圓弧齒輪齒面沿接觸線是滾動(dòng)與滑動(dòng)并存的證明

康星虎，閆文斗，段建中

(寧夏大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，寧夏 銀川750021)

0 前言

圓弧齒輪傳動(dòng)在我國有較長的研究和應(yīng)用歷史，并掀起過熱潮，也取得了較大成績。但近些年來，國內(nèi)學(xué)術(shù)界對(duì)該課題的研究趨于冷淡。本課題組在進(jìn)行多圓弧齒廓齒輪的若干年持之以恒研究中，對(duì)公開或內(nèi)部發(fā)行的圓弧齒輪傳動(dòng)的中文專著中基本理論進(jìn)行了梳理，并發(fā)現(xiàn)了一些缺陷。本文的任務(wù)是否定圓弧齒輪經(jīng)典著作［1-2］中第39～40頁表述的基本觀點(diǎn)：凹齒廓與凸齒廓之間沿接觸線是純滾動(dòng)。手冊(cè)［3］亦未明確解釋具體運(yùn)動(dòng)形式。根據(jù)幾何數(shù)學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析表明：凸凹齒廓嚙合的一對(duì)齒輪副的兩條接觸線長度不相等，因此嚙合點(diǎn)在接觸線上的速度大小亦不相等，進(jìn)而可知：兩齒面之間沿接觸線的運(yùn)動(dòng)必定是滾動(dòng)與滑動(dòng)并存。該結(jié)論的意義在于：1)明確了凸凹齒廓之間沿接觸線的運(yùn)動(dòng)形式，2)給出了這種運(yùn)動(dòng)形式的定量公式，3)可以用該結(jié)論合理地解釋圓弧齒輪傳動(dòng)中的一些物理現(xiàn)象：如油膜厚度大，齒面磨損均勻，跑合性良好等;并且為這些物理現(xiàn)象的定量分析奠定了數(shù)學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)。為了有力地論證此結(jié)論，很有必要介紹圓柱螺旋線相關(guān)知識(shí)。

1圓柱螺旋線數(shù)學(xué)表示與幾何意義

由圓弧齒輪的形成原理可知［1］，圓弧齒輪參與嚙合時(shí)的接觸線是一條圓柱螺旋線。圓柱螺旋線方程為［3］：

其中：r—螺旋線所在圓柱的半徑;ψ—角度變量，0≤ψ≤θ。

圓柱螺旋線的形成過程用圖1即可說明。T為圓柱上端面圓周上任意一點(diǎn)，M從T點(diǎn)開始，沿所在圓柱面母線以速度V勻速向下運(yùn)動(dòng)，同時(shí)圓柱以角速度ω繞軸線oo勻速旋轉(zhuǎn)，那么點(diǎn)M在圓柱面上的軌跡就是曲線TA，則曲線TA就是圓柱螺旋線，它的長度：

圖1 圓柱螺旋線

由螺旋線運(yùn)動(dòng)學(xué)分析可知［4］：ψ = ωt，z=Vt。則可由軸向距離Z相等得到：pψ=Vt，兩邊同除以時(shí)間t得到：

圓弧齒輪中的螺旋線的性質(zhì)，由下面的論述給出：

如圖2所示，以齒輪底面作為xy平面，將齒輪軸線作為z軸，在圖2中齒輪某一齒面上有n條螺旋線A1B1，A2B2，…AnBn，它們都是以齒輪軸線為中心軸的圓柱面與螺旋齒面的交線，根據(jù)式(1)可得到其參數(shù)方程為：

圖2 螺旋線性質(zhì)說明圖

其中：r1=OA1，r2=OA2，…rn=OAn。現(xiàn)有一垂直于齒輪軸線的平面S，它與螺旋線的交點(diǎn)分別為，…，與齒面的交線為一段圓弧，從z軸負(fù)方向看去，這段圓弧可以看作形成齒面的齒廓圓弧在S平面內(nèi)的投影繞齒輪軸線旋轉(zhuǎn)了Δψ角度后得到的。當(dāng)然，齒廓上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)與齒輪軸心連線的夾角也為Δψ，在圖2中Δψ即為直線OA1與，OA2與，…OAn與之間的夾角。假設(shè)在齒輪端面上螺旋線z軸的坐標(biāo)值為=pψ，11=p2ψ2，…=pnψn，則在S平面上螺旋線z軸的坐標(biāo)值為=p1(ψ1+ Δψ)=p2(ψ2+Δψ)，…=pn(ψn+Δψ)。又因?yàn)椋?－=…－=p1Δψ =p2Δψ =…pnΔψ=Δz(Δz為S平面與齒輪端面之間的距離)，由此可知，p1=p2=…pn，也就是說這些螺旋線具有相同的螺旋參數(shù)P。因螺旋參數(shù)p=rcotβ，所以螺旋線所在圓柱面半徑越大，其螺旋角也就越大。

要使一對(duì)圓弧齒輪能正確嚙合，除了兩齒輪的法面模數(shù)和壓力角相等外，還須保證生成齒輪輪齒的齒輪節(jié)圓柱上的兩條螺旋線螺旋角大小相等［1］。

2 圓弧齒輪的兩條接觸線間存在相對(duì)滑動(dòng)的證明

根據(jù)式(2)可求得圖3中兩節(jié)圓柱上的圓柱螺旋線的長度。

式中：LP1—為齒輪1節(jié)圓柱面上螺旋線長度，LP2—為齒輪2節(jié)圓柱面上螺旋線長度。

由式(5)可得：

由式(2)求得接觸線KA的長度LKA為：

圖3 螺旋接觸線所在的圓柱面半徑的大小

圖3O1K＞O1P，并根據(jù)螺旋線性質(zhì)知：半徑越大，螺旋角也越大，所以：βKA＞βP1。

由式(9)，式(10)可得：LKB＜LP2=LP1＜LKA。

即兩條接觸線KA與KB的長度不等：

圖4 圓弧齒輪接觸線速度分析

在圖4中，P為端面節(jié)點(diǎn)，K為接觸點(diǎn)，KK'為嚙合線，KA、KB為兩圓弧齒輪的接觸線。在某一瞬時(shí)，兩齒面在K點(diǎn)接觸，則接觸點(diǎn)K相對(duì)于齒輪軸線O1O'1的速度為V1t，且V1t=O1K·ω1;接觸點(diǎn)K相對(duì)于齒輪軸線O2O'2的速度為V2t，且V2t=O2K·ω2。將端面圓周速度V1t、V2t分別投影到相應(yīng)螺旋線KA、KB的切線方向上，根據(jù)圖2b幾何關(guān)系，得：

兩齒面沿接觸線方向的相對(duì)速度，即滑動(dòng)速度ΔV=V1s－V2s=sinβ(O1K·ω1－O2K·ω2)。嚙合點(diǎn)在接觸線上的速度V1s是由沿嚙合線KK'的速度Vz和圓周速度V1t合成，其中V1t=O1K·ω1;嚙合點(diǎn)在接觸線的速度V2s是由沿嚙合線KK'的速度Vz和圓周速度V2t合成，其中V2t=O2K·ω2。因?yàn)樵邶X輪副嚙合過程中，轉(zhuǎn)動(dòng)速度ω1和ω2是常量，所以圓周速度V1t和V2t是定值。沿節(jié)圓柱切線方向向下的速度Vz=p1ω1=p2ω2，式中p1=O1Pcotβp1，p2=O2Pcotβp2，所以Vz也是一定值。由平行四邊形法則知，若兩個(gè)分速度大小方向不變，則合速度就一定是方向恒定，大小不變的，即嚙合點(diǎn)在接觸線KA和KB上的速度V1s和V2s都是方向不變，大小恒定的?？傻盟俣确謩e為：

可知速度V1s和V2s不相等。又因?yàn)樵邶X輪副嚙合過程中，從某一瞬時(shí)開始，嚙合點(diǎn)是從K點(diǎn)開始，同時(shí)沿接觸線KA和KB的分別往接觸線的另一端逐點(diǎn)依次移動(dòng)的。那么，在移動(dòng)過程中，嚙合點(diǎn)在接觸線上就存在速度差，那么，嚙合點(diǎn)沿接觸線方向上就一定存在滑動(dòng)現(xiàn)象?；瑒?dòng)距離ΔL為：ΔL=LKA－LKB;滑動(dòng)速度V滑為：

3 結(jié)語

圓弧齒輪副在傳動(dòng)過程中，嚙合點(diǎn)在接觸線上是滾動(dòng)與滑動(dòng)共存的一種運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。即齒面在接觸線上嚙合傳動(dòng)時(shí)存在滑動(dòng)，而非經(jīng)典著作中的純滾動(dòng)。由于接觸線上各點(diǎn)的齒高不變，所以齒面磨損均勻，有利于磨合成理想的圓弧，跑合性好。

［1］邵家輝.圓弧齒輪［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1994.

［2］太原工學(xué)院齒輪研究室.圓弧齒輪［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1980.

［3］成大先，等.機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)第五版［M］.北京：化學(xué)化工出版社，2008.

［4］吳序堂.齒輪嚙合原理［M］.西安：西安交通大學(xué)出版社，2009.

［5］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)第五版［M］.北京：高等教育出版社，2001.