基于摩擦觀測器的直接驅(qū)動XY平臺輪廓控制器設(shè)計

王麗梅， 李兵

(沈陽工業(yè)大學電氣工程學院，遼寧沈陽 110870)

0 引言

直線電機驅(qū)動XY二維平臺系統(tǒng)的精密輪廓跟蹤控制在數(shù)控機床中具有代表性，對提高數(shù)控系統(tǒng)輪廓加工精度具有重要的作用［1－2］。

為提高XY平臺系統(tǒng)的輪廓精度，許多研究側(cè)重于將各個單軸的跟蹤誤差作為控制目標，期望由降低各單軸跟蹤誤差來提高系統(tǒng)輪廓精度［3－5］。但是，跟蹤誤差的減小并不能保證輪廓精度的提高，這是由于當系統(tǒng)執(zhí)行輪廓跟蹤任務時，各單軸跟蹤控制器為減小跟蹤誤差驅(qū)使兩軸偏離期望輪廓軌跡，使得實際輪廓軌跡半徑小于期望輪廓半徑，而產(chǎn)生“軌徑縮減”現(xiàn)象［6］。實際上，雙軸協(xié)調(diào)性與摩擦非線性是影響XY平臺系統(tǒng)輪廓精度的兩個重要因素。為提高雙軸協(xié)調(diào)性，Koren提出交叉耦合控制(cross－coupled control，CCC)減小系統(tǒng)的輪廓誤差，但是其分析與設(shè)計僅限于線性輪廓［7］。文獻［8］采用基于任務坐標轉(zhuǎn)換法的交叉耦合控制來減小系統(tǒng)輪廓誤差。但是，利用任務坐標系下的法向誤差分量近似輪廓誤差并沒有精確實現(xiàn)對輪廓誤差的解耦控制，而且控制器的設(shè)計中也沒有考慮摩擦等外部擾動對系統(tǒng)的影響。文獻［9］針對一般曲線輪廓跟蹤任務，提出將二階滑模控制與等效誤差模型相結(jié)合的控制方法減小系統(tǒng)的輪廓誤差，但并沒有著重考慮摩擦非線性對系統(tǒng)的影響。

為了提高直線電機XY平臺系統(tǒng)的輪廓精度，在整體分析輪廓誤差以及摩擦力數(shù)學模型基礎(chǔ)上，提出一種基于摩擦補償?shù)妮喞刂撇呗浴榭朔Σ亮ο到y(tǒng)的影響，設(shè)計基于LuGre摩擦力模型的狀態(tài)觀測器以及摩擦估計器。同時，利用觀測狀態(tài)，結(jié)合實時輪廓誤差模型，設(shè)計基于摩擦補償?shù)妮喞刂破鳎ㄟ^輪廓控制器連續(xù)控制，將系統(tǒng)的輪廓誤差減小到規(guī)定范圍內(nèi)，使XY平臺達到高精度要求，并降低摩擦力對系統(tǒng)的影響。

1 XY平臺動態(tài)模型

采用LuGre動態(tài)模型來描述摩擦所有動、靜態(tài)特性、摩擦記憶現(xiàn)象和Stribeck效應，基于LuGre摩擦模型的XY平臺系統(tǒng)的動態(tài)方程可寫為

其中:下標1與2分別對于X、Y兩軸;x1和x2為位置輸出;m1和m2為動子及所帶負載的總質(zhì)量;u1和u2為系統(tǒng)控制輸入;fr1和fr2為兩軸的總摩擦力，其狀態(tài)方程可寫為

其中:fr=［fr1fr2］T為系統(tǒng)總摩擦力為系統(tǒng)的速度;Σ0、Σ1及 Σ2可寫為

式中:σ01、σ02分別為兩軸摩擦力的剛度系數(shù);σ11、σ12為阻尼系數(shù);σ21、σ22為粘性系數(shù);剛毛的形變狀態(tài)量z= [z1z2]T計算式為

式中，γ(v，z)可寫為

式(5)中，非線性函數(shù)gi(vi)可根據(jù)LuGre模型計算為

其中:i=1，2分別表示系統(tǒng)X、Y軸;vsi為邊界潤滑摩擦臨界速度;fci為系統(tǒng)的庫侖摩擦力;fsi為系統(tǒng)的最大靜摩擦力。

2 輪廓誤差模型

在高精度輪廓控制系統(tǒng)中，輪廓模型精度將直接影響輪廓性能，而在自由軌跡輪廓跟蹤任務中，由于軌跡具有任意性，模型難于精確建立［10］。本文采用實時輪廓誤差法，建立輪廓誤差模型如圖1所示。

圖1 實時輪廓誤差Fig．1 Real-time contour error

圖1中，R1為指定路徑，P1為實際路徑，R1(t)為期望位置點，P1(t)為實際運動點，而跟蹤誤差Ep在實際運動點P1(t)切線方向的投影長度為L，并在期望軌跡上尋找R2(t)點，使得R2(t)點與R1(t)點的距離等于L，將實際運動點P1(t)與R2(t)點的最短距離εc作為輪廓誤差的近似模型，即

式中:ex、ey為系統(tǒng)跟蹤誤差Ep在X、Y軸的分量;φ為通過R2(t)與R1(t)的直線與X軸的夾角;R1x(t)、R1y(t)分別為R1(t)在X、Y軸的分量;R2x(t)、R2y(t)分別為R2(t)在X、Y軸上的分量;R2(t)位置點可計算為

式中:vx、vy為系統(tǒng)X、Y軸的速度;vx1、vy1分別為R1(t)點在X、Y軸的切向速度;vx2、vy2分別為R2(t)點在X、Y軸的切向速度。在自由軌跡輪廓跟蹤任務中，系統(tǒng)X、Y軸的進給速度并不總是常值，vx2與vy2的值不能準確求出，因此，假設(shè)R2(t)與P1(t)有相同的切向速度，式(10)可重寫為

綜上，將式(8)～式(11)帶入到式(7)中得到自由軌跡的實時輪廓誤差數(shù)學模型。

在連續(xù)軌跡控制系統(tǒng)中，不僅對單軸跟蹤精度有嚴格要求，而且在雙軸聯(lián)動時，還要求各軸有較好的動態(tài)配合，而輪廓誤差的減小并不能保證系統(tǒng)會完全跟隨指令運動，因此，將實時輪廓誤差εc與切向跟蹤誤差εt共同構(gòu)成新的狀態(tài)變量εp為

3 基于摩擦觀測器的輪廓控制器設(shè)計

3.1 狀態(tài)觀測器設(shè)計

為了模擬摩擦動態(tài)而構(gòu)造的剛毛形變量z是不可測的，因此，必須設(shè)計狀態(tài)觀測器對其進行觀測。基于式(1)～式(6)構(gòu)造狀態(tài)觀測器為

當系統(tǒng)引入狀態(tài)觀測器，必須對觀測誤差動態(tài)系統(tǒng)(15)的有界性進行分析。為了分析觀測誤差系統(tǒng)(15)是的有界性，定義新的觀測誤差狀態(tài)為，系統(tǒng)(15)變?yōu)?/p>

式中，Ξ=M－1Σ2M－1Σ1，上述系統(tǒng)等效為一個互聯(lián)系統(tǒng)，其由一個線性子系統(tǒng)和一個非線性子系統(tǒng)構(gòu)成，如圖2所示。

圖2 互聯(lián)系統(tǒng)Fig．2 Interconnect system

圖中，線性時變子系統(tǒng)狀態(tài)空間為

3.2 輪廓控制器設(shè)計

圖3中，η1表示X軸位移、速度及剛毛形變狀態(tài)量，η2表示Y軸位移、速度及剛毛形變狀態(tài)量，分別表示 η1、η2的觀測值分別表示 X、Y軸位移、速度及剛毛形變狀態(tài)量的觀測誤差。為了推導輪廓控制律ˉu，將式(20)、式(21)代入式(1)，得到系統(tǒng)跟蹤誤差動態(tài)方程為

為了方便推導，將式(13)改寫為

將式(23)～式(25)代入式(22)中得到輪廓控制律為

式中:KP和KV為常系數(shù)矩陣為εv的估計值，其表達式為

圖3 XY平臺系統(tǒng)控制框圖Fig．3 Block diagram for XY table control system

4 仿真結(jié)果及分析

為了驗證所提出控制策略的可行性及正確性，基于Matlab建立了圖3所示的XY平臺控制系統(tǒng)模型。表1給出了XY平臺控制系統(tǒng)參數(shù)。系統(tǒng)的指令路徑為長軸長為a=0.06 m，短軸長為b=0.04 m的橢圓形輪廓軌跡，即:X、Y軸的位置輸入指令分別為 xd1(t)=0.06sin(πt)m，xd2(t)=0.04cos(πt)m。

當系統(tǒng)摩擦非線性因素以及外部擾動均存在時，當仿真采樣時間為0.000 1 s時，得到仿真曲線如下。圖4為XY平臺的指令輸入與實際輸出軌跡曲線。可以看出，在基于摩擦補償?shù)妮喞刂破髯饔孟拢瑢嶋H軌跡與指令軌跡重合。

表1 系統(tǒng)仿真參數(shù)Table 1 Parameters of system in the simulations

圖4 橢圓指令軌跡與實際軌跡Fig．4 Elliptic desired path and output path

為了滿足系統(tǒng)觀測條件，分別對X、Y軸進給速度以及剛毛形變量的觀測狀態(tài)進行仿真，得到觀測誤差曲線如圖5、圖6所示。可以看出，在控制器的連續(xù)作用下，X、Y軸的速度及剛毛形變量的觀測誤差均趨近于零，這是由于大多數(shù)多軸平臺材料為鋼，其剛度系數(shù)很大，則進給速度以及剛毛形變量的觀測誤差上界充分小，即式(15)所述系統(tǒng)能夠滿足狀態(tài)觀測的觀測條件。

圖5 速度觀測誤差Fig．5 Velocity observed error

圖6 系統(tǒng)剛毛形變量觀測誤差Fig．6 Observation error of the bristle deflection

圖7為系統(tǒng)輪廓誤差與切向誤差曲線。可見實際輪廓誤差在 －1～1 μm之間，切線誤差 －0.7～0.7 μm之間，與文獻［11－12］中不同控制方法下的輪廓誤差進行比較，結(jié)果表明在基于摩擦補償?shù)妮喞刂品椒ㄗ饔孟拢到y(tǒng)的摩擦非線性和外部擾動均存在時，輪廓誤差并未出現(xiàn)大幅度變化，即保證系統(tǒng)具有較強魯棒性的同時輪廓跟蹤精度大大提高。

圖7 橢圓軌跡輪廓誤差與切線誤差曲線Fig．7 Contour error and tangential error of elliptic path

5 結(jié)語

采用基于摩擦補償?shù)妮喞刂品椒▽χ本€電機XY平臺進行控制。所設(shè)計的基于LuGre模型的狀態(tài)觀測器以及摩擦估計器補償了摩擦非線性對系統(tǒng)的影響。利用實時誤差法建立可用于自由曲線跟蹤的輪廓誤差與切向誤差模型，并結(jié)合觀測狀態(tài)，設(shè)計基于摩擦補償?shù)妮喞刂破鳎ㄟ^輪廓控制器的連續(xù)控制，有效地減小了系統(tǒng)的輪廓誤差，消除系統(tǒng)不確定因素對系統(tǒng)性能的影響，使直線電機XY平臺達到高精度加工要求。仿真結(jié)果表明所設(shè)計控制系統(tǒng)能夠提高XY平臺的輪廓加工精度。

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