熱聲激勵下金屬薄壁結構的隨機疲勞壽命估算

沙云東，魏 靜，高志軍，鐘皓杰

(沈陽航空航天大學 遼寧省航空推進系統先進測試技術重點實驗室，沈陽 110136)

超高音速飛行器結構在工作時承受復雜的機械力載荷、氣動力載荷、熱載荷和高溫強噪聲載荷［1］。其中，在高溫強噪聲載荷作用下，薄壁結構表現出復雜的大撓度非線性響應，熱載荷引起的熱應力可以引發結構熱屈曲，強聲載荷可使屈曲前結構圍繞初始平衡位置做大幅值振動，使得屈曲后結構在多個屈曲后平衡位置之間做劇烈跳動，即跳變運動，或圍繞一個屈曲后平衡位置振動［2］。熱聲載荷作用下出現快速的交變作用應力，薄壁結構會發生裂紋的萌發、擴展甚至失效。因此高溫強噪聲作用下結構的響應分析和疲勞壽命估算已經成為先進飛行器設計的關鍵問題。

熱聲載荷作用下，結構跳變響應時位移近似服從Fokker-Plank分布［3-4］，無法確定應力峰值概率密度函數，因此無法直接使用基于高斯分布或者瑞利分布假設的功率譜密度法、概率密度法［5-7］等頻域方法。時域方法直接針對結構的載荷時間歷程，適用于任何概率分布的平穩或非平穩響應的壽命估算。本文采用時域方法直接對結構的應力時間歷程進行采樣和雨流循環計數。由于圍繞一個屈曲后平衡位置的非線性振動具有極高的應力循環均值，無法直接使用一般的對稱循環試驗得到的零平均應力的S-N曲線進行疲勞壽命估算，因此采用Morrow TFS、SWT平均應力模型獲得零平均應力的等效循環，結合Palmgren-Miner線性損傷理論進行損傷估算。以四邊簡支鋁合金板為研究對象，計算了在不同熱聲載荷下的結構的動態響應和疲勞壽命，并分析了結構疲勞壽命的變化規律。

1 平均應力模型

結構大撓度非線性振動時，薄膜應力的出現使得應力循環不對稱，應力均值不為零。試驗結果表明等幅值時，平均應力的增大可使疲勞壽命下降［8］。本文在基本的應力壽命關系模型基礎上，給出了考慮平均應力影響的壽命估算模型。

疲勞循環可以循環最大值Smax，循環最小值Smin也可以使用循環幅值和均值表示。應力循環幅值為:

應力循環均值為:

對稱循環載荷作用下，使用Basquin方程表示的應力-壽命基本關系為:

由式(4)確定疲勞壽命:

本文采用 Baseline(不考慮平均應力)、Morrow TFS、SWT三種模型進行疲勞壽命分析，按等損傷原則將非零應力均值循環轉換為零應力均值的循環。

Morrow TFS平均應力公式:

式中:Sf表示真實斷裂強度。

SWT平均應力公式:

其他的平均應力模型還包括 Walker模型、修正的Walker模型、MMPDS模型等。其中Walker模型的精度較高，但是需要通過非零均值試驗數據的獲得擬合參數［8］。試驗數據的匱乏限制了它們的使用。

2 累積損傷理論

Miner線性損傷累積理論，忽略了加載次序及載荷間相互作用的影響，由于形式簡單，而廣泛應用于實際工程中。線性疲勞累積損傷表示為:

式中:Ni表示在第i級等幅值應力載荷下的工作循環次數;(Nf)i為第i級等幅值應力載荷下，構件發生破壞時的循環數。

隨機響應的損傷期望可以使用數學期望和概率密度表示為:

式中:Ni=N(S)=E［P］·T·P(S);S為應力幅值;P(S)為應力峰值概率密度函數;E［P］為單位時間內的峰值期望;Tr為響應信號時長。

窄帶隨機信號的峰值概率密度服從瑞利分布，寬帶信號的峰值概率密度是高斯分布與瑞利分布的不同組合，兩者可以通過經驗公式獲得其表達式。本文中熱聲載荷作用下結構應力響應幅值的分布律目前還沒有明確的表達式，因此通過雨流循環計數獲得應力循環的聯合概率密度函數的數值估計。

假設第k次雨流循環(RFC)的局部極大值和極小值分別為Smax和Smin，時間Tr內的總損傷為:

式中:P(Smin，Smax)為應力循環極小值和極大值的聯合概率密度函數;Nf(Smin，Smax)為應力循環作用下的疲勞壽命，取決于平均應力模型的選擇。使用有限時長信號的雨流循環矩陣(RFM)估算P(Smin，Smax):

式中:NRF為雨流循環次數。

圖1 雨流循環矩陣示意圖Fig.1 RFM

本文中利用MATLAB工具箱WAFO［9］獲得RFM。RFC可以使用三維圖象表示。如圖1平面直方圖所示，在RFM中，X軸和Y軸分別為循環對的極小值和極大值，循環計數結果對應RFM中一點。將RFM離散為n×n塊后，(i，j)塊對應Z軸的循環對數目即RFM(Si，Sj)的數值。由于循環對中極小值必然小于極大值，所以循環只分布在平面圖的左上區域。循環對于R=1對角線距離越遠，循環的幅值越大;循環對于R=-1對角線的距離越遠，循環的平均應力越大。

對于有限時長響應信號Tr:E［P］≈NRF/Tr;

式中:RFD(Smin，Smax)為2維雨流循環損傷矩陣。當E［D］=1，結構發生疲勞失效。疲勞壽命時間為:

3 應用實例

將研究的疲勞壽命估算方法，應用于四邊簡支鋁合金板(2024-T3)。假定在拉、壓載荷下的屈服應力不變，材料特性不隨溫度變化。結構尺寸為a=0.2 m，b=0.2 m，h=0.005 m，密度為 ρ=2 723 kg/m3，彈性模量E=73.11 GPa，泊松比為 μ=0.33，熱膨脹系數為 α=22.32 ×10-61/K。

結構的模態頻率和臨界屈曲溫度，見表1和2。

采用Basquin公式擬合的2024 T3鋁合金的S-N曲線表達式為:S6.4935n=1.289 8 ×1021。

Morrow TFS模型中，2024 T3鋁合金的材料常數為［10］:Sf=610 MPa，σ'f=1 602 MPa，b=0.154。

表1 四邊簡支鋁合金板的模態頻率Tab.1 The modal frequencies of simply-supported aluminum plate［Hz］

表2 四邊簡支鋁合金板的臨界屈曲溫度Tab.2 The critical buckling temperatures of simply-supported aluminum plate［°C］

為方便表示，采用熱屈曲系數S=T/TC表示溫度，T為實際溫度，TC為屈曲溫度。

圖2 位移時間歷程(UZ，0，160)Fig.2 Time history(UZ，0，160)

圖3 雨流循環矩陣(SX，0，160)Fig.3 RFM(SX，0，160)

圖4 雨流循環損傷矩陣(SX，0，160)Fig.4 RFD(SX，0，160)

圖5 位移時間歷程(UZ，1，160)Fig.5 Time history(UZ，1，160)

圖6 雨流循環矩陣(SX，1，160)Fig.6 RFM(SX，1，160)

圖7 雨流循環損傷矩陣(SX，1，160)Fig.7 RFD(SX，1，160)

3.1 熱聲載荷的模擬

選用有限帶寬高斯白噪聲作為聲載荷，聲壓級范圍為140 dB到170 dB，間隔10 dB。截止頻率為1 500 Hz，覆蓋前3階結構模態。噪聲信號的時長為4.5 s。聲載荷在板面均勻分布，即垂直入射加載。熱載荷在空間均勻分布，屈曲系數范圍為0到4，間隔0.2。

文中使用(SX，0，160)，(UZ，0，160)分別表示 S=0、SPL=160 dB時的X向應力和Z向位移。

3.2 薄壁鋁合金板在熱聲載荷下的響應和疲勞壽命

采用有限元軟件分析得到鋁合金板在不同熱聲載荷下的位移和應力響應時間歷程。熱聲載荷下結構典型的運動形式包括，常溫時圍繞初始位置的線性隨機振動，如圖2所示，屈曲前圍繞初始位置的非線性隨機振動，如圖5所示，屈曲后兩個平衡位置之間的跳變響應，如圖8所示，屈曲后圍繞一個屈曲后平衡位置的非線性隨機振動，如圖11所示。

簡支鋁板中點在不同聲壓級和屈曲系數下的X向應力有效值如圖14所示。常溫時，應力有效值最低。隨著S的增加，屈曲前結構剛度降低，應力RMS隨著S線性增加。屈曲后結構發生跳變運動，在頻繁跳變區域，應力RMS隨著S增加。溫度繼續升高，跳變頻率下降，有效值下降，當結構停止跳變后，應力有效值重新進入上升區域。

中點在不同屈曲系數下的X向應力的雨流循環矩陣如圖 3、6、9、12 所示。

常溫時，結構圍繞初始平衡位置振動，應力循環的均值近似為零，圖3中的應力循環塊分布呈短柱狀。

隨著溫度的增加，壓縮熱應力作用使結構的剛度下降，響應水平提高，應力循環均值下降(絕對值增大)。與常溫相比，臨界屈曲時的應力循環幅值明顯增加，循環塊整體向左下側移動，同時循環塊擴散，出現很多小幅值循環，表明此時的響應為寬帶過程，如圖6所示。屈曲后結構頻繁跳變時，應力循環塊分布總體呈三角狀，分為3塊。左上區域對應純跳變運動，應力循環的幅值大、均值絕對值小。左下區域對應圍繞下凹平衡位置的振動，應力循環的均值絕對值最大，這是由于中點圍繞下凹平衡位置振動時，壓縮熱應力疊加了壓縮彎曲應力。右上區域對應圍繞上凸平衡位置的振動，應力循環的均值較小，這是由于鋁板中點圍繞上凸平衡位置振動時，壓縮熱應力疊加了拉伸彎曲應力，如圖9所示。

當溫度足夠高時，結構停止跳變運動，圍繞一個屈曲后平衡位置振動。相應地，雨流循環矩陣圖的左上角循環塊消失，左下角和右上角的循環塊只存其一，如圖12所示。溫度越高，應力循環的幅值越小，均值越大，循環塊逐漸向右上方向移動。由于同等壓縮載荷造成的損傷要比拉伸載荷小30%。因此后文重點考慮了中點處于拉伸應力狀態時的響應結果，進行保守壽命估算［11］。

采用Morrow TFS和SWT平均應力模型對雨流循環進行等效處理，采用線性損傷累積理論進行損傷計算，得到與雨流循環矩陣對應的二維雨流循環損傷矩陣 RFD，如圖 4、7、10、13 所示。由圖 10，13 可以清晰地看出，雖然左上角的大幅值應力循環次數遠比右下角的小幅值應力循環次數少，但造成的循環損傷卻非常大。

圖8 位移時間歷程(UZ，1.2，160)Fig.8 Time history(UZ，1.2，160)

圖9 雨流循環矩陣(SX，1.2，160)Fig.9 RFM(SX，1.2，160)

圖10 雨流循環損傷矩陣(SX，1.2，160)Fig.10 RFD(SX，1.2，160)

圖11 位移時間歷程(UZ，1.8，160)Fig.11 Time history(UZ，1.8，160)

圖12 雨流循環矩陣(SX，1.8，160)Fig.12 RFM(SX，1.8，160)

圖13 雨流循環損傷矩陣(SX，1.8，160)Fig.13 RFD(SX，1.8，160)

屈曲前，結構承受壓縮平均應力，如圖3，4，6，7所示。三種平均應力模型估算的差別不大，Morrow TFS模型和Baseline模型的壽命基本相同，說明當前平均應力模型對壓縮平均應力的影響并不敏感。屈曲后結構處于拉伸應力狀態，且熱平均應力較大，如圖12，13所示，SWT模型和Morrow TFS模型的結果相差較大，說明不同平均應力模型對拉伸應力的敏感度差別較大，即SWT等效處理后的零均值循環幅值更大。SWT估算壽命結果更加保守。三種模型均預測頻繁跳變時的結構壽命最低，并且相差不大，這是由于頻繁跳變時，應力循環的幅值較大，均值較小，平均應力處理的影響很小。采用三種模型得到的壽命估算結果較高，這是由于隨著溫度的升高，熱平均應力不斷增加，當接近屈服應力時，沒有考慮高低周復合疲勞，以及高溫疲勞壽命曲線的影響。

聲載荷對結構的作用本質上是一種空間分布的，并且具有一定頻率分布特性的動態隨機壓力載荷，超過一定量值后，如聲壓級超過140 dB，便可能對結構產生較大激勵，特別是當噪聲的頻率分布特性和結構的動態特性相近時，結構就會產生顯著的應力響應。使用SWT模型計算的不同聲壓級下的疲勞壽命變化曲線如圖16所示。隨著聲壓級的增加，結構頻繁跳變的范圍擴大，因此圖中的壽命最低點向右移動。溫度相同時，聲壓級越大，應力循環的幅值越大，壽命自然越短。

圖14 X向應力RMS隨著溫度變化Fig.14 RMS of X component of stress at different temperature

圖15 不同平均應力模型的疲勞壽命Fig.15 Fatigue life of central node using different models

圖16 SWT模型不同SPL的疲勞壽命Fig.16 Fatigue life at different SPLs using SWT

4 結論

(1)運用雨流循環矩陣和損傷矩陣可以直觀的分析結構熱聲非線性響應和壽命變化規律。使用RFM可以清晰分辨出不同類型的熱聲響應運動。隨著溫度的增加，應力循環的均值絕對值逐漸增加。屈曲前應力循環的幅值逐漸增加，屈曲后結構的應力循環幅值逐漸下降。均值相同時，幅值越大損傷越大。幅值相同，均值越大損傷越大。

(2)熱聲載荷下，薄壁結構的非線性響應顯著影響著結構的疲勞壽命。屈曲前，隨著溫度升高，熱應力增大，壽命呈降低趨勢;跳變過程中，大幅值應力循環造成的疲勞損傷使得此時的疲勞壽命達到最低點;跳變結束后，應力循環均值顯著增大，幅值降低，不同平均應力模型的結果差別較大，隨著溫度升高，Morrow TFS模型估算得到的壽命上升，SWT模型得到的壽命緩慢下降。

(3)不同的平均應力模型對壓縮應力均不敏感，因此不同平均應力模型得到屈曲前結構的壽命差別不大，但是在拉伸應力區，不同模型差別較大。結構在高溫時的疲勞壽命變化規律還需要進一步的研究。

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