鰭/舵減搖雙重控制的H∞設(shè)計

劉彥文， 王廣雄， 李棟良

(1.哈爾濱工程大學(xué)自動化學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001)

0 引言

艦船在海上航行時，由于受到風(fēng)浪等環(huán)境干擾的作用，會產(chǎn)生各種搖蕩，這對艦船的安全性、船上的設(shè)備、貨物及船員都會產(chǎn)生不利影響，其中以橫搖影響最為嚴重。目前常用的減搖裝置是減搖鰭，但近年來舵減搖也越來越引起了大家的廣泛研究。這里航向舵本來是控制航向用的，但是利用舵偏轉(zhuǎn)時船舶的側(cè)傾運動也可用來減搖。雖然單獨用舵來減搖也能達到減搖效果，但對舵機的速度要求會很高。考慮到許多大型船舶都安裝有減搖鰭，所以可以仍使用原有的低速舵，與減搖鰭配合來增加減搖效果，即利用鰭和舵進行雙重控制。

自從舵減搖的方案提出后就有不少文獻對舵減搖系統(tǒng)的設(shè)計展開了研究［1－11］，其中有一部分文獻是關(guān)于單獨用舵來減搖的方案，不過也有相當一部分文獻是討論舵與鰭配合的鰭/舵雙重減搖的方案。不過文獻上的雙重減搖都是將鰭和舵考慮在一起，從多輸入多輸出(multi－input multi－output，MIMO)的角度來進行討論的。例如文獻［8］設(shè)計了舵/鰭H∞聯(lián)合減搖控制器，并用結(jié)構(gòu)奇異值μ分析了系統(tǒng)的魯棒性能。文獻［9］按文獻［11］的操舵準則設(shè)計了模糊控制器來修正航向指令，再與減搖鰭進行協(xié)調(diào)控制。這種鰭/舵合在一起的設(shè)計雖然理論上是可行的，但是設(shè)計和調(diào)試較為復(fù)雜，尤其是物理概念不十分清晰。

本文提出的雙重控制則是根據(jù)減搖系統(tǒng)的實際，將舵減搖和鰭減搖兩個系統(tǒng)分別進行設(shè)計，在零相移上進行統(tǒng)一，而這個零相移的頻率響應(yīng)特性則是靠H∞設(shè)計來實現(xiàn)的。這種滿足同樣要求的分開設(shè)計，簡化了系統(tǒng)的設(shè)計過程，又便于調(diào)試，也便于在設(shè)計中控制最終的減搖效果。

1 系統(tǒng)的模型和減搖的設(shè)計要求

這里考慮的是要將舵減搖與鰭減搖的作用相加起來，而舵對航向，即艏搖運動也有影響，所以現(xiàn)在的系統(tǒng)模型如圖1所示。圖中G11(s)為船體的轉(zhuǎn)鰭角α到橫搖角φ的動特性，G12(s)為船體的轉(zhuǎn)舵角δ到橫搖角的動特性，G22(s)是舵到艏搖角ψ的動特性，Kf(s)是鰭減搖控制器，Kr(s)是舵減搖控制器，Kψ(s)為航向控制器，Gα(s)和Gδ(s)為相應(yīng)的鰭和舵的舵機伺服系統(tǒng)。

圖1 鰭/舵聯(lián)合減搖系統(tǒng)的框圖Fig.1 Block diagram of an integrated fin/rudder roll stabilization system

本文的研究對象是WMEC901艦，根據(jù)文獻［3－4］的模型參數(shù)，可得相應(yīng)的傳遞函數(shù)為

至于舵機伺服系統(tǒng)，其帶寬一般都是超出減搖系統(tǒng)的帶寬的，即其動特性對減搖性能不會有很大影響。不過當用舵來減搖時，舵轉(zhuǎn)角的速率限制卻是應(yīng)該要考慮的一個限制因素。為了引入速率限制，取具有限速特性的舵機模型，如圖2所示［2］，其限速值是6(°)/s。而未進入限速時的線性模型為

下面在線性分析中是將式(4)歸入到G11(s)和G12(s)中作為一個對象特性來考慮的。本文的設(shè)計思想(反映在權(quán)函數(shù)上)是在正常減搖時基本上不進入限速段。所以系統(tǒng)設(shè)計時還是選用線性模型(4)，而圖2的結(jié)構(gòu)主要用于仿真驗證。

圖2 帶限速特性的舵機模型Gδ(s)Fig.2 Rudder servo model with rate limit，Gδ(s)

從式(3)可見，航向的G22(s)具有積分特性，這是一個慢過程，因此只要減搖系統(tǒng)的帶寬與航向控制的帶寬錯開，即使這兩個系統(tǒng)在頻域上解耦，那么減搖系統(tǒng)就可以單獨來設(shè)計了［2］，現(xiàn)在這個減搖系統(tǒng)共有2個控制器和2個執(zhí)行機構(gòu)(α，δ)，是一個雙重控制的系統(tǒng)。這兩條控制通道是并行的，故系統(tǒng)的開環(huán)特性為

式中，Gf=G11Gα;Gr=G12Gδ。文獻［1－2］中指出，航行中海況對船舶橫搖的影響可視為輸出端擾動，如圖1中的d(t)所示。所以減搖系統(tǒng)的主要性能指標是系統(tǒng)的輸出端靈敏度S，即

由于減搖系統(tǒng)中的對象都呈二階的振蕩特性［見式(1)、式(2)］，所以這個系統(tǒng)的Nyquist特性KG(jω)具有圖3所示的形狀。圖3中還表示有式(6)分母部分的幅值|1+KG(jω)|。

圖3 減搖系統(tǒng)的Nyquist圖線KG(jω)Fig.3 Nyquist locus KG(jω)of the roll stabilization system

海浪對船舶擾動d(t)的頻譜與海況和航行情況都有關(guān)，不過減搖系統(tǒng)設(shè)計時常以船舶的自然頻率ωn作為設(shè)計工作點，因為它代表著橫搖時的主導(dǎo)頻率［2］。由此可見，要達到最大的減搖效果，應(yīng)使系統(tǒng)的Nyquist圖線上的ωn點落在正實軸上，這時1+KG(jω)的幅值為最大，即靈敏度S［見式(6)］在這個頻率點上達到最小。由于在這ωn時頻率特性的相移為零，故也稱零相移設(shè)計，這時作用在船上的減搖力矩正好與擾動力矩相反。這種零相移的設(shè)計思想在單獨用鰭來減搖的系統(tǒng)中是有采用的［2］，但是如果是鰭和舵的雙重控制，則由于系統(tǒng)復(fù)雜，一般則認為這樣的設(shè)計思想不好實現(xiàn)［1］。本文的做法是分別將鰭控制器和舵控制器都按零相移進行設(shè)計，因為二者在ωn處都是零相移，就可以相加了。這里的困難是在舵減搖回路的設(shè)計上，因為舵回路的動特性比較復(fù)雜，是通過變動航向角時所引起船體側(cè)傾來減搖的，而且在這個通道上又存在有非最小相位特性，因此不宜用一些直觀的概念來進行零相移設(shè)計。本文是采用H∞方法來進行設(shè)計，因為H∞方法是一種綜合方法，可以直接按零相移要求來進行設(shè)計。

2 控制器設(shè)計

2.1 減搖鰭控制器

鰭減搖系統(tǒng)的對象特性G11比較單純，基本上是一個簡單的二階振蕩環(huán)節(jié)，而且多年來已積累了相當?shù)脑O(shè)計經(jīng)驗，所以這里就直接選用現(xiàn)有的控制率，即取鰭減搖控制器為［3］

式中:ωn為船舶橫搖的自然頻率，本例中 ωn=1.15 rad/s;各增益系數(shù)為k1=2，k2=6，k3=2。圖4中的特性1就是在這組參數(shù)下的鰭減搖回路的Nyquist圖線KfGf。從圖中可以看到，ω=ωn=1.15的點基本上是在實軸上，即這個設(shè)計就是一種零相移設(shè)計。

圖4 系統(tǒng)的Nyquist圖Fig.4 Nyquist locus of the system

2.2 舵減搖控制器

舵減搖系統(tǒng)的對象動特性G12比較復(fù)雜，故采用H∞設(shè)計。上面已經(jīng)指出減搖系統(tǒng)的設(shè)計要求反映在靈敏度函數(shù)S(jω)上，要求靈敏度函數(shù)在零相移的頻率點ωn上達到最小。舵減搖回路的靈敏度函數(shù)為

式中Gr=G12Gδ。根據(jù)對圖1系統(tǒng)的分析可以知道，要使舵減搖系統(tǒng)不影響低頻工作的航向系統(tǒng)，舵減搖控制器應(yīng)具有微分特性，使低頻段的橫搖信號不會通過Kr(s)去影響航向系統(tǒng)。這樣，低頻段的Kr(jω)Gr(jω)→0，故根據(jù)式(8)可知，低頻段S(jω)→1。而對高頻段來說，由于對象特性的衰減，S(jω)也是趨近于1的。所以舵減搖系統(tǒng)的靈敏度Bode圖具有如圖5(粗線)所示的圖形，其兩端為0 dB，中間呈下凹狀，要求在ωn處達到最小值。另外，根據(jù)Bode積分定理［12］，有

對數(shù)靈敏度的積分(即面積)等于零，所以靈敏度Bode圖上，既有下凹的特性，也必有凸起來的部分，圖5代表的是一條典型特性。

圖5 靈敏度函數(shù)和權(quán)函數(shù)Fig.5 The sensitivity function and the weighting functions

式(10)中的H∞兩塊問題在頻域上是一種互補關(guān)系。在中頻段，H∞優(yōu)化設(shè)計后可以做到W1S=1，即S=1/W1，因此可以根據(jù)要求的零相移設(shè)計要求來確定性能權(quán)函數(shù)W1。在低頻和高頻段，因為S→1，所以有Kr=1/W2，因此可以通過W2來指定所要求的舵減搖控制器Kr(s)的特性。例如要求減搖控制器具有微分特性，就可以在W2中設(shè)一積分環(huán)節(jié)，使控制器低頻段的特性具有+20 dB/dec的斜率。而W2的高頻段特性是用來限制控制器Kr(s)的高頻段增益的，例如圖5所示的W2的高頻段特性可以限制Kr(s)的高頻段增益從ω=100 rad/s開始，以－20 dB/dec的斜率到ω=1 000 rad/s時衰減為1。這里要說明的是，這兩塊問題［式(10)］中的W2KrS是一種定性約束，主要服從于W1S的性能要求。也就是說，W2的高低頻段的±20 dB/dec線段的位置在設(shè)計中是可以左右移動的，以服從W1S=1的設(shè)計需要。而W1則代表了系統(tǒng)的性能要求，在H∞優(yōu)化設(shè)計中是要設(shè)法確保的，即確定后不要輕易更改。

根據(jù)零相移的設(shè)計要求，可以確定性能權(quán)函數(shù)W1(s)為

根據(jù)圖5中的靈敏度特性，H∞優(yōu)化問題可以采用如下的S/KS問題［13］，即

式中，ωn是船舶的自然頻率，本例中ωn=1.15 rad/s。H∞優(yōu)化設(shè)計后，中頻段有W1S=1的關(guān)系，即在ω1到ω2的頻段上靈敏度特性和W1特性互成鏡像關(guān)系，如圖5所示。靈敏度函數(shù)小于0 dB的頻段對應(yīng)于系統(tǒng)的特性處于以－1為中心的單位圓之外的頻率段(參見圖3)，這頻段上系統(tǒng)的增益都比較大。這一頻段可以認為是系統(tǒng)的工作頻段。顯然這一頻率段不能太寬，不能超出式(1)～式(3)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型所適用的頻帶。這一頻段的寬度一般以10倍頻程為宜，例如在設(shè)計中可取為從 ωn/3到3ωn，如圖5所示。由于這個頻率帶不能太寬，所以式(11)的峰值不能太高，一般以大于12 dB為宜。這里要說明的是，權(quán)函數(shù)中這些數(shù)據(jù)確定時要考慮到正常減搖時舵機的速率不可太高，例如不超出6(°)/s(見下面的仿真)。根據(jù)這些考慮，本設(shè)計中取

這個W1的峰值|W1|max=12.4 dB。至于低頻段和高頻段對控制器的限制，用一個有理函數(shù)W2(s)連接起來(圖5)，這就是式(10)中的第2個權(quán)函數(shù)，本設(shè)計中為

根據(jù)式(12)和式(13)的權(quán)函數(shù)，求解H∞優(yōu)化問題［式(10)］，得γ=0.996 9的H∞控制器Kr(s)為

圖6所示為此H∞控制器Kr(s)的Bode圖，其低頻段為微分特性，高頻段從ω=100 rad/s開始到ω=1 000 rad/s衰減為1，符合權(quán)函數(shù)W2所規(guī)定的性能要求。

圖6 H∞控制器Kr(s)的Bode圖Fig.6 Bode plot of the H∞controller Kr(s)

圖7為對應(yīng)的系統(tǒng)的Nyquist圖線KrGr，從圖上可以看到ω=ωn時的特性基本上處于正實軸上。所以通過H∞設(shè)計，舵減搖回路也做到了零相移設(shè)計。其實圖5中的S(jω)就是這個設(shè)計所得的系統(tǒng)的靈敏度特性，其最低點的值為0.238=－12.5 dB。

圖7 舵減搖回路的Nyquist圖Fig.7 Nyquist locus of the rudder roll stabilization loop

2.3 合成的控制器

由于減搖鰭和舵減搖兩個回路在ω=ωn處都做到了零相移，故可以將這兩個回路的特性相加，即這兩個控制器是并行工作的。圖4中的特性2就是相加后的KG(s)的Nyquist圖(見式(5))，ω=ωn處的幅值達到了13.9，較單獨的鰭減搖(特性1)有較大的提升。

圖8給出的是整個系統(tǒng)合成的靈敏度特性［見式(6)］，其最低點的最小值Smin=0.067 2=－23.5 dB。

圖8 合成的靈敏度函數(shù)SFig.8 The integrated sensitivity function S

3 仿真驗證

現(xiàn)在來考察所設(shè)計的舵鰭聯(lián)合減搖控制系統(tǒng)在海浪干擾d(t)(見圖1)下的減搖情況。

橫搖海浪干擾信號的仿真框圖如圖9所示。圖9中的二階振蕩環(huán)節(jié)是船舶的單自由度橫搖運動模型，ωn是船舶的自然頻率，ξ為船舶的固有阻尼。

圖9 橫搖干擾模型Fig.9 Roll disturbance model

這里采用PM(Pierson－Moskowitz)譜來描述海浪干擾，即

式中，Hs是海浪的有義波高。模擬不規(guī)則海浪的方法常用的有成形濾波器法和線性波浪疊加法，這里采用線性疊加法［14］。這是將海浪視為一平穩(wěn)的隨機過程，是由無限個不同周期和相位隨機的余弦波疊加得到的。為了便于進行數(shù)值模擬，取有限個(M個)這樣的余弦波進行疊加來模擬海浪的波高ζ(t)為

其中:ζi為第i個諧波的波高振幅;ωi=ω1+(i－1)Δω為角頻率;εi為隨機的初始相位(仿真中取(0，2π)范圍內(nèi)均勻分布的隨機數(shù))。

本例中根據(jù)海浪的功率譜(式(15))，設(shè)海浪譜的能量主要分布在 ω1～ω2頻率范圍內(nèi)，ω1=0.25 rad/s，ω2=2.4 rad/s。把頻率范圍等分成M=28個區(qū)間，其間距 Δω=(ω2－ω1)/(M－1)=0.08 rad/s，這樣可以算得第i個諧波的振幅ζi為

實際仿真中(圖9)用到的是海浪的波傾角，波傾角譜由波能譜［式(15)］得到［14］，即

將式(18)代入式(17)，就可以得到第i個諧波的波傾角振幅σi，相應(yīng)地就可以得到海浪的波傾角輸出σ(t)。

圖10、圖11給出的是5級海況，有義波高為Hs=3.25 m，遭遇角為90°時，鰭/舵雙重控制下的仿真結(jié)果。

圖10(a)中的曲線2就是系統(tǒng)輸出端的海浪擾動信號d(t)，曲線1就是雙重控制下的減搖效果。圖10(b)是舵轉(zhuǎn)角的速度曲線。減搖系統(tǒng)的效果一般用減搖率來衡量。減搖率γ是指橫搖角標準差較無減搖器時減少的百分數(shù)，即

式中，θ1和θ2分別是有減搖控制器和無減搖控制器時輸出橫搖角的標準差。根據(jù)圖10(a)的數(shù)據(jù)，可算得。鰭/舵聯(lián)合減搖的減搖率為89.32%。

事實上，系統(tǒng)的靈敏度S本來就是對輸出端擾動的抑制特性，因此減搖率也相當于1－|S(jωn)|。本例中鰭/舵聯(lián)合減搖時|S(jωn)|=0.067 2，故

與用標準差公式算得的值也大致相當，說明H∞設(shè)計中用靈敏度函數(shù)S作為性能指標來考慮是合理的。

圖10 減搖前后橫搖角輸出及舵角速度輸出Fig.10 Responses of the stabilized，unstabilized roll angle and rudder angle speed

圖11 有無速度限制時橫搖角輸出Fig.11 Roll angle responses with and without rate limit

鰭/舵聯(lián)合減搖的一個限制因素是舵轉(zhuǎn)角的速度限制。從圖10(b)可以看到舵角的速度基本上都工作在6(°)/s以內(nèi)，說明上面權(quán)函數(shù)的確定［式(12)］滿足了對6(°)/s的約束要求，圖11所示就是加了舵機限速特性(圖2)下的仿真結(jié)果。圖中細線1是有限速時的橫搖角曲線，其中峰值較低的粗線2就是圖10(a)中的減搖曲線。二者的差別并不大，說明本例中關(guān)于舵減搖回路的設(shè)計(參見圖5)，對于一般的限速為6(°)/s的舵機來說，可以起到用舵來增強減搖效果的作用。

這里要說明的是，船舶減搖方面的仿真內(nèi)容是很豐富的。這里的仿真只是要說明，當分別采用零相移設(shè)計時系統(tǒng)的特性就可以按相加的思路來考慮，仿真驗證了這一設(shè)計思想。

4 結(jié)語

雙重控制系統(tǒng)中控制通道之間是一種相加的關(guān)系。本文提出的零相移設(shè)計使兩個通道在主導(dǎo)頻率上具有相同的零相位，因而這兩個通道的特性可以相加，增強了減搖的效果，也方便了這聯(lián)合減搖系統(tǒng)的設(shè)計。為了保證在主導(dǎo)頻率上的零相移要求，H∞控制是一種較好的設(shè)計選擇，因為這是一種可指定性能的設(shè)計方法。文中從頻域上互補的角度討論了H∞控制S/KS問題中權(quán)函數(shù)的選擇，這樣的討論對其他H∞問題中的權(quán)函數(shù)的選擇也都是可以借鑒的。

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