基于附加虛擬支座的結構損傷識別方法

侯吉林，歐進萍，2， ?ukasz Jankowski

(1.大連理工大學 土木工程學院，大連 116024;2.哈爾濱工業大學 土木工程學院，哈爾濱 150090;3.波蘭科學院 基礎技術研究所智能技術部，華沙 02-106，波蘭)

結構健康監測是土木工程中的研究熱點方向之一，而損傷識別為結構健康監測的重要理論環節，它為結構的健康和安全評定提供可靠的理論指導。然而由于土木工程結構自身的特點，使得對結構進行準確的損傷識別還存在一定困難，比如結構的大型化和復雜化，傳感器測試信息的誤差性和有限性，以及整體結構動態信息對局部損傷的不敏感性等。

土木工程中結構損傷一般表現為結構剛度的變化，當結構中某些構件發生損傷時，結構的模態參數(頻率和振型)也會發生變化。模態是結構最基本的動態信息，而且利用動態響應進行模態識別方法研究也比較成熟，如隨機子空間方法［1］和特征系統實現法［2］等，所以基于模態信息的損傷識別方法是土木結構中最常用的方法之一。Wang等［3］通過模態靈敏度分析對香港青馬大橋有限元模型進行損傷識別。趙建華等［4］通過計算結構損傷前后頻率和振型的變化，由控制方程確定出結構損傷位置和大小。韓東穎等［5］基于頻率和當量損傷系數識別井架鋼結構損傷。施洲等［6］在考慮邊界條件變異，利用模態的攝動進行橋梁結構的損傷識別。然而利用結構模態識別大型結構損傷一般存在以下三個困難:① 實際工程中往往只能識別出少數低階模態，識別的模態數量一般小于遠遠結構構件的數量，這是大型結構進行準確損傷識的主要困難;② 低階模態參數往往反映的是整體特征，而對局部損傷更為敏感的高階模態一般較難識別出來;③ 土木工程結構多為對稱形式，某些構件發生損傷對結構模態影響是相同的，因此僅根據模態的變化很難區分具體損傷的位置。

由于實測數據的質量和模態識別方法的限制，只利用單個結構的實測數據所識別的模態數量往往是有限的。為了增加識別模態的數量，可通過不斷改變結構形式的方法來提高測試對象的數量，如在結構上附加質量或者剛度。楊秋偉等［7］通過在原結構的不同位置附加已知的集中質量增加結構形式，提高動態測試的數據量。楊智春等［8］通過給原結構添加已知剛度系數的元件，提高了試驗結構的數量，聯合新結構和原結構的模態數據識別損傷參數。然而在實際土木工程中，有時并不容易將質量和剛度元件安裝或連接到實際結構上，如連接器件的設計、操作空間等都是需要考慮的問題。

本文利用約束子結構方法［9］可構造虛擬支座的思想，通過在結構上布置虛擬支座增加結構的形式，一定程度上避免了在實際工程中附加真實質量或剛度的困難。約束子結構方法的基本思想是利用子結構響應的卷積組合將子結構邊界的傳感器轉化為虛擬支座，從而將子結構從整體分離出整體。本文分別在結構每個構件上附加虛擬支座，將每個附加虛擬支座后對應的新結構定義為一個虛擬結構，聯合所有這些虛擬結構和對應的模態，既可以準確的識別出結構所有構件對應的損傷因子。針對現有大型結構損傷識別的困難，附加虛擬支座方法有以下三個特點:① 在不同位置附加虛擬支座可提高虛擬結構的數量，增加了識別模態的數量;② 合理布置虛擬支座，可提高模態對損傷的靈敏度;③ 附加虛擬支座改變了結構形式，將對稱結構變為非對稱結構，更有利于結構損傷的準確定位和識別。

本文首先簡單介紹約束子結構方法，然后基于靈敏度推導聯合多個虛擬結構的損傷識別方法，最后通過一個空間框架模型驗證方法的有效性。

1 約束子結構損傷識別方法

分別在子結構邊界和內部布置n個和l個傳感器。將施加在子結構邊界或外部的脈沖激勵定義為‘約束激勵’，該方法需施加n組不同的約束激勵，第i組激勵下對應邊界的第j個傳感器的脈沖響應為aji、內部的第k個傳感器的脈沖響應為cki，這些響應為‘約束響應’。定義施加在子結構內部的激勵為‘基本激勵’，在子結構的內部施加m組不同基本激勵，設第j組激勵為fj，在fj的激勵下子結構邊界上n個傳感器的響應和子結構內部l個傳感器的響應分別為bj、dj，定義它們為‘基本響應’。將上面的矩陣排列為矩陣，Aji=［aji］，A=［Aji］和 Cki=［cki］，C=［Cki］，B=［b1，b2，…，bm］和 D=［d1，d2，…，dm］，A 和 C 為約束響應矩陣，B 和 D 為基本響應矩陣。將矩陣A、B、C和D代入約束方程式［9］，見式(1)，可以將子結構邊界響應限制為零，即相當于將邊界傳感器轉化為虛擬支座，從而將子結構從整體中分離出來為獨立的約束子結構模型，那么計算得到的矩陣Ds為約束子結構的響應，其中第j列響應ds，j為等價于約束子結構在基本激勵fj作用下的內部第l個傳感器的響應。然后根據激勵fj的特點，通過選擇合適的優化識別方法，可利用約束子結構模型進行子結構的損傷識別:當fj已知時，可利用激勵和時域響應信息進行識別［10］;當fj為瞬態激勵時，由瞬態激勵結束后結構的自由響應識別出模態(頻率和振型)，然后利用模態識別結構損傷。本文方法中fj為瞬態激勵，損傷識別時只利用頻率信息即可，后面再詳細介紹。

需要注意的是，本方法要求結構為線性結構，另外約束激勵的方向應沿著所構造虛擬支座對應傳感器測量的方向。

2 基于虛擬支座的損傷識別方法

由上節可知，約束子結構方法可以將傳感器轉化為虛擬支座，而且虛擬支座的布置可以根據結構的特點更靈活的布置，不局限于布置在子結構的邊界。由模態靈敏度分析可知(參見式(3))，模態關于構件的靈敏度與構件的剛度有直接關系，將支座附加到構件的中間位置對構件剛度改變最大，所以本文將虛擬支座布置到構件的中間位置。本文將附加虛擬支座后的結構稱為虛擬結構。一個虛擬支座只能提高一個構件的靈敏度，所以將虛擬支座分別附加到結構所有構件的中間位置，不但可以提高所能識別模態的數量，還能提高其模態對構件損傷的靈敏度，這為結構損傷識別提供了有力的條件。

由于分別在每個構件附加了虛擬支座，使每個構件都有對應靈敏度高的頻率，也就是說頻率的數目大于等于結構構件的數目，所以只利用頻率信息就足夠對結構進行損傷識別，而不需要模態中的振型信息。由模態分析可以知道，結構頻率理論上由一個測點的響應即可以識別出來，但是振型則需要較多測點才能把結構振動的形狀準確地描述出來。本文基于虛擬支座的方法只需要頻率信息即可，所以該方法理論上只需要兩個傳感器:一個傳感器用于構造虛擬支座，一個傳感器用于識別布置虛擬支座后結構的頻率，然后通過傳感器的移動布置，實現對結構所有構件的測量。利用測量的響應由約束子結構方法分別在每個構件上布置虛擬支座，使各個對應虛擬結構都含有對相應構件損傷靈敏較高的模態(頻率)，從而收集并聯合所有這樣的頻率，利用頻率靈敏度矩陣對損傷進行迭代求解。

2.1 理論推導

其中:Δμi= μi- μi，0(i=1，2，…，n)。

式中:

若將所有虛擬結構Gj(j=1，…，n)中挑選出來的頻率都寫成式(5)的形式，然后將所有這些表達式排列在一起為:

式中:

所以損傷因子的可由式(7)進行迭代求出。

2.2 操作步驟

將結構的構件進行分組，在每組各個構件上布置傳感器，每組構件的選取和傳感器的布置原則如下:

(1)首先根據靈敏度分析，確定虛擬支座的位置，一般是布置在構件的中間位置;

(2)傳感器的布置要盡量與虛擬支座的位置一致，這樣可以實現將每個傳感器都可以轉化為虛擬支座，可以減少測試的次數，降低試驗成本;

(3)傳感器的優化的布置一般要求傳感器盡量分散布置，這樣可以捕捉到更多的結構模態信息。因為傳感器的布置要盡量與虛擬支座的位置一致，所以每組構件的選取也分散。

分別對每組構件進行試驗，利用測量的動力響應由約束子結構方法分別在構件上附加虛擬支座，并由構造的響應識別出虛擬結構的頻率，最后聯合所有挑選頻率和對應虛擬結構的有限元模型，由靈敏度矩陣采用梯度迭代的方法對損傷進行優化識別。詳細流程見圖1。

圖1 流程圖Fig.1 The flow chart

3 數值模擬

3.1 空間框架模型

三層空間框架有限元模型，如圖2，每個梁和柱都劃分為4個單元，每個板對應劃分16個單元。層高3.6 m，橫向兩跨，每跨3.9 m，縱向一跨 4.2 m，柱子截面0.4 m ×0.4 m，板的厚度0.12 m，梁的截面0.4 m ×0.2 m。結構的彈性模量 0.345 GPa，密度 2 600 kg/m3，結構的前兩階阻尼為0.01。

假設框架結構中只有柱損傷，其中 7個柱發生損傷，損傷柱的編號為 2、3、6、8、10、11 和15，各柱損傷后剛度為原未損傷時剛度的70%、 80%、50%、 50%、70%、60% 和70%，其具體損傷因子見圖3，損傷前后結構的前10階模態見表1。假設損傷的位置和程度均未知，所以所有18個柱的損傷因子都需要識別，當識別出的損傷因子為1時表示柱未損傷，當損傷因子小于1時柱損傷。下面先對柱進行靈敏度分析，然后利用含有5%的響應構造虛擬結構并由靈敏度矩陣通過梯度迭代的方式識別柱的損傷。

圖2 框架Fig.2 The frame model

圖3 柱的損傷因子Fig.3 Damage extents of pillar

表1 結構的頻率Tab.1 The natural frequencies of structure/Hz

3.2 柱的靈敏度分析

利用未加虛擬支座的原始有限元模型，進行前10階頻率的靈敏度分析，其相對靈敏度矩陣見圖4，矩陣中靈敏度的數值很小而且很接近，可以看出各個柱的損傷對各階頻率影響較小且相互之間相關性很強，這說明矩陣具有較強奇異性，很難準確識別損傷。

如圖5在柱12上附加虛擬支座，注意圖5中虛擬支座為虛擬的鉸支座，只限制垂直于構件方法的一個方向的位移，對轉角并不約束。計算附加虛擬支座后虛擬結構G12的靈敏度，如圖6，可以看出虛擬結構G12的第三階和第八階頻率關于柱12的靈敏度大于其他柱的靈敏度很多，那么提取這兩階模態和對應的靈敏度。同理找到虛擬結構G1～G18所有這樣靈敏度高的頻率，把這些頻率收集在一起，一共36個頻率，見表2，利用36個頻率識別18個柱子的損傷，已知的條件數大于未知數，理論上是可行的。將所有這些頻率對應虛擬結構的靈敏度依次排列在一起成為一個矩陣，其數值見圖7，圖中的靈敏度矩陣為對角元素占優的矩陣，所以可以直接利用最小二乘的方法簡單和快速求解式(6)線性方程組，見式(8)。

圖4 相對靈敏度Fig.4 Relative sensitivity

圖5 在柱12上施加虛擬支座(虛擬結構G12)Fig.5 Adding virtual support on pillar 12(virtual structure(G12)

圖6 虛擬結構G12的相對靈敏度Fig.6 The relative sensitivity of virtual structure G12

3.3 損傷識別

先以在柱12上布置虛擬支座為例，介紹利用結構的響應構造虛擬結構G12，然后聯合所有虛擬結構識別所有柱的損傷。實際工程中，噪聲的影響和模態識別的誤差是不可避免的，本小節利用含5%噪聲的整體結構響應對方法進行驗證。

3.3.1 虛擬結構G12的構造

分別在柱10、12和17的中間布置加速度傳感器，記為S1、S2和S3，見圖8。用圖9來模擬小錘激勵，分別激勵在S1和S2的位置，所得的含5%噪聲的加速度響應為圖10。采樣頻率500 Hz，采樣的總時間為1 s。

圖7 相對靈敏度的矩陣Fig.7 The matrix of selected relative sensitivity

表2 選取的頻率Tab.2 The selected natural frequencies

選取S1激勵所得響應為基本響應，S2點激勵的響應為約束響應，將兩者代入約束方程可以構造出虛擬結構 G12，即把柱12的加速度傳感器S2構造為虛擬支座，如圖 11，對應構造的S1和S3的響應見圖12，與直接由損傷虛擬結構G12的有限元模型計算響應一致，驗證了方法的準確性。利用圖12構造的響應，識別虛擬結構G12的8個頻率，見表3。

圖8 傳感器布置與激勵Fig.8 Sensors placement and hammer excitation on pillar 12

表3 識別虛擬結構G12的頻率/HzTab.3 Identified natural frequencies of G12/Hz

由于激勵的形式和作用點的限制，有些低階模態并不能被激發出來。為了準確在表3中挑選出靈敏度較高的頻率，并與結構模態的階數相匹配，需要結合理論結構有限元模型進行分析:① 利用理論虛擬結構G12分析在小錘激勵下可被激勵的模態和對應的階數;② 結合表2中所列的理論虛擬結構G12模型的頻率與表3識別的頻率進行比較，從識別的頻率中進行估計或挑選。根據上面兩個步驟，并結合靈敏度分析，可確定表3中虛擬結構G12對柱12靈敏度高的頻率為 5.92 Hz和 19.19 Hz。

圖9 小錘激勵Fig.9 Hammer excitation

圖10 含5%噪聲結構的響應Fig.10 The 5%noise polluted response

3.3.2 聯合虛擬結構進行損傷識別

利用圖8中傳感器相同的布置，如果將在柱17上S3點激勵的響應作為約束響應，作用在S1和S2的響應作為基本響應，則可以利用約束方程將S3轉化為虛擬支座，構造出虛擬結構G17。同理，如果將在柱10上S1點激勵的響應作為約束響應，則可以構造出約束虛擬結構G10。也就是說，如果在框架上布置3個加速傳感器，則可以構造出3個虛擬結構，利用這三個傳感器通過6種布置方式，就可以實現構造出所有柱所對應的虛擬結構G1～G18，這些所有識別的靈敏度高的頻率集合見表4。

圖11 虛擬結構G12Fig.11 Isolated structure G12

圖12 虛擬結構G12的響應Fig.12 The responses of virtual structure G12

表4 挑選出的頻率/HzTab.4 The selected identified natural frequencies/Hz

利用表4的識別的36個頻率，聯合18個虛擬結構G1～G18進行，優化迭代5次識別出柱的18個損傷因子，見圖13，由結果可以看出，第二三層的12根柱子識別的比較準確，而第一層的六個柱子中有三根誤差比較大。導致底層柱識別誤差的主要原因是由于其一端本身已經是固結，所以附加的虛擬支座對其靈敏度增加的不明顯，由圖7也能看出，相對其他柱，底層柱的相對靈敏度較低。

圖13 識別的損傷因子Fig.13 Identified damage extents

這里借助底層柱已經存在一個固定支座的特點，在柱子的另一個邊界附加虛擬支座，如圖14(a)，兩個支座雖然不能將底層柱完全分離出整體，但可以使底層柱具有較強的局部動態特性，削弱整體結構對底層柱的影響，使其在局部激勵作用下主要以一階局部模態振動，這階模態對應的頻率為局部主頻率［11］，局部主頻率關于其構件具有很高的靈敏度。如圖14(a)布置兩個加速度傳感器S1和S2，分別沿兩個傳感器方向進行激勵。將S1轉化為虛擬支座，可構造出圖14(b)附加虛擬支座后的響應，見圖15。利用構造的響應識別出對應的局部主頻率。分別在底層柱上附加虛擬支座，對應的6個柱的局部主頻率見表5。

圖14 虛擬支座Fig.14 Virtual support

圖15 構造的響應Fig.15 The constructed responses of the structure with virtual support

表5 局部主頻率/HzTab.5 The Identified local primary frequency/Hz

聯合表4和表5共42個頻率識別柱的損傷，可以很準確地識別出損傷因子，結果見圖16，驗證了方法的有效性。

圖16 最終識別的損傷因子Fig.16 The final identified damage extents

4 結論

本文提出基于虛擬支座的損傷識別方法，利用以三層空間框架模型準確的識別了柱的損傷，并得到以下主要結論:

(1)在每個構件上都布置虛擬支座，不但提高了模態對局部損傷的靈敏性，而且增加識別模態的數據量，進而提高了損傷識別的精度和計算效率。

(2)通過少數傳感器的排列組合布置，就可以實現整體結構的損傷識別，降低了試驗的成本。

該方法要求整體結構為線性結構，該局限需進一步研究。

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