車輛荷載作用下大跨舊橋動力可靠度研究

孟陽君，周先雁

(中南林業科技大學，長沙 410004)

1 結構動力可靠度分析及程序設計

結構動力可靠度指結構在隨機作用下、預定使用期內、規定使用條件下結構不發生失效的概率。動力可靠度理論是近年發展的隨機振動理論分支。其涉及問題難度較大，諸多基本問題尚未解決。而動力可靠度研究方法有首超破壞機制與疲勞破壞機制。

隨機過程x(t)與某一界限x=b交叉次數統計是首超破壞機制動力可靠性分析基礎。該問題由賴斯于1944年首次提出。

考慮x(t)以正斜率(dx/dt＞0)與界限x=b交叉，有:

考慮x(t)的負斜率(dx/dt＜0)交叉問題，有:

計算首次超越破壞機制的動力可靠性問題關健為計算首次超越時間Tf的概率分布函數。但即使最簡單情況-受平穩白噪聲荷載作用的單自由度體系動力反應過程，其首次超越時間Tf的精確解尚未找到，故退而尋找近似解，最簡單、最重要的當屬泊松過程法。

對雙側界限x=-b2，x=b1，動力可靠度Ps定義為:

基于平穩隨機過程，多自由度體系泊松過程法涉及的交叉次數期望值計算遠比單自由度體系復雜，因此采用振型分解法(其優點為在正交阻尼條件下，可將多自由度體系與無限自由度體系化為一系列廣義單自由度體系分析)。先需對結構進行隨機反應分析。動力方程為:

用陣型分解法將式(4)變換為關于廣義坐標振動方程，令:

通過變形可得結構相應的廣義剛度、廣義質量、廣義荷載等參數，具體表達式略。據隨機過程理論，結構廣義坐標zi，zj間相關函數為:

式中:hi(t)為單位脈沖響應函數。

通過整理分析得:

式中:Hi(ω)為傳遞函數或頻率響應函數，與hi(t)為一對傅氏變換。

由此得結構廣義坐標與廣義力間互功率譜為:

由分析得多自由度第i質點位移功率譜Sxi與方差為:

結構振動第j陣型為:

多自由度第i質點速度方差與加速度方差分別為:

求出各參數后，即可對結構動力可靠度進行求解:

基于以上理論，采用Fortran語言自編《PMDK動力可靠度分析程序》，分析流程見圖1。

圖1 PMDK動力可靠度分析程序流程圖Fig.1 Program flowchart for PMDK dynamic reliability analysis

2 車輛荷載分布概率模型

公路橋梁動力可靠度分析重點為確定荷載(效應)的統計特性。常采用對數正態分布或反正態分布對車輛荷載分布進行擬合檢驗。正、反兩種分布均屬單峰型分布，而實測車輛荷載卻出現多峰型分布特點，采用正、反兩種分布較難獲得滿意結果且不會通過K-S檢驗。為準確描述實際存在的多峰車輛荷載分布，本文用極值Ⅰ型、正態分布、對數正態分布函數的加權和各一擬合車輛荷載多峰分布累積分布函數。令f(x)為擬合所得密度函數，則有:

據已有數據，用參數擬合方法，設該車輛荷載多峰分布累計分布函數為:

式中:p1，p2，p3分別為極值Ⅰ型分布函數概率、正態分布函數概率及對數正態分布函數概率，p1+p2+p3=1;α，β為極值Ⅰ型分布函數參數;μ1，σ1為正態分布函數期望值、標準差;μ2，σ2為對數正態分布函數期望值、標準差。

求解以上參數可采用無約束規劃求解方法，具體為:設實際累計分布函數與擬合累計分布函數滿足:

式(17)為無約束非線性規劃問題，通常采用牛頓法及變形方法、遺傳算法、神經網絡、Levenbery-Marquardt法(簡稱LM法)等計算。本文采用LM法。據多元函數取極值必要條件，式(17)的無約束規劃問題等價于求解:

式中:θ=(p1，p2，p3，μ1，σ1，μ2，σ2，α，β)為未知參數向量。

LM法具體計算步驟如下:

(1)設初值θ0;

(2)對第k次迭代解θk，確定搜索增量dk，令:θk+1= θk+dk，若 θk+1符合給定的迭代終止原則，停止迭代，最優解θ'=θk+1;否則轉(2)。

將f(θ)在 θk點做泰勒展開，保留到一次項，整理得:

式中:Df(θ)為雅克比矩陣:

為防止迭代矩陣Df(θk)TDf(θk)奇異或病態，LM法將式(19)修改為:

其中:I為單位陣，μk為阻尼因子，一般取0.01 ～0.0001之間。

通常可用‖Δθk‖＜ε或‖J(θk)‖＜δ作為LM法的終止迭代準則，其中δ，ε為給定精度要求。也可確定最大迭代次數M作為終止條件。

圖2 車輛荷載概率分布Fig.2 Vehicular load probability distribution

據觀測數據，采用上述求解方法，得各參數分別為:α =0.056 8，β =24.17，μ1=125.24 kN，σ1=26.90 kN，μ2=5.455 856 kN，σ2=0.207 89 kN，p1=0.512，p2=0.283，p3=0.205，概率分布見圖 2。

3 試驗分析

3.1 項目簡介

某橋為預應力混凝土連續梁橋，跨徑80+116+80(m)，已安全運營20余年。該橋設計荷載為公路Ⅱ級。由于重車激增，主體結構暴露出不良病害。為確保大橋結構安全與長期使用性能，對該橋進行外觀檢測及靜、動載荷載試驗。

3.2 試驗及理論分析

300 kN載重試驗車，分別以10 km/h、20 km/h、30 km/h、40 km/h、50 km/h五個不同車速沿橋中心線勻速行駛，測得中跨跨中部分加速度響應及動應變時程響應曲線見圖3、圖4。

圖3 中跨跨中動應變時程響應圖(V=30 km/h)Fig.3 Dynamic strain Time-History response at center of midspan

圖4 邊跨跨中動應變時程響應圖(V=40 km/h)Fig.4 Dynamic strain Time-History response at center of side span

由圖3、圖4得各車速的實測沖擊系數見表1。由表1看出，沖擊系數與車速有關，且呈非線性關系。v=40 km/h所得最大沖擊系數較按規范［2］計算值1.292 2大 0.087 8。對加速度響應信號進行分析，得該橋(舊橋)阻尼系數為ξb=0.04。通過參數分析程序可得該橋截面抗彎慣性矩I、截面面積A等值。限于篇幅，僅列出中跨跨中截面I的特征參數見表1。據本文車輛荷載分布概率模型，計算得車輛荷載功率譜密度函數為:

表1 跨中實測沖擊系數及中跨跨中I值一覽表Tab.1 Actual impact coefficient and inertia moment at center of midspan

表2 大橋自振頻率及振型一覽表Tab.2 Natural frequency of vibration and modal for the bridge

對結構進行隨機過程分析時，模型參數采用經荷載試驗分析所得數據，動力可靠性分析以該橋有限元模型為基礎，采用《PMDK動力可靠度分析程序》計算。有限元模型共劃分276個單元，277個節點。為驗證程序模態分析的可靠性，與ANSYS結果進行對比表明，兩者結果完全一致。該橋振型及自振頻率見表2，計算獲得結構不同位置限制位移的動力可靠度，見圖5。由圖5看出，對雙側界限以位移為限制條件下，大橋動力可靠度與位移方向有關;大橋不同位置動力可靠度變化趨勢也不同。且撓度(UY)方向動力可靠度略高于轉動(ROTZ)方向。由圖5(a)看出，在相同位移限制條件下，大橋中跨跨中的動力可靠度高于邊跨跨中，與整體相同;圖5(b)看出，相同位移限制條件下，除兩邊跨跨中幾點外(此幾點動力可靠度不同于整體與其位移方向突變有關)，大橋動力可靠度基本一致。

采用《PMDK動力可靠度分析程序》，設大橋阻尼從0變化到1.0，計算分析得結構不同位置在限制位移條件下動力可靠度見圖6、圖7。

由圖6看出，限制位移條件下，邊跨UY動力可靠度增加幅度大于中跨，越靠近邊跨支點，增加幅度越大;此規律也適用于ROTZ動力可靠度;由圖7看出，大橋UY動力可靠度與阻尼比呈正相關關系，隨阻尼比的增大，邊跨跨中及內支點左UY動力可靠度與阻尼比近似成二次拋物線關系，中跨跨中則成明顯對數關系;ROTZ動力可靠度與阻尼比間關系較復雜，內支點近似成四次拋物線關系，邊跨跨中及中跨跨中則成六次拋物線關系，除個別點外，隨阻尼比的增大，動力可靠度逐漸減小。

圖5 大橋動力可靠度結果示意圖Fig.5 Results of dynamic reliability for the bridge

圖6 大橋不同位置的動力可靠度 ξb=0.0 ～1.0Fig.6 Dynamic reliability for the bridge with ξb=0.0 ～1.0 at different parts

圖7 大橋關鍵截面動力可靠度 ξb=0.0 ～1.0Fig.7 Dynamic reliability of the bridge’s key section with ξb=0.0 ～1.0

圖8 大橋彈性模量對關鍵截面的動力可靠度Fig.8 Influences of elastic modulus on dynamic reliability of the bridge’s key section

圖9 大橋不同位置動力可靠度 T=1.0 ～1000 Fig.9 Dynamic reliability for the bridge with T=1.0 ～1000 at different parts

圖10 大橋關鍵截面動力可靠度 T=1.0～1000 Fig.10 Dynamic reliability of the bridge’s key section with T=1.0 ～1000

大橋材料彈性模量對結構可靠度影響較小，隨彈性模量的增大，大橋動力可靠度逐漸減小，見圖8。

隨時間的增加，大橋動力可靠度明顯下降，見圖9、圖10。由計算知，T=5時，大橋動力可靠度下降26.17%，T=10時，大橋動力可靠度下降49.48%，T=100時，大橋動力可靠度接近于0。結構單側可靠度與雙側可靠度相差較小。

4 蒙特卡羅法分析

蒙特卡羅法(Monte Carlo)為具有獨特風格的數值計算方法，廣泛用于求解隨機性不確定性問題。隨模擬次數的增加，該法計算結果會逐漸趨近精確解。因此在結構可靠度計算中被認為準精確方法，而其它近似方法精度亦常用該法驗證。蒙特卡羅法分析主要過程為:

(1)隨機變量取樣。設xi為已知分布特征的隨機變量，對可靠度分析中所遇正態分布、對數正態分布與極值Ⅰ型分布表達式為:

正態分布:

對數正態分布:

極值Ⅰ型分布:

其中:μx，σx分別為隨機變量均值、標準差，r1，r2為［0，1］上相互獨立均勻分布隨機數。

(2)結構失效概率計算。據理論分析，要使計算達到一定精度，需滿足N≥4/(Pfε2)(Pf為預估計結構失效概率，ε為相對誤差)。本文選擇N=1000 000，即達到10-4精度。

將隨機數轉換成相應數據，代入ANSYS有限元程序求解，結果表明，采用《PMDK動力可靠度分析程序》所得計算結果在10-4精度范圍內完全準確，部分計算結果見表3、表4，亦驗證程序的可靠性。

表3 彈性模量變化UY動力可靠度計算結果Tab.3 Results of UY dynamic reliability with modulus of elasticity variation

表4 彈性模量變化ROTZ動力可靠度計算結果Tab.4 Results of ROTZ dynamic reliability with modulus of elasticity variation

5 結論

本文基于多自由度體系隨機過程分析振型分解法，推導出結構動力可靠度分析的相關參數計算公式，

用Fortran語言自編《PMDK動力可靠度分析程序》，并用蒙特卡羅法驗證自編程序的可靠性。結論如下:

(1)采用無約束規劃求解方法，推導出車輛荷載概率分布模型參數求解方法。并結合具體觀測數據，獲得概率模型。

(2)結合某舊橋靜動載試驗，采用參數分析獲得動力可靠度計算的相關數據，用《PMDK動力可靠度分析程序》計算該橋在實際車輛荷載作用下的可靠度，結果表明，動力可靠度與位移、不同截面位置有關，跨中動力可靠度高于邊跨;阻尼和彈性模量變化對大跨動力可靠度的影響為阻尼比增大，動力可靠度減小;而彈性模量變化影響可忽略。

(3)時間變化對大橋可靠度影響較大，時間越長，大橋動力可靠度下降越明顯;而結構單側及雙側可靠度相差較小。

(4)用ANSYS有限元程序求解結果與用自編程序計算結果均在10-4精度范圍內，表明自編程序計算完全準確。

因沿橋梁軸線方向設有活動支座，沿軸向位移遠大于撓度方向位移，故本文未考慮沿橋梁軸線方向動力可靠度。

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