南海內孤立波作用下頂張力立管極值響應研究

張 莉，郭海燕，李效民

(中國海洋大學 工程學院，青島 266100)

海洋內波是發生在密度穩定層化的海水內部的一種波動，其最大振幅出現在海洋內部，根據Roberts［1］的統計，最大垂向振幅甚至高達180 m。內孤立波是內波的一種，由于非線性效應和頻散效應的平衡，內孤立波在傳播過程中能保持波形和傳播速度不變［2］。大振幅內孤立波能引起等密度面快速大振幅上下起伏，并且會導致較大的水平流速，會對海洋平臺、海洋立管和海底管道等海上結構物造成巨大的威脅。尤其是對貫穿于整個海洋水深范圍內的立管來說，不論內孤立波發生深度如何，其產生的突發性強流，必將對立管造成嚴重威脅。由于立管自身的重要性及其對載荷的敏感性，以及較高的投資和維護成本，立管一旦發生破壞，將會導致巨大的經濟損失并引發嚴重的海洋污染和次生災害。關于內波引起海洋工程結構物的破壞已有很多報道。安德曼海的一個石油鉆井機在水下孤立波的作用下移動了 30.48 m，轉動 90°［2］。1990 年，在南海流花油田的單井延長測試期間，曾發生過由內波流引起的纜繩拉斷、船體碰撞，甚至拉斷浮標或擠破漂浮軟管的事故［3］。1992年，我國南海東部石油公司在東沙群島附近的半潛式鉆井平臺，由于內孤立波引起的強流作用，在不到5 min的時間內擺動了110°［4］。近幾年來，國內外學者對內波的產生、傳播、發展變化等問題研究較多，而關于內波對海上結構物作用的研究較少。尤云祥等［5］研究了兩層流體中大直徑垂直圓柱體上的水動力特性。石強等［6］研究了兩層流體中表面波和內波模態的水波與水面漂浮矩形箱的相互作用問題。尤云祥等采用CFD的方法，建立數值波流水槽，對內孤立波場中有航速潛體［7］、張力腿平臺［8］等結構進行了數值模擬，結果表明內波對這些水下結構物的作用都是不容忽視的。蔡樹群等［9］、葉春生等［10］采用Morison公式，理論和數值求解了內波作用于小尺度圓柱體上的荷載。

以上研究大多討論內波荷載的分布，或者給出內波對結構的總作用力，對于內波作用下實際海洋結構物的動力響應研究很少。近期，蔣武杰［11］用振型疊加法研究了頂張力立管在內孤立波與非均勻海流共同作用下的多模態振動。本文基于模擬內孤立波的KdV-mKdV方程，結合改進的Morison公式，在時域中建立模擬內孤立波作用下頂張力立管極值響應的數值模型，采用有限單元法和Newmark-β法，計算深水立管在內波作用下的極值響應，并分析了內波振幅、立管內流、頂張力、彈性模量和壁厚對極值響應的影響。

1 數值模型

1.1 頂張力立管數值模型

假定頂張力立管在初始位置時垂直，建立坐標系如圖1所示，以立管未變形的位形為z軸，向上為正，取立管底部為坐標原點;x軸水平向右為正。頂張力立管的控制方程可以表述為［12］:

圖1 立管模型圖Fig.1 Top tensioned riser configuration

其中:mr為單位長度立管質量，mi為管內流體質量，c為結構阻尼，E為彈性模量，I為立管的截面慣性矩，V為內流速度，F是內孤立波引起的x方向的作用力，Te為有效張力。

1.2 內孤立波作用數值模型

采用兩層模型來描述海洋密度沿深度的分布，設上層流體深度和密度分別為h1與ρ1，下層流體深度和密度分別為h2與 ρ2，總水深為h，密度比為 γ =ρ1/ρ2。建立直角坐標系o'x'z'如圖2所示 ，使o'x'軸位于未擾內界面上，o'z'軸垂直向上為正。立管坐標與內孤立波坐標之間僅Z坐標有差異，內孤立波坐標z'可用立管坐標z表示為:z'=z-h2。振幅為η0的內孤立波沿o'x'軸正向傳播，其界面位移η采用海面剛蓋假設的KdV-mKdV 理論解［13］。

圖2 內孤立波對立管作用示意圖Fig.2 Schematic of riser under internal solitary wave

內孤立波在上下層流體中引起的水平流速可以分別記為U1和U2，根據流體動力學和連續條件有:

采用改進的Morison公式計算內孤立波對立管的作用，可以得到考慮立管和內孤立波相互作用下單位長度立管上的x方向動力荷載［14］為:

將方程(3)代入方程(1)，進行簡化整理，忽略高階小量后得到以下方程:

(其中，CM=Ca+1)

1.3 有限元離散和求解

采用Galerkin有限元法對立管控制方程進行求解。用Hermit插值函數對方程(4)進行離散，得到單元矩陣方程:

其中:

質量矩陣:

剛度矩陣:

阻尼矩陣:

荷載矩陣:

將各單元矩陣集合至整體矩陣，在時域內進行求解。假定立管上下兩端均為鉸接，采用Newmark-β法，對方程(5)在時域內進行逐步積分，可以求得內孤立波作用下頂張力立管的極值響應。基于上述計算方法，本文用 MATLAB編制了相應的計算程序 ERIW(Exteme_Response_Internal Wave)。

1.4 程序驗證

為驗證本文的計算程序ERIW，將本文的計算結果同文獻［11］的計算結果進行比較。文獻［11］研究了頂張力立管在內孤立波與非均勻海流共同作用下的動力響應問題，其計算得到的順流向立管動力特性如圖3(a)所示。本文用計算程序ERIW對文獻［11］的算例參數進行計算，得到結果如圖3(b)所示。對比圖3(a)和圖3(b)可以看到，按本文方法計算得到的立管順流向各時刻位移與文獻結果吻合較好，位移最大處的時間歷程基本一致。

圖3 非均勻海流和內孤立波作用下立管順流向動力響應對比圖Fig.3 Comparison of dynamic results of riser under uniform currents and internal solitary wave

2 算例分析

2.1 內波及立管參數

參照蔡樹群等［15］1992年在南海北部一次孤立子內波的實測資料，本數值模型采取的下凹型內孤立波參數如下:上層水深h1=60 m，密度ρ1=1 025 kg/m3;下層水深h2=412 m、密度 ρ2=1 028 kg/m3，內孤立波振幅η0=75 m，持續時間T=1 100 s。在計算的初始時刻，內孤立波波谷距立管軸線1 250 m。立管參數見表1。

代入內波參數，用計算內孤立波引起流速的子程序模擬計算，得到上下層水平流速隨時間的變化，繪成圖4。可以看到，上下兩層的流速方向相反，且隨著內孤立波的向前傳播，兩層流速均從零逐漸增大，同時到達最大值后再逐漸減小為零。數值模擬結果表明:上層流體能達到的最大值為2.086 m/s，下層最大流速為-0.304 m/s，這與文獻［15］中記載的實測速度上層2.097 m/s、下層 -0.31 m/s較為吻合。

表1 立管參數Tab.1 General material properties of riser

圖4 內波引起的水平流速隨時間的變化Fig.4 Time history of horizontal flow velocity induced by internal wave

2.2 頂張力立管的極值響應

引入上述內孤立波和立管參數，用本文編制的程序ERIW對南海實測內孤立波作用下頂張力立管的極值響應進行計算分析。圖4是頂張力立管三個不同節點處(分別為上層流體中點處、兩層交界面處和下層流體中點處)的順流向位移時程圖。可以看到，立管的順流向位移在前1/2T內，隨著內孤立波速度的增大而逐漸增大;當內孤立波波谷傳播至立管處 (即1/2T時刻)，立管全長位移最大;之后由于內孤立波作用的逐漸減小，立管的位移也逐漸減小，直至最后回到靜力平衡的位形。在此內孤立波作用時間內，內孤立波像是一個緩慢但巨大的沖擊力，會對立管安全造成很大的威脅。

圖5是頂張力立管分別在1/4T、1/2T、3/4T時的順流向位移圖，沿著立管的長度方向，上層流體的順流向位移明顯大于下層流體的順流向位移，這與內孤立波上層流速大而下層流速小的流速分布有關。立管從水面向下52 m處有最大的順流向位移(18.4倍直徑)，此處接近上下層的交界面，兩層流體速度方向相反，對立管有巨大的剪切作用，是最容易發生破壞的位置。

圖4 不同節點處的無量綱位移時程圖Fig.4 Time history of dimensionless displacement at different nodes

圖5 立管在不同時刻的無量綱位移Fig.5 Dimensionless displacement at different time

圖6 不同節點處的應力時程圖Fig.6 Time history of stress at different nodes

圖6為立管在三個不同深度處節點上的應力時程圖，可以看到在內孤立波經過時，立管的應力發生明顯波動。上層流速范圍內立管應力比下層流速范圍內立管應力大。當內孤立波波谷經過立管時，在深度32 m處出現了全長的最大應力121.6 MPa。立管位移最大和應力最大并未出現在同一深度處。

2.3 各種參數對內波作用下立管極值響應的影響

上述計算結果表明，大振幅內孤立波導致立管產生極大的位移和應力，會對立管的在位運行產生嚴重威脅，因而探索各種因素對立管極值響應的影響程度是十分必要的。表2列舉了振幅從45 m至85 m的內孤立波作用下立管的最大位移和應力，可以看到，內孤立波的振幅對立管的極值響應有顯著影響。

表2 不同振幅下立管最大位移和應力Tab.2 Max displacement and stress for different amplitude of internal solitary wave

圖7為內流分別等于0 m/s、10 m/s、20 m/s時立管在1/2T時刻的順流向位移曲線。結果表明，隨著內流速度的增大，立管的順流向位移也增大，內流的存在增加了立管對內孤立波的響應。圖8是頂張力分別為738 kN、748 kN、758 kN的條件下1/2T時刻立管的位移圖。可以看到，位移對于頂張力的變化是比較敏感的，頂張力的增加能減小立管在內孤立波作用下的順流向位移。

彈性模量對內孤立波作用下立管順流向位移的影響如圖9所示，隨著彈性模量的減小，位移增加。立管壁厚對位移的影響可由圖10得到，很明顯，增加壁厚能減小內孤立波對立管的作用，可以在不影響工程造價的條件下合理選擇立管壁厚。

圖7 不同內流速度下立管的無量綱位移Fig.7 Comparisons of dimensionless displacement under different internal flow velocities

圖8 不同頂張力作用下立管的無量綱位移Fig.8 Comparisons of dimensionless displacement with different top tensions

圖9 不同彈性模量下立管的無量綱位移Fig.9 Comparisons of dimensionless displacement with different elastic modulus

圖10 不同壁厚下立管的無量綱位移Fig.10 Comparisons of dimensionless displacement with different wall thicknesses

3 結論

本文在 KdV-mKdV方程的基礎上，依據改進的Morison方程，參照南海實測數據，對內孤立波作用下的頂張力立管進行了數值模擬，采用有限單元法和Newmark-β法求解立管振動方程，得到了內孤立波作用下立管的位移和應力分布，并就內孤立波振幅、立管內流、頂張力、彈性模量和壁厚對于這一極值響應的影響進行了分析。數值模擬結果表明:

(1)隨著內孤立波不斷向立管行進，內孤立波致流速逐漸增大，立管位移也逐漸增大;當內孤立波波谷傳到立管中心線時，流速達到最大，同時立管位移和應力也達到最大;然后，由于內孤立波作用的逐漸減小，立管的位移逐漸減小，直至最后回到初始位形。內孤立波的作用像是一個緩慢但巨大的沖擊力，在其作用時間范圍內，立管的位移和應力發生了巨大的波動，因此在內波頻發海域的立管計算分析中應該考慮內孤立波的作用。

(2)沿著立管的長度方向，上層流體部分的順流向位移和應力明顯大于下層流體部分的位移和應力，這與內孤立波的上層流速大而下層流速小的垂向分布有關。立管鄰近上下層流速的交界處發生最大順流向位移，由于此處兩層流體速度方向相反，對立管有巨大的剪切作用。

(3)內孤立波振幅對立管的極值響應有顯著影響，內流的存在及立管的各種參數對極值響應均有一定程度的影響。管內流體流速越大，立管的順流向位移越大;頂張力越大，順流向位移越小;彈性模量越大，順流向位移越小;壁厚越大，順流向位移越小。

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