非線性轉子的反向全周碰摩響應

張華彪，陳予恕

(1.哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150001;2.中國科學院 工程熱物理研究所，北京 100190)

旋轉機械在工程中有非常廣泛的應用。為了提高旋轉機械的性能，轉靜件之間的間隙被設計得越來越小，從而使得系統發生碰摩可能性的越來越大。轉靜碰摩可能導致葉片斷裂、轉子失穩，甚至造成嚴重的運行事故。

通常發生在轉子工作轉速范圍內的碰摩有兩種:全周碰摩和局部碰摩。相比于局部碰摩，全周碰摩發生時轉子和靜子出現連續的接觸，具有較大的危害性。全周碰摩也可以分為兩類:同步全周碰摩和反向全周碰摩。同步全周碰摩是由轉子不平衡導致的受迫振動，發生時轉子與靜子的接觸比較輕微，危險性相對較小。反向全周碰摩是一種自激振動，其振幅遠遠大于轉靜間隙，發生時可能導致旋轉機械系統的嚴重破壞［1］。

國內外學者在轉子的反向全周碰摩方面做了大量的研究工作。Black［2］研究了反向全周碰摩發生的臨界條件。Crandall［3］對 Black的結果進行了驗證，發現在轉子半徑和轉靜間隙之比很小的情況下理論結果和實驗分析吻合的非常好。Lingener［4］指出轉子在特定轉速下，受到外界擾動后可能會出現反向全周碰摩。Zhang［5］給出了反向全周碰摩發生的的臨界速度，當轉子受到一個反向擾動，如果接觸速度大于臨界速度，轉子將會失穩進入反向全周碰摩。Bently等［6-7］發現在轉子半徑與間隙之比較大時，沒有外界擾動，同樣會出現反向全周碰摩。他們通過實驗發現了另一條通向反向全周碰摩的路徑:無碰摩運動→同步全周碰摩→局部碰摩→反向全周碰摩。Yu、Muszynska等［8-9］通過實驗和解析討論了不平衡量、摩擦系數、阻尼等等系統參數對同步全周碰摩運動向反向全周碰摩轉化的影響。Jiang等［10-11］采用解析方法研究了轉子反向全周碰摩的存在條件和轉子在不平衡激勵下出現反向全周碰摩的臨界轉速。Jiang等［12］研究了一個轉子-靜子耦合系統反向全周碰摩的響應特性，求得了反向全周碰摩的頻率和存在邊界。Dai等［13］研究了作大幅度進動的轉子與限制器碰摩的反向全周碰摩。Wilkes等［14］考慮了轉子和機匣碰摩的非線性接觸力，通過實驗和仿真研究了反向全周碰摩的多重模態振動。

現有的關于反向全周碰摩的研究工作大都針對線性剛度轉子，而在現代轉子的設計中，越來越多的非線性因素被考慮進去，如滾動軸承的赫茲接觸力，滑動軸承和擠壓油膜阻尼器的油膜力等等。同時在反向全周碰摩發生時，由于轉子轉軸的變形很大，也會表現出一定的非線性，因此研究非線性轉子系統的反向全周碰摩響應更具有工程價值。

本文對一個具有非線性剛度的單盤轉子的反向全周碰摩進行研究，通過解析和數值計算討論了系統參數對非線性轉子反向全周碰摩響應和存在性的影響，以期對轉子的設計提供一定的理論支持。

1 非線性轉子系統碰摩反向全周碰摩的運動方程

圖1 非線性剛度的單盤轉子模型Fig.1 The single disc rotor with nonlinear stiffness

其中:c是系統阻尼，k和α分別是轉子的線性和非線性剛度系數，e是轉子的偏心量，碰摩力由線性接觸力和庫倫摩擦力組合而成的(見圖2)，有:

圖2 碰摩力模型Fig.2 The model of rubbing forces

其中:vr表示碰摩點處的相對速度，有vr=ωrdisc+ωwr，ω是轉子的轉動角速度，ωw是轉子的渦動角速度，rdisc是轉子圓盤的半徑，r0表示轉靜間隙，μ是庫倫摩擦系數，kb為接觸剛度。對方程進行無量綱化，取X=x/r0，Y=y/r0和新的時間尺度τ=ω0t，可得:

她看了那雙眼睛一下。她幾乎沒有一點表情。她甚至可能和原來沒有我的出現時一樣地照常做著她應該去做的事。她讓我感覺到了我的多余。在這個世界上，我已經成了一個地地道道的多余者了。

其中:

無量綱形式的碰摩力可寫作:

其中:

2 非線性轉子系統碰摩反向全周碰摩的數值仿真

對方程(3)進行數值仿真，圖3～5分別給出了在β=0.05和β=0時系統升降速的幅頻曲線和三維譜圖。圖6給出了Bently等［6-7］的實驗結果。顯然，相比于線性的轉子系統，本文所研究的非線性轉子系統的結果從定性特征上與實驗結果更加接近，這說明在轉子反向全周碰摩的研究中考慮非線性因素的影響是有必要的。

圖7分別給出了非線性轉子系統和其對應線性轉子系統反向全周碰摩的軸心軌跡、頻譜和碰摩點處相對速度隨時間的變化，可以看到非線性轉子系統和其對應線性轉子系統反向全周碰摩從運動形式上看是非常相似的，運動的軸心軌跡都是圓，進動方向與轉子轉動方向反向，但是渦動時接觸點的相對速度隨時間的變化有著明顯的不同，線性系統在接觸點的相對速度近似于零，而非線性系統在接觸點的相對速度是恒大于零的。文獻［11］對線性轉子的反向全周碰摩做了詳細的描述，指出線性轉子的反向全周碰摩是由于接觸點相對速度方向的改變導致摩擦力方向的改變而產生的。轉子受到大的擾動發生碰摩，開始時振幅較小有Vr=RdiscΩ+RΩw＞0，摩擦力方向和轉子轉動方向相反。在干摩擦的作用下，轉子開始做反進動，同時振幅將不斷增大。振幅增大到一定程度，當Vr=RdiscΩ+RΩw＜0時，摩擦力的方向發生改變，和轉子的轉動方向相同。此時轉子的反進動無法通過干摩擦效應獲取能量，在阻尼的作用下振幅將會減小。當干摩擦輸入的能量和阻尼消耗的能量達到一個平衡時，系統就出現了穩定的反向全周碰摩運動。對于線性轉子，如果假設Rdisc→∞(即摩擦力方向恒與轉子轉動方向相反)，系統的振幅將趨于無窮。對于本文所研究的非線性剛度的轉子，顯然圖7(b)中所示的反向全周碰摩過程中摩擦力的方向并沒有發生改變。因此雖然表現出的運動形式相似，但圖7所示的非線性系統和線性系統反向全周碰摩的本質是有區別的。

圖3 系統在升降速時的三維瀑布圖(ζ=0.008，g=0.2，μ =0.1，E=0.05，Rdise=20，β =0.05)Fig.3 Three-dimensional spectrum at the rotor’s run-up and run-down

圖4 系統在升降速時的三維瀑布圖(ζ=0.008，g=0.2，μ =0.1，E=0.05，Rdise=20，β =0)Fig.4 Three-dimensional spectrum at the rotor’s run-up and run-down

圖 5 系統在升降速時的幅頻曲線(ζ=0.008，g=0.2，μ =0.1，E=0.05，Rdise=20)Fig.5 The frequency-amplitude curve at the rotor’s run-up and run-down

圖6 Bently等［6-7］的實驗結果Fig.6 Test result of Bently et al［6-7］

圖 7 轉子系統碰摩反向全周碰摩響應的數值仿真(ζ=0.008，g=0.2，μ =0.1，E=0，Rdise=20，Ω =1.3，初值(5，0，0，0))Fig.7 Numerical simulation of reverse full annular rub motion

3 反向全周碰摩的解析解

文獻［8］指出外激勵不是轉子系統反向全周碰摩的必要條件，圖7中數值計算的結果也印證了這一點，因此為了簡單起見，忽略方程(3)中的外激勵項。設系統反向全周碰摩的解為:

考慮到反向全周碰摩響應的特征，反向全周碰摩解應滿足約束條件A≥1，Ωw＜0。

考慮到反向全周碰摩的振幅很大，系統的非線性項不能認為是小項，根據基于同倫分析的平均法［16］，有:

令A'=0，θ'=0，可得系統定常解的表達式為:

其中式(11)可寫為:

顯然可能存在的反向全周碰摩的頻率可以看做是接觸情況下碰摩系統的等效線性頻率。由式(10)、(11)可以看到當Vr＜0時，系統不存在滿足約束條件的解;當Vr＞0時，系統存在兩組(圖中曲線d-e和d-b所示)滿足約束條件的解。為了確定哪一組解是真實存在的，有必要對解的穩定性進行判斷。

圖8 摩擦系數對反向全周碰摩振幅的影響Fig.8 Influence of friction coefficient on the amplitude of reverse full annular rub

4 反向全周碰摩解的穩定性

為了判斷反向全周碰摩解的穩定性，對式(7)做小擾動有:

其中:

這樣，系統周期解的穩定性問題轉化為周期系數系統(14)的零解穩定性問題。周期系數系統的穩定性通常采用Floquet理論進行判斷，但是計算Floquet乘子矩陣的解析表達式是很困難的。下面將采用一種近似方法［16］求取Floquet乘子矩陣的表達式。

Floquet乘子Φ的近似表達式如下:

根據Floquet理論，式(14)的零解穩定當且僅當其所對應的Floquet乘子矩陣Φ的所有特征值的模小于1。通過穩定性計算可知圖8中d-e段曲線是不穩定的，d-b段曲線是穩定的。d-b段曲線表示的就是圖7(b)所示的反向全周碰摩運動，這種運動從本質上說是干摩擦和轉子非線性剛度共同作用的結果。與轉子轉動方向相反的摩擦力將導致轉子反進動振幅的增大，同時非線性剛度使得轉子受到的回復力也迅速的增大，回復力的增大反過來限制了振幅的增長，當兩方面的作用達到平衡時，系統就出現了圖7(b)所示的反向全周碰摩運動。

同時我們對Vr=0附近系統的響應很感興趣。考慮到系統的反向全周碰摩響應軌跡為圓，可以假定系統的振幅和頻率恒滿足式(12)，將式(12)代入到方程(8)中有:

圖8中系統的定常解和Vr=0將參數平面分成三個區域，下面分別討論各區域內A'的符號來確定Vr=0附近系統的響應。對于區域Ⅰ，有Vr＜0，因此有:

對于區域Ⅱ，有Vr＞0，同時有:

對于區域Ⅲ，有Vr＞0，同時

在直線b-c上，有Vr=0，因此:

定義直線b-c所對應的振幅大小為Ac，當擾動使得系統的響應接近b-c直線時，如果響應大于等于Ac，由于A'＜0，振幅將會減小;響應小于Ac，由于A'＞0，振幅將會增大。這時系統的振幅在Ac附近不斷的振蕩(如圖9所示)，由于振蕩的幅度很小，從宏觀上表現出類似于周期運動的運動形式，但由于此處不存在穩定的周期解，系統的運動形式不可能是周期運動，這就是通常所說的摩擦力改變導致的反向全周碰摩。

圖9 反向渦動響應的振幅在Ac附近不斷的震蕩Fig.9 The amplitude of dry friction whirl nearby Ac

5 系統參數對響應的影響

圖10～13給出了轉靜摩擦系數、接觸剛度、系統阻尼和轉速對反向全周碰摩振幅和頻率的影響，其中實線表示非線性剛度導致的穩定的反向全周碰摩解;虛線表示不穩定解;點劃線表示摩擦力方向改變導致的反向全周碰摩，三角形表示數值計算的結果。可以看到摩擦力方向改變導致的反向全周碰摩的振幅和頻率隨轉速的增大而增大，與轉靜接觸剛度、摩擦系數、系統阻尼無關。而非線性剛度引起的反向全周碰摩隨碰摩接觸剛度、摩擦系數的增大而增大，隨著系統阻尼的增大而減小，與系統轉速的變化無關。因此在工程設計中，增大系統阻尼，減小碰摩接觸剛度和轉靜之間的摩擦系數都可以減小反向全周碰摩的振幅。數值計算的結果很好地驗證了理論分析的正確性。

圖10 轉靜摩擦系數對反向全周碰摩振幅和頻率的影響Fig.10 Influence of friction coefficient on the amplitude and frequency of reverse annular rub

圖11 轉靜接觸剛度對反向全周碰摩振幅和頻率的影響Fig.11 Influence of contact stiffiness on the amplitude and frequency of reverse annular rub

圖12 系統阻尼對反向全周碰摩振幅和頻率的影響Fig.12 Influence of damping on the amplitude and frequency of reverse annular rub

圖13 轉速對反向全周碰摩振幅和頻率的影響Fig.13 Influence of rotation speed on the amplitude and frequency of reverse annular rub

圖14 系統參數對反向全周碰摩存在性的影響Fig.14 Influence of system parameters on the existence of reverse full annular rub

同時可以看到對應某些系統參數，不存在穩定的反向全周碰摩響應。在實際轉子系統的設計中，如果將系統參數選擇在這些區域，就可以避免反向全周碰摩的出現。圖14給出了系統參數對反向全周碰摩存在性的影響，其中陰影部分表示反向全周碰摩不存在的區域。

6 結論

本文通過解析和數值方法對非線性轉子系統碰摩的反向全周碰摩響應進行研究，取得了如下成果:

(1)通過數值計算結果和前人實驗結果的比較，認為在反向全周碰摩的研究中，考慮轉子的非線性的影響是有必要的。

(2)發現非線性轉子和線性轉子的反向全周碰摩是不同的。非線性轉子系統既存在摩擦力方向改變引起的反向全周碰摩，同時轉子的非線性和干摩擦的共同作用也能導致系統的反向全周碰摩響應，這種反向全周碰摩是穩定的周期運動。

(3)討論了系統參數對非線性轉子系統反向全周碰摩響應和存在性的影響，為轉子系統的設計提供了一定的理論支持。

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