齒輪輪緣厚度對裂紋擴(kuò)展路徑的影響研究

劉雙，朱如鵬，陸鳳霞

（南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，江蘇南京 210016）

0 引言

齒輪傳動是直升機(jī)傳動系統(tǒng)中最重要的一種傳動［1］。齒輪傳動在機(jī)器中應(yīng)用很廣泛，它既可以用來傳遞動力，也可以用來變換轉(zhuǎn)速和旋轉(zhuǎn)方向。通常齒輪設(shè)計需要平衡與優(yōu)化成本，體積，壽命和可靠性等因素，齒輪傳動的失效一般發(fā)生在輪齒上，而輪齒的折斷一般發(fā)生在齒輪齒根部位，包括疲勞折斷和過載折斷［2］。隨著我國直升機(jī)傳動系統(tǒng)的發(fā)展，我們對齒輪的傳動設(shè)計提出了更高的要求。近幾十年來，國內(nèi)和國外的專家學(xué)者們都從不同角度研究了齒輪齒根裂紋的斷裂特性，但對齒根裂紋擴(kuò)展研究較少，因此，從線彈性斷裂力學(xué)的角度出發(fā)，結(jié)合商用有限元軟件Abaqus來分析裂紋斷裂過程的斷裂力學(xué)特性;齒根的斷裂特性受多種因素的影響，包括齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)以及復(fù)雜外載，本文主要研究齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)中的相同齒高下不同的輪緣厚度對裂紋擴(kuò)展路徑的影響。

1 輪齒折斷的斷裂力學(xué)特性分析

一個帶有初始裂紋的齒輪，在交變載荷作用下，裂紋會緩慢擴(kuò)展，當(dāng)裂紋由初始長度擴(kuò)展到臨界尺寸時就會失穩(wěn)破壞，這就是疲勞破壞。目前在工程中應(yīng)用最為廣泛的依然是1963年由Paris在實驗基礎(chǔ)上提出來的疲勞裂紋擴(kuò)展公式-Paris公式，他建立了疲勞裂紋擴(kuò)展速率與△k之間的關(guān)系:疲勞損傷在構(gòu)件內(nèi)逐漸積累，達(dá)到某一臨界值時，形成初始裂紋;然后，在循環(huán)應(yīng)力及環(huán)境的共同作用下，逐步擴(kuò)展，即發(fā)生亞臨界擴(kuò)展;當(dāng)裂紋長度達(dá)到臨界裂紋長度時，難以承受載荷而斷裂;通常把疲勞裂紋擴(kuò)展分為三個階段:微觀裂紋擴(kuò)展階段，宏觀裂紋擴(kuò)展階段，失穩(wěn)擴(kuò)展階段;在工程實際應(yīng)用中，一般主要以第二階段作為疲勞裂紋擴(kuò)展壽命的研究區(qū)域。

當(dāng)帶有裂紋的構(gòu)件受到載荷作用時，裂紋端部的應(yīng)力就會達(dá)到很大，理論上可以達(dá)到無限大，此時，常規(guī)的強(qiáng)度準(zhǔn)則已經(jīng)不適用，必須代之以應(yīng)力強(qiáng)度因子來衡量材料的受載程度和極限狀態(tài)。應(yīng)力強(qiáng)度因子K是斷裂力學(xué)里最為基本的參數(shù)，用來描述彈性裂紋尖端應(yīng)力場強(qiáng)弱，它與外加載荷的大小和齒輪的幾何形狀有關(guān)。基本的斷裂模式共有三種，張開型，滑開型，撕開型，其中的張開型裂紋是所有斷裂中最危險的，也對裂紋擴(kuò)展的影響最大。研究齒輪的斷裂首先必須先研究裂紋端部的應(yīng)力場，在任何應(yīng)力下的裂尖應(yīng)力場為:

其中:r為距裂紋尖端的距離，θ=arctan（x2/x1），KⅠ為張開型應(yīng)力強(qiáng)度因子，KⅡ為滑開型應(yīng)力強(qiáng)度因子，KⅢ為撕開型應(yīng)力強(qiáng)度因子。對于二維裂紋，假定KⅢ等于0，則裂紋尖端的極應(yīng)力表達(dá)式為:

根據(jù)最大周向正應(yīng)力理論提出的假設(shè)，當(dāng)最大周向應(yīng)力達(dá)到臨界值時，裂紋開始沿著垂直于最大周向應(yīng)力的方向擴(kuò)展，裂紋擴(kuò)展角度θ可以參考裂紋平面計算［4］，裂紋擴(kuò)展方向可跟據(jù)式（2）和式（3）中?σθθ/?θ=0 求得:

根據(jù)裂紋擴(kuò)展角度，可以得出裂紋在循環(huán)載荷作用下不斷往前擴(kuò)展的擴(kuò)展路徑;在裂紋不斷往前擴(kuò)展的過程中，裂紋尖端各點的內(nèi)應(yīng)力也隨著K增大而增大［5］。當(dāng)k增大到某一臨界值時，就能使裂紋尖端附近區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力大到足已使材料分離，從而導(dǎo)致裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展。這個臨界值通常稱為斷裂韌性，即文中的KIc，這時，輪齒便會產(chǎn)生失穩(wěn)擴(kuò)展而很快斷裂。

2 輪齒斷裂有限元仿真

2.1 齒輪模型的建立

表1 齒輪基本參數(shù)

圖1 齒輪模型

2.2 帶有初始裂紋的齒輪模型的建立

定義一對齒輪副，大齒輪z=38，m=2.5，保證傳動力矩180 T不變［8］，通過接觸嚙合，分析得到小齒輪上載荷作用在單對齒嚙合最高點［9］，載荷為交變載荷，最大載荷為x方向為-209×6 N，y方向為655×6 N。在建模時，將初始裂紋位置置于齒輪上最大主應(yīng)力處，也即齒輪齒根處，方向垂直于過度圓角［10］。齒根處初始裂紋模型如圖2 所示［11］，假定初始裂紋長度為 0.2 mm，在 Hypermesh 中對齒輪進(jìn)行網(wǎng)格劃分，定義為二階網(wǎng)格。由于裂紋尖端的應(yīng)力和應(yīng)變是奇異的，因此在進(jìn)行單元網(wǎng)格劃分時，必須先在裂紋尖端位置定義奇異點，把裂紋尖端周圍的網(wǎng)格單元上各條邊中的節(jié)點移至靠裂紋尖端的1/4分點處［12］。劃分好的帶有初始裂紋的裂紋尖端網(wǎng)格如圖2所示，圖中粗線處為裂紋平面。

圖2 裂紋尖端網(wǎng)格模型

網(wǎng)格劃分好之后在abaqus中定義材料屬性、加載載荷和邊界條件，計算模型如圖3所示。

圖3 加載后齒輪模型

模型生成后提交計算，計算中采用五圍積分法，控制圍積分輸出，結(jié)果分別輸出應(yīng)力強(qiáng)度因子KI、KII。其中原始裂紋的初始裂紋平面通過兩節(jié)點矢量測量得到。我們知道靜載下的齒輪齒根裂紋是不會往前擴(kuò)展，但齒輪在轉(zhuǎn)動過程中，由于輪齒上所受的力為疲勞載荷，所以一旦產(chǎn)生初始裂紋，并且外力足夠大，則裂紋就會不斷往前擴(kuò)展。在仿真計算過程中，給定裂紋擴(kuò)展步長0.2 mm，當(dāng)裂紋每擴(kuò)展一步，分別求出裂紋尖端附近應(yīng)力強(qiáng)度因子KI，KII，并代入式（4）求得裂紋開裂角θ0。根據(jù)計算得到的裂紋尖端的開裂角，把裂紋平面旋轉(zhuǎn)角度θ0后沿著新的裂紋平面把裂紋往前推進(jìn)，然后求出新的裂紋尖端附近的應(yīng)力強(qiáng)度因子，模擬出第二階段齒根裂紋擴(kuò)展趨勢，依次類推，可以分別得到第三，第四階段的裂紋擴(kuò)展路徑。最后得出整個裂紋擴(kuò)展路徑如圖4所示。

圖4 裂紋擴(kuò)展路徑

通過齒輪齒根裂紋擴(kuò)展仿真，可以預(yù)測裂紋的總體擴(kuò)展方向，即沿著最大應(yīng)力和齒輪強(qiáng)度薄弱的地方擴(kuò)展［13］。這種裂紋擴(kuò)展的模擬方法是建立在最大周向正應(yīng)力理論的基礎(chǔ)上的，為預(yù)測裂紋的擴(kuò)展方向提供了很好的方法。

2.3 輪緣尺寸對裂紋擴(kuò)展路徑的影響

下面主要研究齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)對裂紋路徑的影響，主要考慮在相同齒數(shù)和模數(shù)下，不同的輪緣尺寸對根部裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子以及裂紋擴(kuò)展趨勢的影響。假設(shè)在齒根附近相同的位置存在一條初始裂紋，其長度仍為0.2 mm。在計算過程中通過改變t/h的比值［14］，使齒輪的全齒高和輪緣尺寸的比值發(fā)生變化，如圖5所示。采用上述仿真分析方法模擬出兩種情況下的裂紋擴(kuò)展趨勢，并計算得到每種情況下裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子如表2所示。

圖5 齒輪輪緣尺寸變化

表2 裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子值

續(xù)表2

把求得的裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子值擬合成曲線如圖6圖7所示。

圖6 裂紋長度與kⅠ關(guān)系圖

圖7 裂紋長度與kⅡ關(guān)系圖

通過對不同輪緣尺寸下應(yīng)力強(qiáng)度因子的曲線擬合，可以看出應(yīng)力強(qiáng)度因子KI，KII在變化過程中，都是由小變大;在全齒高不變的情況下，在裂紋擴(kuò)展的初始階段，輪緣尺寸t越小，其裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子KI也越小，在裂紋不斷往前擴(kuò)展時，其增長速率越大;在整個裂紋擴(kuò)展階段，KI值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于KII值，因此在判斷齒輪失效的過程中，可以忽略KII值對裂紋擴(kuò)展的影響，僅以KIc作為齒輪失效的判據(jù)。

從上述分析可知，輪緣尺寸t越小，其裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子增長速率越大，也即其應(yīng)力強(qiáng)度因子值越容易接近該材料的斷裂韌性，其輪齒越容易折斷［15］。

根據(jù)Paris公式保守估計兩種情況下的疲勞裂紋擴(kuò)展速率，如圖8所示，從圖中可以看出輪緣尺寸t越小，其裂紋擴(kuò)展速率越大。

圖8 裂紋擴(kuò)展速率

綜合以上分析可知:假使根部出現(xiàn)裂紋，輪緣尺寸t越小的齒輪也越容易發(fā)生斷裂。進(jìn)行齒輪設(shè)計時，在考慮齒輪的使用壽命、質(zhì)量、等因素的情況下，應(yīng)該盡量增加輪緣尺寸t，或者增加齒輪根部的強(qiáng)度，從而消除齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)對輪齒斷裂的影響。

3 結(jié)語

裂紋從產(chǎn)生到最后失穩(wěn)擴(kuò)展中間會有一個穩(wěn)定擴(kuò)展階段。本文提出了基于Abaqus的研究齒輪齒根裂紋擴(kuò)展的方法，并根據(jù)最大周向正應(yīng)力理論，結(jié)合一個具體的例子，分步模擬了齒根裂紋的擴(kuò)展趨勢，同時研究了不同的齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)下裂紋的擴(kuò)展趨勢，保守估算出不同輪緣尺寸下裂紋的擴(kuò)展速率，為齒輪的可靠性設(shè)計和抗斷裂設(shè)計打下基礎(chǔ)。

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