初應力對壓電薄膜體聲波諧振器厚度拉伸模態(tài)諧振特性的影響

黃德進，王 驥，羅昕逸

(寧波大學 機械工程和力學學院，寧波 315211)

在通訊、導航、計算機技術(shù)和醫(yī)療設備等電子行業(yè)中，諧振器是不可或缺的頻率器件。最近十幾年發(fā)展起來的壓電薄膜體聲波諧振器(FBAR)［1-3］具有傳統(tǒng)的陶瓷介質(zhì)諧振器和聲表面波諧振器的優(yōu)點，同時又克服兩者的缺點，其工作頻率高(600MHz～20GHz)、溫度系數(shù)小、容量大、體積小和成本低。更重要的是，F(xiàn)BAR可以制作在陶瓷、硅片等基體上。其制作工藝能與半導體工藝兼容，是可以和射頻集成電路(RFIC)或單片微波集成電路(MMIC)集成的諧振器［4-5］。符合現(xiàn)代電子器件發(fā)展的方向，具有廣闊的發(fā)展前途。

FBAR是一種具有電極層、壓電層和支撐層等組成的層合結(jié)構(gòu)。在器件制作過程中，由于多層結(jié)構(gòu)中相鄰層材料的力學和熱學性能之間的差異，結(jié)構(gòu)中會不可避免地產(chǎn)生初應力;另外，對于PZT陶瓷等脆性薄膜，為了防止其脆性斷裂往往要人為地使薄膜中存在預壓應力。在薄膜體聲波器件設計和優(yōu)化中，常采用Mason模型和BVD模型效電路法，也采用解析法來研究［6-11］。迄今為止，還未見FBAR諧振特性受初始應力影響的研究工作報道。本文研究了初應力對理想FBAR在厚度拉伸模態(tài)下諧振特性的影響，討論了串聯(lián)和并聯(lián)諧振頻率、帶寬、機電耦合系數(shù)等重要參數(shù)與初應力之間的關(guān)系。并給出了數(shù)值算例。

1 基本方程和問題的解

本文研究的理想FBAR由一層壓電薄膜夾于兩層極薄的導體之間，導體的厚度、質(zhì)量和剛度均可以忽略不計，并設壓電層中的初應力為常數(shù)。FBAR的厚度尺寸為2b，遠小于長度l和寬度w，因此可以作為厚度方向的一維問題來處理。FBAR的幾何尺寸和坐標系如圖1所示。

含初應力的壓電彈性體三維運動方程［12］和電荷方程分別為:

圖1 FBAR的幾何尺寸和坐標系Fig.1 The FBAR geometry and coordinate system

式中:Tij、ui、Di分別為應力、位移和電位移，表示初應力，ρ是密度，是位移對時間t的二階導數(shù)，i，j，k=1，2，3。應變Sij和位移關(guān)系以及電場強度Ei與電勢φ之間的關(guān)系分別為，

壓電材料的本構(gòu)關(guān)系采用第四類壓電方程:

在厚度拉伸模態(tài)下，假設位移為:

式中:u(x3)為待定的表達式。這樣應變?yōu)?

這樣，F(xiàn)BAR的本構(gòu)方程、運動方程和電荷方程分別簡化為:

將式(6)代入式(8)，并利用式(2)1和(9)，可得:

式中:A、B為待定常數(shù)，ξ為波數(shù):

FBAR諧振時，由式(9)可得:

式中:D為常數(shù)。將式(11)、(13)代入(3)1，并注意到式(5)2，可得:

在諧振器質(zhì)心處，x3=0，u=0，代入式(11)可得B=0。FBAR上下表面為自由，其邊界條件為:

將式(14)代入(15)，可得:

將式(16)和B=0代入式(11)可得位移，由式(7)可得電場強度:

式中:S為電極的面積。這樣FBAR厚度拉伸振動時的電阻抗可由式(18)和(19)得到:

再利用式(12)，可得:

當阻抗為零時，此時的諧振頻率為串聯(lián)諧振頻率fs。由式(20)可知:

由式(23)可解得串聯(lián)諧振頻率fs。串聯(lián)諧振頻率與并聯(lián)諧振頻率之差為諧振器的帶寬。帶寬可以用下式近似來計算:

FBAR的有效機電耦合系數(shù)［13］為:

2 數(shù)值算例和討論

圖2 不同初應力下的FBAR阻抗特性Fig.2 The impedance characteristics of FBAR under different initial stresses

圖2是理想FBAR的阻抗幅值、相位特性與初應力的關(guān)系圖?？梢钥闯觯瑹o初始應力時，其基波串聯(lián)諧振頻率為2.768 GHz，基波并聯(lián)諧振頻率為 2.839 GHz，帶寬為69.2 MHz，有效機電耦合系數(shù)為0.058 7。隨著初應力的增加，串聯(lián)諧振頻率和并聯(lián)諧振頻率也會提高。諧振頻率與初應力的關(guān)系可以進一步由圖3給出。由式(22)可知，并聯(lián)諧振-初應力曲線為拋物線，但曲線弧度不大，可用直線近似代替:

式中:fp0為初應力為零時的并聯(lián)諧振頻率。帶寬與初應力之間的關(guān)系由圖4給出。也是隨著初應力的增加，帶寬越來越大，也近似線性關(guān)系。圖5為有效機電耦合系數(shù)隨初應力的變化。有效機電耦合系數(shù)基本保持一個常數(shù)，與初應力的變化沒有什么關(guān)系。

3 結(jié)論

本文研究了含初應力的理想壓電薄膜體聲波諧振的振動，給出了阻抗的表達式，討論了串聯(lián)諧振頻率、并聯(lián)諧振頻率與初應力之間的關(guān)系，也討論了初應力對帶寬和有效機電耦合系數(shù)影響。通過推導發(fā)現(xiàn)，在各初應力分量中，只有拉伸應力分量會對FBAR厚度拉伸模態(tài)的諧振產(chǎn)生影響，其它分量不起作用。給出的數(shù)值算例表明，初應力會提高諧振頻率和帶寬，初應力與頻率、帶寬的關(guān)系可近似為線性關(guān)系。初應力對機電耦合系數(shù)基本沒有影響。

圖3 FBAR諧振頻率與初應力之間的關(guān)系Fig.3 The relationship between frequency and initial stress

圖4 FBAR帶寬與初應力之間的關(guān)系Fig.4 The relationship between bandwidth and initial stress

圖5 有效機電耦合系數(shù)與初應力之間的關(guān)系Fig.5 The relationship between effective electro-mechanical coupling coefficientand initial stress

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