兩條圓錐曲線的一種相互轉化方法

福建省泉州五中 楊蒼洲 （郵編：362000）福建省安溪一中 王志良 （郵編：362400）

（Ⅰ） 求 直 線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程；

（Ⅱ）設動圓C1：x2＋y2＝與C0相交于A′、B′、C′、D′四點，其中b＜t2＜a，t1≠t2.若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等.證明＋為定值.

1 從橢圓到雙曲線

一般化上述命題，可得：

又知A1（－a，0），A2（a，0），則

直線P1A1的方程為

直線P2A2的方程為

2 從雙曲線到橢圓

從橢圓類比到雙曲線可得：

命題2 已知動直線x＝t與雙曲線C：

相交于P1、P2兩點，點A1、A2分別為雙曲線C的左，右頂點，則直線P1A1與直線P2A2交點M的軌跡方程為

證明過程可以仿照命題1，這里從略.

3 從拋物線到拋物線

上述的兩個命題都涉及了有心圓錐曲線的兩個頂點，而拋物線的頂點只有一個，是否還能進行類比呢？回答是肯定的，拋物線的另一個頂點可視為無窮遠處，因此，這里我們可以用一條“平行于對稱軸的直線”來代替上述命題中的“P2A2”.

命題3 已知動直線x＝t與拋物線C：y2＝2px（p＞0）相交于P1、P2兩點，點O為拋物線C的頂點，過P2作直線l平行于x軸，直線P1O與直線l的交點M的軌跡方程為y2＝－2px（y＜0）或y2＝－2px（y＞0）.