平動式嚙合電動機優化設計方法

李瑞華

(許昌學院電氣信息工程學院，河南許昌 461000)

0 引言

平動式嚙合電動機是一種將平動減速器［1－2］與電動機有效集成的新型電動機結構［3－5］，具有傳動鏈短，低轉速、大轉矩特點，在機器人、航空航天驅動系統有著較好的應用前景。目前，現有的幾種平動式嚙合電動機在結構本身存在磁場耦合、負功磁路、平動慣量大、功率密度低等問題，還需要進一步改進，但已基本確立平動電動機的基本機構和運行特點。此外，當前針對與平動式類電動機的理論研究主要集中在靜態特性分析研究［6］、磁路模型分析［7］或控制方法研究［8－9］等方面，而關于優化設計理論方面的研究尚處于空白，使得平動類電動機的結構設計參數缺乏統一的理論指導，不能完全體現出平動式嚙合電動機的性能優勢。

本文根據平動類電動機的結構特點，借鑒常規電動機優化設計方法，采用等效磁路方法建立了雙轉子平動電動機的磁路模型。在建立的模型基礎上，通過氣隙能量與電動機輸出能量的關系，推導出了電動機效率與磁極結構參數的關系模型，為平動類電動機設計提供理論指導。

1 磁極結構優化設計與分析

1．1 優化目標分析

電動機的性能指標主要有功率密度、效率、輸出轉矩、響應速度等，影響這些指標的最關鍵部分是電動機的磁極結構。磁極的結構形式、尺寸比例、參數選擇、材料特性及工藝方案等種種因素都對其性能指標產生不同程度的影響。

根據平動電動機的磁極特點，將文獻［5］中如圖1(a)所示的磁極結構簡化為如圖1(b)所示的磁極標準幾何模型。模型忽略了定子磁軛部分鐵心寬度的變化，并將磁路部分視為等寬度，磁極簡化前后在能量轉換方式上相同，磁極定、轉子的各個部分尺寸參數關系明確，具有代表性并且與實際平動磁極結構形狀較為相似，不影響分析的準確性，對于優化設計較為方便。

圖1(b)中參數含義:磁極寬度d，最大氣隙長度g，繞組尺寸c和e。固定參數為輸出功率和磁極整體尺寸a、b及硅鋼片疊壓厚度h。其他參數的取值，并不影響優化的結果，如繞組線徑、材料特性等。

圖1 磁極結構簡化Fig．1 Simplify structure of magnetic poles

機器人驅動電動機通常有安裝空間體積、輸出功率的要求，因此本文優化目標是在滿足體積和功率的條件下，尋求最佳的磁極結構參數，獲得最高的效率。平動電動機效率的計算式為

式中:Pt為電動機輸出功率;Pe為輸入電功率;Pr為繞組熱損耗。

1.2 能量轉化原理

平動電動機輸出的機械能是由磁場能轉化而來的，磁場能是有電能提供的，具體關系為

式中:ΔWe為輸入電能變化;ΔWf為輸出機械能變化;ΔWm為磁場能的變化;ΔWr為繞組熱損耗能量。

磁場能量主要存儲在氣隙中，磁極的每次吸合釋放一次能量，另外，為使電動機性能處于最佳狀態，磁極一般都工作在磁飽和狀態，磁極鐵心內的磁通密度始終可以通過調節繞組電流達到處于飽和狀態，忽略損耗和漏磁，輸出的機械能將全部由氣隙磁場提供。計算氣隙磁場的關鍵是氣隙磁導的形狀的確定，圖2顯示了氣隙磁場在磁極吸合過程中的形狀變化，其中的G1，G2，G3，G4，G5，G6代表 6 部分的氣隙磁導，Os為轉子的公轉中心點，Or和O'r分別代表轉子啟動時和吸合后的位置，δ為氣隙長度變量，d1與d2分別為兩個處氣隙的極對面長度。從圖1、2中可以看出，存在d1=d。

圖2 氣隙變化Fig．2 Air gap change

根據圖2，忽略漏磁，假設為恒磁通控制，磁極吸合前后的氣隙磁場能變化為

式中:ΔWδ為氣隙磁場能變化;ΔRδ為氣隙磁阻變化;φ為磁通量。

氣隙磁導G1～G6可采用磁通管方法確定［10］，即

式中:μ0為氣隙磁導率，μ0=4π ×10－7A/m;θr為轉子公轉角。

氣隙磁導G1、G2、G3之間是并聯，同樣地，G4、G5、G6也是并聯，而G1、G2、G3和G4、G5、G6之間是串聯形式，因此總的氣隙磁阻為

再將式(4)代入，則總的氣隙磁阻Rδ為

磁路中的磁動勢與磁壓降的關系為

式中:Hi為鐵心磁場強度;Hδ為氣隙磁場強度;li為鐵心磁路平均長度;N為繞組匝數;I為電流。

忽略氣隙軸向漏磁，根據磁通連續性特點，氣隙磁壓降可由磁通量和氣隙磁阻表示，并考慮鐵心磁通量與磁通密度、結構尺寸關系，可將式(7)改寫為

設Wr為繞組熱損耗，單位時間段Δt內的熱損耗 ΔWr為

式中，Rw為繞組電阻。

設lw為線圈長度，ρ為銅電阻率，則Rw的計算式為

式中，dr為繞組線徑。

繞組允許通過的最大電流Imax與導線直徑dr，工作頻率，散熱能力有關。

1.3 優化約束條件分析

1.3.1 幾何條件

在電動機體積已知和嚙合及約束機構占用空間確定情況下，磁極所占用的體積是確定的，即a、b、h為定值，由圖1(b)中的幾何關系可以得到

式中:Sw為繞組橫截面積;Kw為填充系數。

1.3.2 溫度條件

電動機繞組的散熱能力與多個方面相關，如電動機工作環境溫度，通風條件、纏繞方式等，較難采用一個具體方程式計算，繞組所能承受的最大溫升值還需要試驗確定，因此在本文的優化計算中將不做具體計算。

1.3.3 功率約束條件

在最大氣隙位置時，氣隙磁場所能存儲的最大能量決定了電動機輸出能量的上限。由最大輸出功率Pg，轉速ωo及工作方式可以得到磁極能量條件。一個磁極氣息磁場能量與瞬時輸出功率的關系為

式中:Wg為輸出能量，單位W;ωo為輸出轉速，單位r/min;iz為減速比;ε為轉子公轉一周磁極吸合節拍數。

假設控制器能夠調整電流使一個磁極的鐵心磁通密度B始終處于飽和，則輸出能量完全由氣隙能量提供。根據式(3)、式(12)可得到磁極的磁通密度與瞬時輸出功率關系為

在轉子工作的1/4公轉周期內，由于轉子與齒圈固聯，氣隙變化與轉子平動公轉半徑r相等，即δ=r。

1.3.4 優化函數

將式(6)、式(7)代入式(1)，得

式中，Ip為Δt時間內的平均電流，有Ip=I/2?？筛鶕?8)得平均電流表達式為

將式(6)、式(11)代入式(14)可以得到效率優化函數為

2 算例優化分析

假設要設計的電動機的安裝體積和輸出功率及輸出轉速已知，優化目標是效率達到最大。設定輸出功率Pt=200 W，轉速ωo=230 r/min，傳動比iz為13;上電工作方式為4拍方式，根據傳動比和輸出轉速可以求得磁極的吸合時間為0.005 s。在此過程中釋放能量可由式(12)計算得Wg=0.99 J;鐵心材料為DW54 0－50。其他參數設置為:繞組線徑dr=0.9 mm，電阻率 ρ=1.75×10－8Ωm;磁極高a=29.5 mm;磁極寬b=29.5 mm;氣隙磁導率 μ0=4π×10－7H/m;鐵心厚度h=28 mm;飽和磁通密度Bmax=1.85 T;飽和磁場強度Hmax=14 006 A/m?？紤]實際電動機結構中的機械結構強度問題，設定鐵心寬度d的變化為3～7 mm，將上述參數代入式(16)、式(15)可以得到效率隨鐵心寬度的變化曲線，如圖3所示。

圖3 效率變化曲線Fig．3 Efficiency curve at different core width

同樣，再將d代入式(13)可以得到氣隙長度g的變化曲線，如圖4所示。實際上，圖4中的氣隙變化曲線以上部分范圍內的取值都可以滿足式(13)的能量條件。

圖4 氣隙長度變化曲線Fig．4 Air gap curve at different core width

利用幾何條件式(11)求得滿足能量條件時的匝數N隨d和g的變化曲線，如圖5所示。

圖5 匝數變化曲線Fig．5 Turns curve at different core widths

在確定了結構參數后，還需要計算最大氣隙處磁場儲能達到Wg時所需要的勵磁電流，圖6為根據式(8)獲得的勵磁電流隨鐵心寬度變化曲線。

圖6 勵磁電流變化曲線Fig．6 Excitation current curve at different core width

取圖3中最大效率點74%時的鐵心寬度值d=5 mm，最大氣隙長度g=1.4 mm，則最大勵磁電流I=37 A。此時的磁鏈Ψ和電感L的計算式為

繞組的工作時間為0.005 s，需要計算能夠滿足最大勵磁電流和工作時間要求的繞組驅動電壓。假設在氣隙磁場儲能為達到最大之前磁極未發生移動情況，繞組驅動電壓的計算式為

如圖7所示，在驅動電壓在30 V時，匝數取150匝時，電流可以在0.003 s內上升至37 A，說明所計算的磁場結構參數能夠滿足電流上升時間要求。

圖7 電流隨時間變化曲線Fig．7 Current curve versus time

3 物理樣機性能

圖8是為一種雙轉子平動式嚙合電動機樣機，該電動機的每個磁極形狀采用了一種圖8(b)所示的雙轉子式結構，兩個轉子相向運動可以抵消慣性力并增大轉矩，零件制造材料為硬鋁合金與普通碳鋼。電機的磁極結構參數取值采用2節中的優化計算結果:定子中部寬度10 mm、轉子寬度5 mm，氣隙長度1.4 mm，匝數150。

圖8 新型平動式嚙合電動機結構Fig．8 Structure of novel translational meshing motor

通過磁粉制動器、扭矩傳感器和電參數采集儀構成的實驗平臺可以獲得樣機效率隨轉速變化曲線，如圖9所示。

圖9 效率隨轉速變化曲線Fig．9 Efficiency curve at different velocity

在算例分析中，優化設計目標是要在輸出轉速為230 r/min時能夠達到最大效率，優化計算結果得到了該轉速時的最大效率為74%，而圖9中的電動機效率在轉速在230 r/min時的最大效率值為58%，這比優化計算結果要小16%，這是由于優化計算僅僅考慮的是磁極部分的優化，而沒有考慮嚙合傳動效率損失和平動約束機構的摩擦及加工誤差造成的損耗，這一部分的損耗使得樣機試驗結果要小于優化結果。

表1是幾種現有平動式嚙合電動機的性能比較結果，其中前三種平動電機的設計功率、輸出轉矩相差較大，這是由于前兩種電機在設計時并未考慮參數的優化問題，僅考慮了機構原理的實現，沒有統一設計參數。柔性平動式嚙合電機II的性能參數是對I電機的定子寬度、匝數、氣隙長度參數優化而不改變其他結構的情況下得到的實驗結果，可以看出電機的效率提升了15.4%，其他性能參數也有相應提升，但提升有限，這是由于該電機采用了柔性鉸鏈約束機構，無法完全約束轉子的公轉半徑，造成了滑齒現象，限制其功率與效率的提升。雙轉子平動電機性能參數是在改進前兩代電機機構設計缺陷的基礎上，同時優化電機磁極結構參數后得到的實驗結果，該電機在轉矩質量比和功率密度上有較大提升，這是由于效率優化算法相當于是在體積限定的情況下使輸出轉矩最大的優化方法，從而獲得了較高的轉矩質量比，達到了前兩代電機的15～20倍。

表1 性能比較Table 1 Performance comparison

4 結論

本文根據當前已有的幾種平動式嚙合電動機磁極結構特點，采用磁路方法建立了磁極的磁路模型，得到了磁極能量轉化效率與磁極結構參數的關系，推導出了基于效率最優的平動式嚙合電動機結構參數計算公式，并得到了以下結論:

1)基于能量原理的平動電動機優化方法計算模型與平動電動機磁極的實際結構特點較為接近，計算過程簡單，可變參數少。

2)幾種已有的平動電機的樣機試驗結果證明了經參數優化后的平動電動機在轉矩重量比、功率密度和效率都有較大提升，說明了優化方法的有效性。

3)物理樣機試驗得到的效率結果較理論計算低，這是由于優化方法并未考慮齒輪嚙合的效率和平動約束機構及加工誤差、摩擦等造成的損耗，這部分的優化計算方法可借鑒類似機構的一些效率分析方法作。

平動電動機結構較為特殊，磁極形狀較常規電動機差別較大，試驗數據的積累較少，本文提出的優化方法是在磁極體積、功率和轉速為約束條件時的效率優化算法，在轉矩、功率及溫升等方面的優化尚未做深入討論，這方面的研究將作為下一步的研究目標，進而逐步完善平動式嚙合電動機設計理論。

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