隨機利率下壽險定價分析

張 倩

(哈爾濱商業大學金融學院，黑龍江哈爾濱150028)

隨機利率模型指在一段時間內，為了研究利率的隨機波動而建立的模型。主要分為均衡利率模型和無套利利率模型。

隨機利率的建模大多采用利息力累計函數建模，利息力累計函數一般定義為Y(t)=δt+Zt，其中Zt是隨機過程，δ為與t無關的隨機變量或常數。

目前國內的精算研究人員對隨機利率壽險問題進行了卓有成效的研究，構建了許多具有較高參考價值的壽險模型，但是在實際應用中這些模型仍然存在一些缺陷，迫切需要運用精算技術改進模型以增強模型的實用性。本文以此為研究目標，根據近年來國內外對隨機利率的研究成果，建立隨機利率模型，研究純保費的計算。

David Perry(2001)將隨機利率采用反射Brownian運動建模，給出一定確定年金的期望值，在Zt為非負數時可以符合利息為非負時的情形，適合在2004年10月24日以前應用。此前保險公司的資金運用限于在銀行存款，買賣政府債券、金融債券和國務院規定的其他資金運用形式，Zt不可能為負。

2004年10月24日，中國保監會和證監會共同制定了《保險機構投資者股票投資管理暫行辦法》，該《辦法》明確規定了保險資金的入市方式，規定保險公司委托保險資產管理公司進行股票投資，或保險公司以內設資金運用部門進行股票投資兩種管理方式。如果保險公司將保費收入投資到股市中，Zt隨著股價升降而變化，則有可能為負。基于保險資金運用形式放寬條件下考慮，Zt是于0—U過程或wiener過程比較合理。本文假設Zt是Wiener過程 。

一、模型建立

假設x歲的投保人購買了保額為b個單位的n年定期壽險，繳費期為n年，每年所交的均衡純保費為P。該模型具有如下特征:

1.模型中被保險人繳納的只是純保費，未考慮壽險公司的費用和利潤因素，所依據的原理是“精算等價原理”。

2.一般情況下，當被保險人死亡時，從申請理賠到保險公司確認理賠，再到保險金的最終給付需要一定時間，這里不考慮此時間差異。

3.對利息力采用標準Wiener過程建立一個半連續情形下隨機利率的模型，即死亡給付在被保險人死亡時支付且保險費是期初付生存年金的方式繳納。

4.死力采用De－Moivre在1972年提出生存時間在［0，ω] 上均勻分布，ω表示人類壽命的極限。

本文對隨機利率采用多數文獻中的一般標準Wiener過程建模，建立利息力積累函數y(t):

其中，δ為與t無關的隨機變量或常數;

W(t)為標準Wiener過程;

β≥0，δ，W(t)相互獨立。

此利息力累計過程分為兩個部分:1.δt是利息力累計中確定性的部分，瞬時的收益率為δ;2.βWt為考慮利率波動性的部分，由于 E［Wt]=0，Var［Wt]= σ2t，即時間越長，波動性越大。

對于一個單位的資金，可得在t時刻的貼現函數為:

(1)均衡純保費

半連續式壽險模型是保險實務中最常用的保險模型。對于保險金額為1個單位的半連續式普通n年定期壽險，若被保險人在簽單時年齡為x歲，投保n年期定期壽險，其年繳純保費用符號)表示，根據這一平衡原理，得出:

用符號 表示第k年度此壽險保單的責任準備金，根據未來法，責任準備金的計算原理是未來保險利益在結算日的精算現值減去未繳保費在結算日的精算現值，即

在死力服從De－Moivre形式的假設下

在以上分析中，主要是對利息力模型進行推敲，首先建立利息力的維納過程模型，計算未來價值的精算現值。然后根據價值理論，就壽險精算問題中投保人和保險公司所關注的保費及準備金和準備金風險進行分析。

由以上計算可以得出，壽險的純保費和責任準備金主要由被保險人的年齡、保險種類、保險金額、死亡率和利率因素決定。一般情況下，被保險人的年齡、保險種類、保險金額在被保險人投保時已經確定，死亡率采用的是生命表所提供的死亡率水平，并且這一死亡率水平通常在一定時期內相對穩定，因此影響壽險純保費和責任準備金的主要因素就是利率。這里分析的利率變化對壽險純保費的計算和責任準備的提留的影響有很大的實用價值。

二、結論

壽險產品具有保障性和儲蓄性雙重特點，產品先出售而后有成本核算。在產品定價中采用的是精算平衡等式，對預定利率進行核算，而預定利率是一個假設性利率，在若干年以后會出現和真實利率的差異，這是造成壽險公司盈利或者虧損的原因之一。

面對銀行存款利率的不斷下調，壽險公司為了保持自身的盈利狀況，也降低了預定利率，但之前發售的高利率保單合同已經成立，無法進行回溯修改，于是壽險公司背負了沉重的利差損。高盛的一份報告提出，中國人壽、平安、太平洋人壽三大壽險公司的潛在利差損為320億～760億元人民幣。

本文對于壽險中人的死亡率因素主要參考了現有的生命表，生命表在此就代表了隨機死亡率，但是生命表的構造并不代表所有人群的死亡特征，所以可以從人口模型上考慮這一因素，從理論上進一步豐富隨機死亡率的研究，并運用到壽險精算當中。

利率在壽險定價時是一個非常重要的參數。如果采用的定價利率過低，保費偏高。雖然保險人會獲得更多利潤，但較高的保費不利于吸引更多的顧客;定價利率過高，保費偏低。保險人的投資收入難以平衡其給付。

利率波動對壽險定價的影響所帶來的風險實質上是壽險產品定價時預定利率與市場利率發生偏差時帶來的風險。而利率變動的長期趨勢是不確定的，這是壽險產品長期定價短期計量矛盾帶來的風險。

壽險公司利率波動的風險主要反映在兩個方面:一是保險公司在融資和投資的過程中，由于利率變動增加成本或者使收益率下降，使壽險公司預期利潤難以實現。二是利率變動使壽險公司資產和負債的價值造成不同影響，導致資產和負債不匹配的風險。比如，當利率上升時，資產和負債都會下降，但資產價值下降超過負債價值的下降;當利率下降時，資產上升小于負債價值上升，這些都會影響保險人的償付能力。

［1] 盧仿先，張琳.壽險精算數學［M] .北京:中國財政經濟出版社，2006.

［2] 李秀芳.我國壽險業的利率風險分析及其防范［J] .南開經濟研究.2000(1).

［3] 周伏平.利率與壽險精算模型的改進［J] .統計與精算，2004(4).

［4] 周宏波，葉俊.隨機利率下的生存年金模型［J] .理論新探，2005(4).