詞歧義和混淆以及不相干結論的謬誤［4］475。

20世紀日常語言學派的一個代表人物賴爾(Gilbert Ryle)曾以芝諾悖論中的“阿基里斯”悖論為例從日常語言的角度對其進行了一番分析。在賴爾看來，正是因為我們學會了用“部分”、“整體”、“分散”、“集中”、“加加”、“減減”等這些相互交疊的概念來進行抽象的思考，我們才能夠算出阿基里斯何時能趕上烏龜并會對阿基里斯永遠追不上烏龜這一論證感到困惑［6］48。賴爾顯然認為，許多概念的使用一方面在解決問題另一方面也在造成問題，原因就在于這些概念是“相互交疊的”，也即是說這些概念在不同的使用中常常會出現歧義和混淆。為了說明這一點，賴爾首先對“所有”或“全部”(all)這個詞進行了分析，認為應當區分作為“總和”(total)的“全部”和作為“任意一個”或“任意一次”(any)的“全部”。在分析了“全部”這個詞的兩種涵義之后，賴爾指出“阿基里斯永遠追不上烏龜”中的“永遠不”(never)一詞也存在著兩種涵義:其中一種涵義指的是，比賽開始后，阿基里斯要經年累月地進行無望的追趕，比賽會永久地進行下去;但這種涵義與我們談論算術時說1/2、1/4、1/8、1/16……這樣一種二分永遠不會終止中的“永遠不”的涵義完全不同;二者的唯一關聯是，如果一臺電腦試圖將上述二分繼續進行下去直到找到一個不可再二分的數，那么它會發現這一目標將永遠不可能實現，它需要永久地運行下去［6］50－51。賴爾這里對“永遠不”一詞的涵義的區分與穆勒對“永遠”一詞的涵義的區分顯然異曲同工，其對“永遠不”和“永遠劃分不完”的區分無疑也是亞里士多德對“無窮”和“無窮可劃分”的區分的一個變體。

在指出“阿基里斯永遠追不上烏龜”中的“永遠不”一詞存在著兩種涵義的基礎上，賴爾對“阿基里斯”悖論作了如下評論:“我們以一種腔調來談論比賽，又以另一種腔調來談論算術，而在談論比賽的算術時，我們不得不混合這兩種腔調，這樣，我們很容易就會發覺我們正在用一張嘴巴同時談論兩件事情。”［6］52不難看出，賴爾對“阿基里斯”悖論的這一評論基本上也適用于其他3個芝諾悖論。

不僅僅是像穆勒和賴爾這樣的非數學家給出了芝諾悖論的“語言解答”，即使是數學家也有傾向于芝諾悖論的“語言解答”的，古德斯坦(Reuben L.Goodstein)就是一個例子。在其《數學哲學散論》一書中，古德斯坦闡述了自己對于“阿基里斯”悖論的理解。在他看來，幾個世紀以來，數學家們都誤解了這一悖論，認為這一悖論不過表明了芝諾對于無窮級數也可以有有窮總和這一事實的無知;而實際上這一悖論的問題在于:芝諾硬是要將一個本無意義的活動即完成一個無窮序列的活動說成是有意義的［7］21－22。古德斯坦認為，在“阿基里斯”悖論中，“芝諾混淆了為路線上任意一個二分點命名的可能性和為所有二分點命名的可能性。就像如果我在0和1之間劃一條線段，那么在0和1之間就有無窮多個我可以命名的分數，在這一意義上，我可以說穿過了其間的無窮多個點。但可以為其間的任意一點命名和可以為所有的點命名卻是兩回事。無論我怎樣命名，總會剩下沒被命名的分數，但即使我們不能命名所有的分數，難道我們就沒有穿過從0到1之間所有的點嗎?”［7］22古德斯坦這里對“為所有二分點命名”和“為任意一個二分點命名”的區分無疑是又一種形式的“無窮”和“無窮可劃分”之間的區分，這一區分顯然表明古德斯坦認為“阿基里斯”悖論的實質就在于語詞的歧義和混淆。

或許在古德斯坦看來，不僅“阿基里斯”悖論是在將“本無意義的活動”“說成是有意義的”，其他芝諾悖論也同樣如此，而語言意義的混亂正是造成芝諾悖論的根本原因。

三、批評與反駁

20世紀60年代，在西方哲學有關日常語言是否需要改革的爭論中，芝諾悖論常常被爭論雙方用作論證各自觀點的一個例證，由此導致了芝諾悖論的“語言解答”與“數學解答”之間長期的爭論。

在《為什么日常語言需要改革》一文中，麥克斯韋(Grover Maxwell)和費戈(Herbert Feigl)論證說，科學和哲學的研究需要一種對日常語言進行合理重構的“非日常語言”。在論證中，二人就芝諾悖論的解答作了如下評論:“我們知道許多在日常語言的框架內解決這些悖論的嘗試，但我們不認為這些嘗試是成功的，其中有些似乎犯了‘不相干結論的謬誤’。正因如此，在我們看來，盡管這些悖論是以日常語言提出的，它們卻可以用非日常語言來解決。我們的意見是，即使某些日常語言的解決嘗試是成功的，非日常語言的解決也會更徹底、更完全、更優雅和更簡單。”［8］492麥克斯韋和費戈這里所說的“非日常語言”基本上指的是數學語言和科學語言，二人顯然認為只有科學性的“數學解答”才能稱得上是芝諾悖論的真正解答或最終解答。針對麥克斯韋和費戈的這一認識，特內普(Eugene TeHennepe)在《語言改革和哲學專橫主義》一文中提出了如下不同的意見:(1)芝諾悖論不僅是以日常語言提出的，而且其唯一真正的解答也是基于對“無窮”這個詞的分析上的“語言解答”;(2)這種分析和解答并不是哲學的新近發明，而是有悠久的歷史傳統;(3)存在別的一些有人愿意將其稱作“解答”的對于芝諾悖論的理解和思考;(4)只要不持一種哲學專橫主義的態度，也即是說，不將一些哲學方法、學說或結論毫無批判地從一個哲學領域移植到另一個哲學領域甚至完全應用于整個哲學領域，這些思考或“解答”就不會導致沖突［9］43。顯然，特內普在堅持“語言解答”是芝諾悖論唯一真正解答的同時，也承認可以從數學的方面對芝諾悖論進行理解和思考，但他反對將這種理解和思考看作是對芝諾悖論的“解答”，更不用說是一種“更徹底、更完全、更優雅和更簡單”的解答了。為此，特內普首先對求無窮收斂級數的和這種“數學解答”進行了批評。特內普認為，不論這種方法多么巧妙、計算多么精確，它都不是對芝諾悖論的解答，因為芝諾悖論的關鍵之處就在于無窮收斂級數不同于其相加后得到的和，不斷接近目標并不等于達到了目標［9］44。而對求助于康托爾集合論的這種“數學解答”，特內普則批評說，一旦熟悉了康托爾的無窮概念并習慣于用有關無窮的那些概念來說話，就可能會忘記其中涉及到對一些概念重新作出的巧妙定義。當這種新語言帶著無窮集、無窮級數的和、可序數無窮這些在數學語境中通常可恰當談論的概念被毫無批判地移植到日常語言中時，混亂和矛盾就出現了［9］47。在批評了以上兩種“數學解答”并對亞里士多德、洛克和康德有關“無窮”概念的討論進行了一番分析之后，特內普指出，堅信芝諾悖論的“數學解答”不僅是一種解答而且是一種最優的解答，實際上是對科學和科學語言的崇拜，是一種哲學專橫主義的表現［9］48。

盡管有特內普對“哲學專橫主義”的指責，但在對待芝諾悖論的問題上，格倫鮑姆(Adolf Grünbaum)似乎是一個下決心要將對“科學和科學語言的崇拜”表現到極致的“哲學專橫主義者”。在《現代科學與芝諾悖論》一書中，通過對“將然”(becoming)及其心靈依賴問題的討論，格倫鮑姆對時間事實上是怎樣的即在現代物理學的基礎上時間是怎樣的和我們所體驗到的時間是怎樣的進行了區分并試圖以此入手來對芝諾悖論作出“科學解答”或“數學解答”。在結束對“二分法”和“阿基里斯”悖論的討論后，格倫鮑姆對特內普的“語言解答”提出了如下批評:“我希望尤金·特內普近來的一篇文章能引起注意，它表明日常語言哲學能讓芝諾對運動學理論的正當挑戰遭受什么樣蒙昧主義的貶損。”［10］108格倫鮑姆這里顯然給“語言解答”貼上了一個“蒙昧主義”的標簽，而他寫《現代科學與芝諾悖論》一書的目的就是讓這種“蒙昧主義”的“語言解答”聲名掃地。

對于格倫鮑姆的這種“科學和科學語言崇拜”，許多學者對其進行了批評，約翰·麥基(John R.Mckie)就是其中一位。在《芝諾悖論的可信服性》一文中，麥基對格倫鮑姆頗具現象學色彩的有關芝諾悖論的“數學解答”或“科學解答”進行了批評。麥基認為格倫鮑姆將運動視為是按時間順序依次發生的事件序列的認識是錯誤的，實際上我們對物理過程在時間上展開的體驗并不是以這種方式來劃分的。我們體驗不到一個明顯的“緊接在出發事件之后的下一個事件”，也體驗不到一個明顯的“到達目標之前的倒數第二個事件”。人類意識中的“現在”或“當下”(nows)并不是以這種方式被一次次劃分出來的，其順序并不像心臟的跳動或鐘表的走動那樣表現出一種依次相隨的離散性，它們不是可數的或一個緊接著一個彼此分離的［11］635。在批評了格倫鮑姆基于現代物理學的兩種時間區分之后，麥基認為芝諾悖論讓人困惑不已的根源就在于其中存在著概念和語言問題，格倫鮑姆雖然認識到了這些問題，但他輕視了它們的反直觀性，一味地試圖從我們對時間的理解和體驗的差異入手來“科學地”或“數學地”解答這些悖論［11］637－638。以“阿基里斯”悖論為例，麥基認為該悖論之所以令人困惑是因為蘊涵著這樣一個問題，即“結束(end)一個不可結束的(endless)過程如何可能?”而在這一問題中“結束”一詞是有歧義的，即其具有兩種涵義:一是就穿過不斷再劃分的無窮空間序列中最后一個空間區間而言，阿基里斯不可能“結束”他的追趕過程，因為根本就不存在“最后一個空間區間”;二是就穿過不斷再劃分的無窮空間序列中每一個空間區間而言，阿基里斯可以“結束”他的追趕過程，因為每一個空間區間都是有窮的。至于這種歧義產生的原因，麥基認為主要在于我們將日常生活中所謂完成或“結束”一項任務或一個過程這種有窮事例中的判據用到了無窮事例中，在有窮事例中，“結束”一詞的上述兩種涵義是重合的，而在無窮事例中，這兩種涵義是不重合的。在上述分析的基礎上，麥基得出結論說，芝諾悖論的令人困惑之處正是像“結束不可結束的”、“完成不可完成的”、“窮盡不可窮盡的”等這樣一些矛盾的概念和語言問題所造成的，格倫鮑姆想要從感知問題入手來解決這些悖論，但真正的問題還是概念問題［11］638－639。

由以上爭論可以看出，芝諾悖論的“數學解答”雖然顯得更具科學性，但其給“語言解答”簡單地貼上一個“蒙昧主義”的標簽似乎根本不能讓堅持“語言解答”的學者所信服。如果如斯特勞森(Peter Strawson)所說，與非科學論述中所使用的概念有關的哲學問題并不能通過制訂與科學論述中所使用的更為精確的概念有關的規則來加以解決，否則最后就不是在解決問題而是在改變問題［12］505，那么與“數學解答”相比，芝諾悖論的“語言解答”才算是一種真正的“解答”，而“數學解

答”只能算是特內普所說的對芝諾悖論的一種數學的“理解和思考”，雖然其似乎“更科學”，但并不能真正消解芝諾悖論，因而不能算是一種真正的“解答”。卡爾納普(Rudolf Carnap)在論述芝諾悖論的解答時雖然認為芝諾悖論的解答需要一種能夠恰當表述問題從而可以避免表達和推理矛盾的新語言，但并不認為因此就要排斥或貶低日常語言在芝諾悖論解答中的作用，在他看來，新語言完全可以和日常語言相互補充共同來解答芝諾悖論［13］938－939。這一折衷主義的認識顯然不僅適用于芝諾悖論的解答，而且也適用于有關日常語言是否需要改革的爭論。

四、結束語

芝諾悖論的“語言解答”和“數學解答”互相指責對方沒有抓住問題的關鍵、犯了不相干結論的錯誤，但只要不持一種“專橫主義”的態度，不堅持自己的“解答”就是“更徹底、更完全、更優雅和更簡單”的“解答”，而能綜合考慮包括“語言解答”、“數學解答”和“形而上學解答”在內的各種“解答”，那么對于芝諾悖論的理解和思考就一定能夠更為全面和深刻。或許正是由于受到芝諾悖論的各種“解答”的影響，許多文學家也在其作品中紛紛提出了自己對于芝諾悖論的見解。如，托爾斯泰(Leo Tolstoy)在《戰爭與和平》一書中針對“阿基里斯”悖論提出:悖論的荒誕之處就在于本是連續的運動被任意地劃分成了不連續的組成部分，而只有在一個有關無窮小的現代數學分支出現之后，這一悖論才能得到解決［14］180。再如，博爾赫斯(Jorge L.Borges)在考察了哲學史上諸多哲學家對“阿基里斯”悖論所作的“解答”之后認為:“無窮”“這個令人憂慮的詞(然后是概念)是我們膽大妄為地創造的，一旦把它變為思想，就會爆發和殺死思想。”［15］185在這一認識的基礎上，博爾赫斯對羅素用康托爾集合論的方法對“阿基里斯”悖論所作的“解答”贊賞不已。托爾斯泰和博爾赫斯無疑都注意到了“阿基里斯”悖論中的語言問題和數學問題，但就像一些數學家傾向于芝諾悖論的“語言解答”一樣，兩位文學家則傾向于芝諾悖論的“數學解答”。這也許是一個有趣的現象，但不管怎樣，兩位文學家并沒有給芝諾悖論的“語言解答”貼上一個“蒙昧主義”的標簽。

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(責任編輯 張佑法)