非對稱受損飛機多變量模型參考自適應控制

楊凌宇 冷 寧 張 晶 申功璋

(北京航空航天大學 飛行器控制一體化技術重點實驗室，北京100191)

飛機的結構損傷會導致質量、重心和氣動特性發生突變，機體對稱性遭到破壞，縱橫向間發生強烈的運動耦合，使整個系統變得更加難以控制，進而威脅飛行安全.結構損傷引起系統參數及結構的不確定變化，要求控制策略做出相應調整以滿足飛行安全需要.因此，自適應控制已經成為高安全性飛控系統設計的重要議題.

針對非對稱結構受損飛機，文獻[1]對其氣動特性變化做出了研究，利用擬合的方法得到了在一配平點附近的氣動參數.文獻[2－3]對非對稱結構受損的情況推導了動力學方程.綜合氣動、動力變化特性，可以得到對受損后的系統較為精確的描述.

由于模型參考自適應控制(MRAC，Model Reference Adaptive Control)方案更具一般性且無需額外的損傷檢測模塊，眾多研究者對其在受損飛機重構控制上的應用產生了濃厚興趣[4－8].

基于高頻增益矩陣分解的多變量模型參考自適應控制方法處理參數不確定變化的系統有很多優勢.文獻[4]針對多翼面損傷情況，設計了基于系統高頻增益矩陣LDS分解的MRAC控制器，設計的關鍵條件是受損前后系統的關聯矩陣不變，且高頻增益矩陣的順序主子式符號不發生改變.文獻[5]研究了受損飛機非線性模型的線性化過程，并且設計了無需高頻增益矩陣順序主子式符號先驗知識的MRAC控制器.文獻[8]針對文獻[4]中提到的關聯矩陣和高頻增益矩陣順序主子式符號是否會發生改變問題進行了初步研究，但是沒有結合受損飛機的物理特性對變化的合理性做出闡釋，同時對于高頻增益矩陣順序主子式假設發生變號時參數變化程度沒有給出量化結果.針對這些問題，本文推導了特定情況下高頻增益矩陣的詳細表達式，對假設發生變號時參數的變化程度給出了估算的量化結果，結合非對稱結構損傷飛機模型闡述了其物理意義，并對結果的合理性做出了討論.

1 非對稱結構受損飛機模型

1.1 非線性非對稱結構受損飛機模型

由牛頓第二定律，可以得到帶重心偏移的飛機3軸力方程[3]:

式中，X，Y，Z為氣動力在機體軸上的分量;u，v，w為飛機速度在機體軸分量;θ，φ為飛機的俯仰角和滾轉角;p，q，r為繞機體軸的姿態角速度;TL，TR分別為左右側發動機推力;m為飛機質量;Δx，Δy，Δz為受損后重心相對于原重心偏移量.當機體發生不對稱損傷時，m與氣動力在機體軸上的分量X，Y，Z均會發生不確定變化，重心偏移量由零變為非零值.

當飛機模型正常時，重心處于機體軸x-z平面內，所以轉動慣量Iyz，Ixy為零.發生不對稱結構損傷時，重心不再處于x-z平面內，對應轉動慣量變為非零值.受損后力矩方程組為

由式(1)以及式(2)可以得出結論，由于非對稱結構損傷破壞了機體的對稱結構，引起重心偏移以及附加轉動慣量，這將會帶來不確定的干擾加速度及干擾力矩，同時使縱橫向間發生耦合.動力學過程變得更加復雜.

由φ，θ及偏航角ψ與繞機體軸角速度p，q，r之間的關系，可得運動方程組為

式(1)～式(3)可描述結構損傷飛機的運動狀態.

1.2 非對稱結構受損飛機模型線性化

在文獻[4]中，推導受非對稱損傷影響的飛機六自由度動力學方程與運動學方程，可表達為

式中，δe，δtl，δtr，δa，δr分別為升降舵、左側發動機推力、右側發動機推力、副翼和方向舵偏轉量.在模型正常時，Δx，Δy，Δz與Iyz，Ixy均為零，M矩陣的縱橫向可以分開;而發生損傷時，對應量跳變為非零值，縱橫向間發生耦合.M由飛機質量m、質量變化量dm、轉動慣量I、轉動慣量變化量dI和重心偏移量Δx，Δy，Δz構成，構成量僅和飛機的自身屬性相關.當損傷情況確定時，M隨之確定，與飛行姿態、狀態無關.

將上述等式在配平點x0，U0展開，忽略二階及二階以上項，并考慮控制舵面為升降舵、方向舵，輸出量為俯仰角和偏航角，有

式中

式中，下標i表示不同程度的損傷情況，當i=0時表示正常模型;fi為由于受損帶來的干擾，其中仍僅與飛機的損傷情況有關，當發生結構損傷時，Ai，Bi將發生不確定變化.

2 MRAC控制器的設計

考慮形如式(6)的線性系統，設計控制律Δu的目標是使輸出Δy跟蹤上指定的參考輸出:

定義控制器重要參數關聯矩陣ξm(s)和高頻增益矩陣KP，有

式中，ξm(s)選為穩定可逆的三角矩陣，并保證KP是有限且非奇異的.

在控制器設計中，文獻[6]做出了相應合理的假設.由假設可以得出，對于每一組Gi(s)，都需要有共同的關聯矩陣ξm(s).而對于每一組高頻增益矩陣KPi，要求順序主子式的符號不發生改變且都是有限非奇異的.這兩個假設得到滿足是控制器設計的關鍵條件.

2.1 高頻增益矩陣的LDS分解

根據文獻[6]，令KP的順序主子式為Δi(i=1，2，…，m).對于KP，有不唯一的LDS分解:

式中，S為對稱的正定矩陣;Ls為單位下三角矩陣，并且有

式中，γi＞0可以任意選取.

2.2 MRAC控制器結構形式

設計的控制律有如下形式:

選擇自適應律:

文獻[8]通過穩定性分析證明，以上形式的控制律和自適應律可以保證閉環系統的穩定性和漸進輸出跟蹤特性.

3 關聯及高頻增益矩陣不變性證明

多變量模型參考自適應控制器設計的關鍵前提在于受損前后系統的關聯矩陣不發生改變且高頻增益矩陣的順序主子式符號不發生改變.在這一節中，將結合非對稱結構受損飛機的特性與實際情況來討論這兩個前提能否得到滿足.

文獻[9]提出了關聯矩陣與高頻增益矩陣的算法.針對式(6)的非對稱結構受損飛機，由文獻[9]提出的算法，推導出系統高頻增益矩陣表達式:

關聯矩陣取

由于輸出固定為俯仰角和偏航角，所以C陣不變.按算法計算得到結果的物理含義為f3，f6對升降舵和方向舵的偏導.舵面偏轉直接產生的是氣動力與氣動力矩，并不直接對姿態角構成影響，所以CB為零矩陣[8].關聯矩陣相對階為2.這是由于被控對象的結構特性、選擇的輸入輸出所決定的，不隨損傷程度改變，且與飛行狀態無關.ξm(s)中a的取值可根據飛行要求來選擇.

分析高頻增益矩陣順序主子式的符號情況.高頻增益矩陣每一項表達式均由6項構成，分別由3部分參數構成:M－1矩陣的第4行和第9行元素θ，φ姿態角和效率導數.

分析一階順序主子式.計算可得

則KP(1，1)項主要由第4項決定大小與符號，即

式中

結構損傷引起的質量變化、重心偏移和非對稱產生的附加轉動慣量都很小，將高階小量忽略，得到m44，m94的表達式.其中m44僅與飛機正常情況下的轉動慣量有關，對結構損傷不敏感，受損前后基本不變.m94與損傷產生的附加轉動慣量正比，量值與損傷程度正相關.從推導出的表達式可以看出，M－1中元素對損傷敏感的原因為與損傷產生的附加量正比.在可重構控制的損傷范圍內，附加量非常小.

將推導出的m44，m94表達式代入式(14)，有

式中，對于轉動慣量項K1，顯然所有元素均大于零，且不會發生變號;對于姿態角項K2，在合理損傷范圍內，平飛所需姿態角φ?90°，故其元素均大于零，且不會發生變號;對于效率導數項K3，由于飛機的升降舵處于重心之后，且受損后重心向x軸正向偏移，不會出現重心偏移到升降舵后面的情況，所以升降舵正偏總會產生負向的俯仰力矩，即K3＜0，且不會發生變號.綜上，高頻增益矩陣一階順序主子式不會發生變號的情況.

KP(2，2)的分析與KP(1，1)類似.計算可知KP(2，2)同樣不會由于結構損傷而發生變號的情況.

討論二階順序主子式的符號.由于KP(1，1)與KP(2，2)不會發生變號情況，所以二階順序主子式若發生變號，KP(2，1)與KP(1，2)必須達到KP(1，1)與KP(2，2)相同的數量級.以KP(2，1)為例來分析其可能性.

計算可得

即KP(2，1)的平均值遠小于KP(1，1)的平均值.分析其原因，是由于KP(2，1)每項中都存在結構損傷引起的附加項，而不像KP(1，1)中第4項，構成元素都是對損傷不敏感項.

一般損傷情況下，附加耦合項必然遠小于直接控制項.若假設KP(2，1)能夠達到與KP(1，1)相同的數量級，則上式取等號，以第1項為例，估算此時的重心偏移量，有

兩邊展開，有

重心偏移已經大于翼展，此時的結構損傷已不合常理.事實上，在文獻[10]中提到，翼尖損傷對重心偏移影響很小.即使機翼折斷50%時，Δy仍小于半翼展的2.5%.當今最大的民用客機，空客A380的翼展為79.8 m，對應側向重心偏移Δy＜1.若重心偏移量以及各項損傷產生的轉動慣量足夠大，使

此時，Δy?1，機翼的損傷情況一定超過50%，飛機結構損傷非常嚴重，升力面積減少，控制能力大幅下降，將難以維持平飛;另外，當今絕大多數大型民用客機均采用翼下吊掛發動機布局，超過50%的損傷將會導致發動機與機體脫離.同時還可能會伴隨液壓系統失效，燃油泄漏等問題.在此種嚴重的損傷情況下討論重構控制已經沒有意義.KP(1，2)可以得出相同的結論.因此，通過前面的估算與對合理性的討論可以得出結論，KP(2，1)、KP(1，2)不會達到與KP(1，1)、KP(2，2)相同的數量級.進而推出結論，二階順序主子式符號不會發生改變.

綜上，針對常規布局非對稱結構受損飛機，以升降舵、方向舵為控制量，俯仰角、偏航角為輸出量的多變量模型參考自適應控制器設計的兩個關鍵前提條件均可以得到滿足.

4 系統仿真

4.1 受損算例描述

飛機的非對稱結構損傷包括翼尖折斷、機翼穿孔和水平安定面損傷等等.其中，單側翼尖折斷是一種比較典型的非對稱結構損傷情況.在本文中，選取飛機左側翼尖受損為5%，10%，15%，20%，25%，30%幾種損傷程度進行配平.在配平中發現，當受損程度為20%時，平飛所需副翼舵偏已經接近舵偏極限.因此，在仿真中受損模型選擇左側翼尖受損20%的情況.

4.2 自適應控制器設計

對于正常飛機模型(A0，B0，C0)以及受損20%飛機模型(Ad，Bd，Cd)，可以分別確定傳遞函數G0(s)=C0(sI－A0)－1B0和Gd(s)=Cd(sIAd)－1Bd所有零點均穩定，嚴格正定且滿秩，可觀測性指數為v=4.并且關聯矩陣不變，參數a取1.

對于高頻增益矩陣，驗證可知受損前后均有界且非奇異，順序主子式分別為

如上一節分析，符號沒有發生改變.

對于多變量模型參考自適應控制器，選擇:

可以得到w1(t)，w2(t).選擇f(s)=(s+3)2以及合適參數，構建控制律(10)和自適應律(11).對非對稱損傷飛機的非線性模型為對象進行仿真，同時以傳統的PID(Proportion Integration Differentiation)控制器作為仿真對比.

4.3 仿真結果

根據《有人駕駛飛機自動駕駛儀通用規范》，輸入通常取5°左右觀察飛機各姿態影響.在仿真中，參考指令取 Δr(t)=[5，5]T，即給出俯仰角指令5°，偏航角指令5°.仿真結果如圖1和圖2所示.

圖1 俯仰角、偏航角跟蹤誤差

圖1、圖2分別為跟蹤誤差和舵面偏轉角度.在指令姿態穩定，發生損傷后，誤差出現小幅波動，經過控制器自適應參數調整后又重新收斂于零.為補償不對稱損傷造成的橫向干擾力矩，δr舵偏明顯增大.

MRAC控制器與傳統PID控制器效果對比如圖3和圖4所示.由于非對稱損傷帶來的模型不確定變化，導致PID控制下的偏航響應發散，而MRAC控制下的響應良好.仿真結果表明MRAC控制器比PID控制器具備更好的控制能力.

圖2 升降舵、方向舵舵偏角度

圖3 不同控制器下俯仰角響應

圖4 不同控制器下偏航角響應

5 結論

本文研究了非對稱結構受損飛機的多變量模型參考自適應控制.結合受損飛機特性，推導了系統關聯矩陣和高頻增益矩陣表達式，針對其不變性給出了一般性證明，從理論上確立了模型參考自適應方法用于非對稱結構受損飛機的理論可行性，并以左側翼尖受損的GTM[10]為控制對象進行了仿真驗證.結果表明:多變量模型參考自適應控制器可以對翼尖損傷造成的影響進行補償，保證系統閉環的穩定性，使系統輸出與參考指令信號的誤差收斂于零，比傳統的PID控制效果更好.

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