三角函數的開關磁阻電機磁鏈解析模型

鐘銳， 曹彥萍， 徐宇柘， 屈嚴， 彭富林

(1．東南大學國家ASIC系統工程研究中心，江蘇南京 210096;2．東南大學電子科學與工程學院，江蘇南京 210096)

0 引言

開關磁阻電機(switched reluctance motor，SRM)是一種雙凸極無刷電機，其定子集中繞組，轉子僅由硅鋼片組成，具有不需要永磁材料，結構堅固、耐高溫的優點，在油田和煤礦設備中得到廣泛應用，且在國內外電動汽車中得到相當的重視和應用［1－2］。日本東京理工大學已經研發出50 kW開關磁阻電機應用于電動汽車;電產株式會社從2012年開始生產開關磁阻電機應用于重型機械和電動汽車，以減少電機對稀土材料的依賴性。

SRM驅動系統是轉速和相電流的雙閉環復雜控制系統，具有多參數、非線性、強耦合的特點。其核心部分－SRM電機本體，因為常工作在磁飽和狀態下，所以其電—磁—機的能量轉換過程尤為復雜，對SRM電機本體的磁鏈或電感等磁特性模型的研究一直方興未艾［3］。

已有SRM電機ψ－i－θ磁鏈建模方法可主要分為下面幾種:查找表法［3］，有限元分析法(finite element analysis，FEA)［4］，等效磁路分析法［5］，三次樣條插值法［6］，解析模型法等［7－10］，近年來還出現了人工智能法，如模糊邏輯、人工神經網絡(artificial neural network，ANN)［11］和模糊—神經網絡［12－13］等。上述方法中，等效磁路分析法和有限元分析法的計算過程極為復雜;三次樣條插值法和查找表法均需要大量的磁鏈－相電流－轉子位置數據以保證其精確度［14］;而人工智能法雖然在泛化能力和精確度上較好，但其訓練過程較長，實現難度也較大［9］。

解析法具有較高的精確度和計算速度［15－16］，且更易于在工程中得到應用，因此，一直以來均有學者進行研究。文獻［17］將SRM電機磁鏈模型描述為轉子位置角度的一階或二階函數，并以此推出了快速轉矩計算公式;文獻［7］利用二階插值法建立了i(θ，ψ)逆向查找表;文獻［1］首先提出了 Spong模型，即采用指數函數來描述磁鏈;文獻［8－9］對Spong模型相繼進行了修改，增加了額外的轉子位置項等方法來提高其精確度，降低了殘差平方和(sum of squares for error，SSE)。

指數函數雖然與磁鏈模型形狀較為接近，尤其能較好的反映定轉子對齊位置附近磁鏈飽和區的非線性磁鏈參數，但其計算量較大。此外，指數函數是利用高斯核函數的變形進行曲線擬合，而高斯核函數的中心點選取方法的理論一直不成熟，影響了擬合精確度。因此文獻［14］和文獻［18］利用傅里葉級數建立了磁鏈模型關系，并分別采用Arctan(i)函數和Froelich函數描述傅里葉級數的系數，但文獻［14］的轉矩計算公式較難求解，而文獻［18］的精確度較低;文獻［10］提出了基于傅里葉級數的可逆磁鏈模型，該模型中的各系數由SRM電機的機械尺寸和硅鋼片材料推導而來，但精確度仍不理想。

本文對基于三角函數的磁鏈模型進行了研究，以磁鏈－轉子位置角度公式ψ－θ為基礎，并采用以相電流為變量的多階多項式作為不同頻率下三角函數的各項系數，最終對FEA磁鏈數據族進行了擬合描述，使該磁鏈模型接近指數函數模型最好的結果，而同時轉矩計算量大幅降低。

1 建模

模型是基于一個3相，12/8結構的SRM實驗電機，額定功率1.28 kW，額定轉速3 600 r/min，其截面圖如圖1所示。

圖1 3相SRM截面圖Fig．1 The cross-section area of the investigated 3-phase SRM

1.1 磁鏈與轉子位置關系

圖2所示為通過FEA方法獲得的實驗電機某相的磁鏈－轉子位置－相電流曲線族(ψ－θ－i)，定轉子凸極對齊位置設定為0°，非對齊位置設定為－22.5°和22.5°。

以往模型主要圍繞如圖2(a)中的磁鏈－相電流曲線族ψ－i進行討論，該曲線族中接近對齊位置的幾條曲線由于飽和程度高而非常接近。本文采用如圖2(b)中所示的磁鏈－轉子位置曲線族ψ－θ進行分析，以期借助磁鏈的軸對稱性而獲得更好的擬合效果。

磁鏈對轉子位置曲線的對稱性要求其模型是偶函數，具備此特性的函數容易想到是余弦函數，單個余弦函數不能表達如此豐富曲線簇，多個函數組合且能組成完備正交的函數形式是傅里葉級數，考慮到計算量及常見解析模型大多是4～5個參數，則試用下面公式表達磁鏈模型，包含了包括常量和1至4次諧波在內，形式為

其中:a0～a4是與相電流i有關的系數;ψ是相磁鏈;θ是轉子位置角度。

圖2 SRM磁鏈特性Fig．2 Flux linkages of SRM

式(1)與電流相關的參數有5個，減少其個數可減少計算量，也可降低系數擬合的難度。為此，需尋找a0～a4之間是否存在函數關系，利用實際樣機數據擬合后，得到參數a0～a4，發現a3與a4存在線性關系，后者大約是前者的1/12，利用回歸分析工具計算其相關系數為0.95，而高次諧波的影響程度較小，因此作近似處理為

等式(1)可簡化為

等式(1)中的系數a0～a3通過基于Levenberg－Marquardt算法的最小二乘方法進行擬合，其結果分別如圖3中所示。一般6階多項式即可擬合任意曲線，考慮到精確度和計算量的折中，上述系數均采用易于秦九昭算法進行計算的6階多項式形式表達，有

其中，cnj是an中各項的系數，再次采用最小二乘法計算得出其系數如表1中所示。

圖3 系數a0，a1，a2和a3關于相電流的函數Fig．3 Coefficients a0，a1，a2and a3as functions of the phase current i

表1 等式(3)系數擬合多項式的系數Table 1 Polynomial coefficients used for fitting coefficients in equation(3)

至此，實驗電機的磁鏈模型可由表1中的系數和等式(4)完整建立出來。該模型與FEA原ψ(i，θ)數據進行對比后的結果如圖4中所示。

圖4 FEA和本文模型生成的磁鏈對比Fig．4 Comparisons of flux linkage derived from proposed model and FEA results．

下面對該模型精確度進行進一步分析，采用誤差平方和(sum squared error，SSE)函數進行量化，定義給定轉子位置θk和相電流ij的SSE函數為

其中:ψ(ij，θk)為本文所建模型計算結果;ψjk為 FEA數據;n代表誤差量化所選擇的曲線族數，本文取值16。圖5所示為相電流從0到20 A的SSE變化情況。最大 SSE為 6.209 3e－4 Wb2，平均 SSE為2.799 8e－4 Wb2。

1.2 轉矩計算

以往建模方法在計算電機轉矩時幾乎都要采用近似函數的方法來降低計算復雜度例如文獻［9］中其轉矩公式無法積分，引入雙曲正切函數來逼近其不可積分部分，從而會引入新的計算誤差。本文所提出的方法則不需要做函數近似。

電機某相轉矩可從磁共能W推導出來，有

其中，ia是相瞬時電流。將等式(3)代入式(6)可得

等式(7)中，系數an(i)是等式(4)中的6階多項式，則∫an(i)di是一個6階多項式的積分，是完全可積的，且結果仍是多項式，仍可用秦九昭算法簡化計算。因此，其計算過程非常簡潔，轉矩的計算量很小。避免了采用其他函數再次逼近轉矩計算過程引入新誤差。

圖6所示為實驗SRM電機在不同相電流下的轉矩仿真波形。其結果與FEA仿真出的轉矩結果較為符合。

圖6 FEA和本文模型轉矩對比Fig．6 Comparison of torques between the FEA and the proposed model

1.3 模型比較

下面將本文所提出的模型與 Torrey模型和Chen模型進行精確度和計算量上的比較，其結果如表2和表3所示。

表2 現有模型核本文提出模型磁鏈誤差對比Table 2 Comparisons of flux linkage accuracy of the existing models and the proposed model

表3 現有模型和本文提出模型轉矩計算量對比Table 3 Comparisons of torque calculation cost of the existing models and the proposed model

從表2中可以看出，本文所提模型的SSE比Torrey模型要小一個量級，最大SSE和平均SSE分別是Torrey模型的15.5%和19.0%;比Chen模型略差，最大SSE和平均 SSE分別是 Chen模型的142.2%和160.0%，但同樣在較高精確度的范圍內。由表3可知，在計算量方面，本文所提模型在進行轉矩計算時，其乘和加操作分別是Torrey模型的67.23%，Chen模型的38.83%。綜合精確度和計算量兩個指標，本文所提模型的方法保持高精確度情況下，大大減小了計算量。

需要說明的是，盡管等式(3)是根據3相12/8結構的SRM電機建立的，但是該等式同樣適用于具備單極對稱結構的其它相數和極數的SRM，只是多項式系數an需要根據SRM具體參數重新調整。

2 仿真和實驗結果

2.1 實驗硬件環境

圖7所示為基于Matlab/SIMULINK所建立的SRM驅動仿真系統框圖。實際轉速ω與整定轉速ω'之間的轉速差值Δω提供給速度控制模塊(speed controller)以計算參考相電流iref;角度控制模塊(APC controller)計算開通角 θon和關斷角 θoff;功率管驅動模塊(gate driver)根據換相信號來產生功率管的柵驅動信號，并通過電流控制模塊(current controller)的反饋信號產生斬波信號。SRM電機由功率變換器模塊驅動。

圖7 SRM驅動系統框圖Fig．7 Block diagram of SRM drive system

實驗系統如圖8所示。采用了ARM Cortex M3內核的STM32F103VBT6作為主芯片，功率變換器為典型不對稱半橋結構。負載為20 N·m磁滯測功機，相電流采樣元件為霍爾電流傳感器。

圖8 SRM驅動系統實驗平臺Fig．8 Experimental system of SRM driver

2.2 控制模式

2.2.1 角度控制(angular position control，APC)模式圖9所示為空載、角度控制模式下的單相電流及柵驅動信號仿真波形和實測波形。開通角和關斷角分別設置為－22.5°和－15°。相電壓為270 V，電機轉速穩定在3 000 r/min。通道1、2和3分別指示轉子位置角度、柵驅動信號和相電流。

圖9 空載、角度控制模式下的仿真和實測波形(3 000 r/min，θon= －22.5°，θoff= －15°)Fig．9 Simulated and measured waveforms without load under APC control(3 000 r/min，θon= －22.5°，θoff= －15°)

圖10 負載3.5 N·m，角度控制模式下的仿真和實測波形(3 000 r/min，θon= －30°，θoff= －9°)Fig．10 Simulated and measured waveforms with 3.5 N·m load under APC control

圖10所示為負載為3.5 N·m時的單相電流及柵驅動信號仿真波形和實測波形。開通角和關斷角分別設置為－30°和－9°，相電壓為270 V，電機轉速穩定在3 000 r/min。

根據圖9和圖10的波形對比，可以看出，以所建模型為核心的仿真結果與實際電機測試結果有較好的一致性。

2.2.2 電流斬波控制(current chopping control，CCC)模式

圖11所示為電流斬波控制模式(CCC)下的仿真和實測波形。該模式下的電流變化比較劇烈，更能反映模型的精確度，特別是在斬波時間點和持續時間等方面。負載為3.5 N·m，開通和關斷角分別設置為 －22.5°和 －7.5°，相電壓為270 V，電機轉速穩定在1 000 r/min。斬波次數和時間一致性很好。

圖11 負載1.5 N·m，角度控制模式下的仿真和實測波形(1 000 r/min，θon= －22.5°，θoff= －7.5°)Fig．11 Simulated and measured waveforms with 1.5 N·m load operation

2.3 計算量

電機相轉矩的計算由STM32F103VBT6完成，該處理器在72 MHz主頻下的定點計算性能達到90MIPS Dhrystones。由于計算公式中的數據大量是浮點型的，因此采用了坐標旋轉數字計算算法(coordinate rotation digital computer，CORDIC)和浮點轉換定點算法來提高計算速度。最終，磁鏈ψ和轉矩Te的計算時間分別達到了60 μs和187 μs。一般來說SRM控制中，無需在一個周期內計算磁鏈和轉矩，而即使電機在10 000 r/min時，一個周期45°是750 μs，磁鏈和轉矩的計算時間足夠適用于SRM電機的實時控制。如果電機需工作在超高速度，則可采用FPGA等硬件方案提高運算速度。

3 結語

根據磁鏈對轉矩位置曲線簇的對稱性特點，提出了一種基于三角函數的磁鏈－轉子位置角度(ψ－θ)解析模型，其系數是關于電流的6階多項式函數，并采用Levenberg－Marquardt算法的最小二乘方法求解出系數。由此磁鏈模型推導出的轉矩公式是三角函數與多項式積分的乘積，多項式是可積分的，其計算過程非常簡潔不需要再次近似。模型計算出的磁鏈和轉矩同FEA方法得到的數據有很好匹配，同現有模型對比其特點是精確度較高的同時轉矩減少了一半的計算量。在斬波控制模式和角度控制模式驗證中，仿真與實測結果一致性好。實際計算量測試中，磁鏈和轉矩公式的運行時間在72 MHz主頻的 STM32 上為 60 μs和 187 μs，遠小于SRM在10 000 r/min的一個周期，適用于在SRM電機控制中對磁鏈和轉矩做實時解算。

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