直線電機的線性自抗擾控制

劉川， 朱非甲， 馬偉， 陳興林

(1．哈爾濱工業大學航天學院，黑龍江哈爾濱，150001;2．哈爾濱工業大學超精密光電儀器工程研究所，黑龍江哈爾濱，150001)

光刻機的工件臺是高動態精密伺服運動平臺，它要求在高速運動的情況下，采用長行程直線電機宏動跟隨音圈電機高精密微動的驅動方式，在較短的行程內實現平臺納米級的精確定位與跟蹤。以ASML已經商用的最先進光刻機Twinscan XT 1950i機型為例，工作時最高速度大于0.5 m/s，加速度大于15 m/s2，定位精度在幾納米左右，穩定時間小于20ms。因此，選擇一種能夠抗擊干擾，準確控制平臺運動的控制算法顯得尤為重要。自抗擾控制(active disturbance rejection control，ADRC)［1］發揮了傳統 PID 控制的優點，而且不依賴被控對象精確的數學模型，在未知不確定擾動作用下，對系統的擾動進行估計并給予補償，具有較強的魯棒性。近年來，Su［2－4］將自抗擾控制技術應用到了電力傳動，Sun［5］應用到了電力電子，She［6－8］應用到了雙臺運動控制領域，這些都獲得了很好的控制效果。但是，由于ADRC應用非線性控制策略，調試參數多且無明顯規律，實際應用中較麻煩。文獻［9］基于ADRC思想，以線性化實現形式設計前者各結構，提出了線性自抗擾控制(linear active disturbance rejection control，LADRC)，將帶寬作為控制性能的唯一調試參數，簡化了計算。

本文將線性自抗擾控制運用到精密運動平臺的直線電機控制中，首先建立精密運動平臺直線電機的控制模型，規劃五階S曲線軌跡，其次給出了具體線性自抗擾控制算法，再運用前饋對系統的跟蹤誤差進行補償，最后通過實驗驗證該方法的有效性。

1 直線電機控制模型

本文研究的直線電機由氣浮導軌導向，用光柵尺測量宏動臺與基礎框架之間的位移y作為位置反饋。考慮平臺中各質量塊連接剛度足夠，建立等效模型示意圖，如圖1所示。其中，m為宏動臺上所有物體的質量之和，F為直線電機力輸入，c為阻尼系數。因為系統由氣浮導軌支撐，所以宏動臺與氣浮臺面之間的剛度k，可以忽略不計。

圖1 運動平臺機械模型Fig．1 Mechanical model of moving platform

直線電機因為其結構和負載形式的不同，其數學模型差別較大［10－13］，本文結合直線電機的具體結構和負載形式，建立了其數學模型

式中:i(t)為直線電機線圈回路中的電流輸入;Fd為運動平臺的推力擾動;km表示直線電機的力常數。

式中:U(t)表示加在直線電機動子線圈兩邊的電壓;E表示線圈移動時產生的反電勢;R表示線圈回路電阻;L表示線圈回路電感。

式中，ke表示和速度有關的反電動勢系數。聯立解式(1)～式(4)，可得到直線電機位移與控制電壓之間的傳遞函數為

2 軌跡規劃

為達到高精度點對點軌跡規劃，采用五階S曲線軌跡。相比低階軌跡，五階軌跡的軌跡輪廓更光滑，對基礎框架沖擊更小，振動更少，達到的位置精度更高。圖2所示為一種典型的五階加速軌跡，改變給定的約束條件，amax，jmax，dmax和 fmax都可能不存在，因此軌跡規劃存在很多種可能情形。各時間段計算為式中:f0，d0，j0，a0，v0，x0為初始邊界條件;t為時間。

圖2 五階點對點運動軌跡Fig．2 Fifth-order trajectory planning

3 控制系統設計

自抗擾控制器一般由微分－跟蹤器(TD)、擴張狀態觀測器(ESO)和非線性組合(N－PD)等3部分組成［14］。微分－跟蹤器用來跟蹤系統輸入信號，并給出準確的微分信號;擴張狀態觀測器用來對系統的狀態和擾動進行估計;非線性組合獲得控制量，并對擾動進行補償。

3.1 擴張狀態觀測器設計

和傳統的自抗擾控制器相比，本文設計的控制器，沒有TD。一個原因是臺體的運動軌跡是已經完全規劃好的五階S曲線，其微分信號可以提前獲得;第二個原因是微分－跟蹤器的算法盡管運行很快，但依然會引起軌跡時間上的延遲，帶來誤差。本文設計的線性自抗擾控制器框圖如圖3所示。

由式(5)可知，系統為三階系統，

圖3 線性自抗擾控制器框圖Fig．3 Architecture of the LADRC

因為最后的實現是由計算機來完成，四階的ESO離散表達式為

式中:ε0為ESO觀測到的誤差;k為采集點數;z1，z2，z3，z4為 ESO 輸出;h 為步長;β1，β2，β3，β4為 ESO控制參數，將大小確定［9］為

因為系統為四階，所以n=4，則

其中，ω0記為ESO的帶寬并由極點配置得到。狀態觀測器的觀測速度越快，系統中的擾動就越容易被觀測到，控制器就能及時的補償掉這部分干擾，但是，狀態觀測器觀測速度過快，會引入傳感器的高頻噪聲，而且采樣頻率也限制了觀測器的速度。因此，選擇合適ω0的成為必要。

3.2 控制律設計

因為狀態觀測器設計為4階，控制律設計為

其中:ωc為系統閉環帶寬;ω0=3 ～5。帶寬越寬，高頻成分通過的多，輸出的復現精度就越高，控制系統的性能就越好。但是，帶寬過高，會引入傳感器的高頻噪聲，而且還會引起機械的諧振。因此，選擇合適的帶寬ωc很重要。這樣的參數法選擇方法，使設計得到簡化。

3.3 前饋補償器設計

為了分析系統在頻域的性能，將系統的方程寫為連續形式［1］，并化簡為單位反饋形式，控制框圖如圖4所示，w為系統擾動。式(9)的連續形式為

式(12)的連續形式為

圖4 線性自抗擾控制系統框圖Fig．4 Block diagram of LADRC control

在圖4中，Gr(s)為含有自抗擾的等效輸入信號傳遞函數，Gc(s)為含有自抗擾的等效開環傳遞函數，Gp(s)為控制對象的傳遞函數。

不考慮擾動w引起的誤差，系統的誤差為

為減少系統的誤差，引入前饋補償，加上前饋Gr(s)后的控制框圖如圖5所示。

圖5 復合控制系統框圖Fig．5 Block diagram of combined control method

等效系統的閉環傳遞函數為

不考慮擾動w引起的誤差，加上前饋補償器后的系統誤差為

要使E'(s)最小，則

如果上式成立，則前饋控制完全補償了系統誤差，E'(s)=0;前饋補償實現了對輸入信號的誤差全補償，提高了系統的控制精度。但是，前饋補償的式子一般均具有比較復雜的形式，故全補償條件的物理實現有困難。在工程實踐中，大多采用滿足跟蹤精度要求的部分補償條件，或者在對系統性能起主要影響的頻段內實現近似全補償，以使前饋補償的形式簡單并易于物理實現。

從控制系統穩定性的角度來看，沒有前饋控制時的反饋控制系統的特征方程，與有前饋控制時的復合控制系統的特征方程完全一致，表明系統的穩定性與前饋控制無關。因此，此復合控制系統也很好地解決了一般反饋控制系統在提高控制精度與確保系統穩定性之間存在的矛盾。

4 實驗

實驗平臺的電機采用線性無刷直線伺服電機BLMC－192－A，行程為200 mm，電機連續推力93.6 N，峰值推力542.8 N;運動控制卡(PMAC)為自制版卡，采用TI公司的TMS320C6416型DSP芯片，主頻1 GHz;光柵尺定位精度±0.2 μm，運動平臺質量m為9 kg。反電動勢常數ke為26.89 V/m/s，力常數km為33.09 N/A，25℃時電阻值R為6.4 Ω，電感值L為1.9 mH，將以上參數帶入式(5)，得到控制對象的傳遞函數。取 b0=3，ωc=30 Hz，ω0=150 Hz，帶入式(8)和式(10)，得出其他控制參數。軌跡為五階 S曲線軌跡，其中 x=100 mm，vmax=0.5 m/s，amax=10 m/s2，jmax=667 m/s3，dmax=2 ×105m/s4，fmax=2 ×108m/s5。

通過實驗，對比PID和LADRC跟蹤五階S曲線的軌跡，發現PID和LADRC控制器跟蹤S曲線都跟蹤得很好，幾乎完全重合，見圖6。

圖6 實驗跟蹤曲線Fig．6 Tracking curve of experiment

圖7為PID控制下的跟蹤誤差曲線，最大誤差為0.12 mm。電機在加減速階段，誤差較大的原因主要有以下兩點:1)電機加減速時，控制指令加減速變化較大，引起繞組電流變化，導致磁阻推力相應變化，從而造成較大位置誤差;2)直線電機加減速時，系統沖擊較大，電機定子存在較大慣性時滯。

圖7 PID控制下的軌跡誤差曲線Fig．7 Trajectory error curve of PID controller

圖8為LADRC控制下的軌跡誤差曲線，最大誤差為4 μm。在加減速階段，誤差明顯變小;在勻速階段，誤差恒在一個范圍之內，最大誤差2 μm。誤差減小的原因主要有以下兩點:1)系統用狀態觀測器觀測系統動態變化和補償系統未知擾動;2)用前饋補償極大的減小了加減速時的位置跟蹤誤差，改善了電機在加減速時的動子慣性時滯影響。

圖8 LADRC控制下的軌跡誤差曲線Fig．8 Trajectory error curve of LADRC controller

通過對比圖7和圖8，發現LADRC控制的系統誤差明顯要比PID控制的系統誤差要小，系統達到的精度更高，驗證了該方法的有效性。

5 結論

通過將線性自抗擾控制和前饋補償控制方法結合運用到直線電機運動控制實驗中，控制系統具有了抗干擾能力和更好的跟蹤性能，驗證了該方法的有效性。結論如下:

1)此直線電機控制模型可以推廣到其他跟蹤或者定位控制系統中。

2)通過對自抗擾控制器的線性化，線性自抗擾控制器依然具有觀測和補償干擾的作用。

3)采用前饋補償控制，提高了系統的跟蹤性能，使系統達到一個很高的精度。

實驗結果表明，該方法滿足光刻機工件臺對伺服驅動系統的高速、高精度軌跡控制要求。

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