多項式基函數神經網絡的結構可靠性分析

孟廣偉 李廣博 李 鋒 周立明

(吉林大學機械科學與工程學院，長春130025)

1 問題提出

根據工程結構可靠度的定義[1]，結構的功能函數可以表示為

其中x=(x1，x2，…，xn)，表示結構的基本隨機變量，例如材料屬性、載荷、幾何形狀等.規定Z＞0表示結構處于可靠狀態，Z＜0表示結構處于失效狀態，Z=0表示結構處于極限狀態.結構不能完成預定功能的概率，即失效概率為

其中fX(x)=fX(x1，x2，…，xn)是x的聯合概率密度函數.

近年來，很多方法用于計算上述失效概率Pf，例如蒙特卡洛模擬法(MCS，Monte Carlo Simulation)，一階可靠性方法(FORM，First-Order Reliability Method)，二階可靠性方法(SORM，Second-Order Reliability Method)等[2].對于一些功能函數為隱式或者較復雜的結構，以上方法均非常耗時，給計算帶來麻煩，甚至在某些情況下還可能會出現不收斂的情況[3].為解決上述問題，一些方法被提出.響應面法(RSM，Response Surface Method)，是其中應用較廣泛的[4－6].假定被挑選出來的結構功能函數能夠很好的模擬其真實的曲面，計算其失效概率可達到一定精度，但是復雜工程計算中，不能保證響應面能準確逼近其真實的情況，當隨機變量的數目龐大時，將耗用大量的計算時間.同時固定的函數形式影響其普遍性[7].人工神經網絡法同樣被廣泛應用于結構可靠性的計算[8－9].傳統的反向傳播(BP，Back-Propagation)神經網絡在計算中易陷入局部最小過程，收斂速度慢.徑向基函數神經網絡[10]和切比雪夫基函數[11]在一定程度上提高了函數逼近的精度，但是表達形式比較繁瑣，不利于編程計算.

本文采用多項式基函數神經網絡代替傳統響應面函數，基于廣義逆矩陣的方法計算網絡權值，擬合功能函數的真實極限狀態曲面，結合可靠度計算的一階可靠性方法，計算功能函數的失效概率.本方法提高了解決非線性隱式極限狀態方程可靠性問題的能力，提高了收斂速度.數值算例表明此法編程簡單，達到了較好的效率和精度要求.

2 多項式基函數神經網絡模型

2.1 多項式基函數

基于文獻[12]，一個單隱層的神經網絡在進行函數逼近時，完全等價于某個高階的多元多項式函數.圖1表示一種多輸入多項式基函數隱神經元模型.輸入層xt(t=1，2，…，n)與隱含層神經元的連接權值恒為1，隱含層神經元與輸出層的連接權值為ωh(h=1，2，…，u).

圖1 多項式基函數神經網絡模型

對于未知非線性目標系統G(x1，x2，…，xn)，設對應的多項式神經網絡的輸入變量分別為x1，x2，…，xn.隱層神經元的激勵函數為一組如式(3)所示的多項式基函數.

其中a=0，1，2，…，i;b=0，1，2，…，j;z=0，1，2，…，l;i=j=l=0，1，2，….

基于多元多項式逼近理論[13]，設Ω?Rn是有界閉集，C(Ω)表示Ω上所有實值連續函數構成的空間.R?C(Ω)是一個代數，G(p)∈C(Ω).為使目標函數G用R中元素一致逼近，只須對?ph∈Ω和?ε＞0，均能找到一個函數L∈R，使得

則目標函數G(x1，x2，…，xn)在Ω上能用x1，x2，…，xn的多項式逼近，表示為

其中，ω1，ω2，…，ωu為網絡隱含層與輸出層的連接權值，即權系數;p1，p2，…，pu為多項式基函數.

與傳統的單隱層前向神經網絡相比，該模型最大的優點是僅有隱層至輸出層的權值需要確定，極大地改善了網絡的結構設計.

2.2 網絡權值的確定

傳統的基于梯度下降的BP迭代法計算網絡隱含層與輸出層連接權值的公式為

其中，η為迭代步長;k為迭代次數;u為隱神經元數.

在計算式(6)的權值時，需要大量的迭代計算，且容易陷入局部最小的情況.為克服BP學習算法的固有缺陷，采用下面的權值計算方法.

設網絡輸出為

隱含層與輸出層的連接權值為

隱層神經元的激勵響應矩陣為

則對于圖1的多輸入多項式基函數神經網絡權值直接確定為其中P+=(PTP)－1PT為激勵響應矩陣的廣義逆矩陣.

3 多項式基函數神經網絡法的結構可靠性分析

3.1 多項式基函數神經網絡法

為使達到計算精度的同時保證計算效率，取i=j=l=2，a，b，…，z系數依次由低到高.可設響應面函數為

為了保證網絡的穩定性和計算精度，對神經網絡的輸入變量x按如下變化:

式中，f為任意因子;x*i為隨機變量的均值;σi為隨機變量的標準差.

相對應網絡的函數估計值y即為

3.2 多項式基函數神經網絡法的計算過程

網絡在迭代計算驗算點時，為使其計算簡便，將非正態分布的變量進行標準變換，在標準空間進行迭代計算.

基于二次多項式響應面法的計算原理，多項式基函數神經網絡法的可靠性計算流程見圖2.

圖2 計算流程圖

4 數值算例

4.1 算例1

考慮一個非線性功能函數[14]:

其中x1和x2相互獨立且均服從標準正態分布.MCS的計算結果可認為是精確解.通過表1的計算結果比較，表明了本文方法計算非線性程度較高的功能函數時，精度高.

表1 算例1的失效概率計算結果

4.2 算例2

考慮一個非線性功能函數[15]:

其中，x1～N(1000，2002);x2～N(250，37.52).

通過 MCS計算的失效概率 Pf=9.607×10－3.表2列舉了其他幾種計算方法的結果.通過表2的比較，表明本文的方法在計算精度上有一定優勢，失效概率的相對誤差僅為0.60%，進一步證明本方法的高效性.

表2 算例2的失效概率計算結果

4.3 算例3

如圖3所示的屋架，屋架的上弦桿和其他壓桿采用鋼筋混凝土桿，下弦桿和其他拉桿采用鋼桿.屋架承受均布載荷q作用，將均布載荷q化成節點荷載后有 P =ql/4.設 Ac，Ec，As，Es，l分別為混凝土和鋼桿的橫截面積、彈性模量、長度.Ec=2×1010MPa，Es=1 × 1011MPa，l=12m.定義 q ，Ac，As為服從正態分布的隨機變量，分布參數見表3.

表3 基本隨機變量統計特征值

圖3 屋架結構示意圖

設C點沿垂直向下方向的位移為Δc，很顯然Δc為隨機變量的隱函數.約束C點的向下撓度不大于3 cm.根據約束條件建立功能函數為

對隨機變量按式(12)變化，利用有限元方法計算節點C在迭代點處的實際位移，根據本文方法模擬其極限狀態曲面，將此類隱式功能函數的問題轉化為顯式問題.計算結果如表4所示，本文方法在精度上與MCS方法基本一致，相對誤差僅0.97%，能更好的模擬響應曲面，進一步驗證了此法的可行性、高效性.

表4 算例3的失效概率計算結果

5 結論

基于多項式基函數神經網絡的結構可靠性分析充分利用多項式基函數的逼近能力，以及神經網絡在計算功能函數未知時的優越性.在神經網絡求權值的過程中，利用激勵函數廣義逆矩陣的形式確定權值，避免傳統BP網絡梯度下降法帶來的收斂速度慢和易陷入局部極小點的缺點.本文所提方法不僅思路簡單，同時易于編程.通過算例分析，表明該方法的正確性與實用性.

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