淺談二次函數(shù)在中考題中的綜合運(yùn)用

張仲義

摘 要：二次函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中有比較廣泛的應(yīng)用，也是最近幾年中考的重要考點(diǎn)之一。對于二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生建立起函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想，可以拓展學(xué)生的解題思路，對于中學(xué)生智力的發(fā)展以及思維能力的培養(yǎng)等都有著相當(dāng)重要的意義。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；中考題；綜合運(yùn)用

對于初中數(shù)學(xué)的教學(xué)而言，二次函數(shù)是教學(xué)內(nèi)容

的重點(diǎn)和難點(diǎn)，凡是與二次函數(shù)相關(guān)的綜合題型都是

中考中常見的題型，而和二次函數(shù)相關(guān)的題也常常會被作為壓軸的題型出現(xiàn)在卷面上。很久以來，二次函數(shù)都是中考命題的一大熱點(diǎn)，它的靈活性比較大，涉及的知識面也比較廣，能夠同其他的知識緊密地聯(lián)系起來。

一、關(guān)于特殊的二次函數(shù)解析式

（2012年 廣西柳州的中考題）已知：拋物線y=■（x-1）2-3.

（1）寫出拋物線的開口方向、對稱軸；

（2）函數(shù)y有最大值還是最小值？并求出這個最大（小）值；

（3）設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為P，與x軸的交點(diǎn)為Q，求直線PQ的函數(shù)解析式.

經(jīng)過分析，可以得出，在解第一問的時候需要根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定其開口的方向和對稱軸；第二問首先需要根據(jù)a為正數(shù)的時候確定其最小值，然后再根據(jù)函數(shù)的解析式將最小值求出來；第三問首先需要確定P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再根據(jù)待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式。

二、二次函數(shù)和幾何的組合

（2012年 廣東省模擬試題）如圖1，已知拋物線y=-■x2+x+4交x軸的正半軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B.

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求直線AB的解析式；

（2）設(shè)P（x，y）（x>0）是直線y=x上的一點(diǎn)，Q是OP的中點(diǎn)（O是原點(diǎn)），以PQ為對角線作正方形PEQF，若正方形PEQF與直線AB有公共點(diǎn)，求x的取值

范圍；

（3）在（2）的條件下，記正方形PEQF與△OAB公共部分的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并探究S的最大值.

解這道題的時候，令x=0，代入式中就可以求出B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），令y=0代入式中就可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）.然后再設(shè)AB的解析式為y=kx+b，代入A、B點(diǎn)坐標(biāo)就可以得出k值為-1，b值為4，所以AB的解析式為y=-x+4.當(dāng)點(diǎn)P（x，x）在直線AB上時，可解出x=2，當(dāng)點(diǎn)Q（■，■）在直線AB上時，可解出x=4.所以，若正方形PEQF與直線AB有公共點(diǎn)，那么2≤x≤4.當(dāng)點(diǎn)E在直線AB上時，點(diǎn)F也在直線AB上，那么■=-x+4，所以x=■.當(dāng)2≤x≤■時，直線AB分別與PE、PF相交，交點(diǎn)設(shè)為C、D，所以有，PC=x-（-x+4）=2x-4，因?yàn)镻D=PC，

所以S△PCD=■PC2=2（x-2）2，S=■x2-2（x-2）=-■x2+8x-8=-■（x-■）2+■.

又因?yàn)?≤■≤■，所以當(dāng)x=■時，Smax=■；當(dāng)■≤x≤4時，直線AB與QE、QF分別相交，交點(diǎn)設(shè)為M、N，那么QN=（-■+4）-■=-x+4，因?yàn)镼M=QN，則S△QMN=■QN2=■（x-4）2，S=■（x-4）2，所以，當(dāng)x=■時，Smax=■。在這道題中的第三問就是我們所說的最值問題。

作為數(shù)形結(jié)合的綜合性題型，用二次函數(shù)來壓軸可以開闊學(xué)生的知識視野，能夠?qū)W(xué)生學(xué)習(xí)知識的全面性和系統(tǒng)性充分考查出來，并且，對于學(xué)生的想象力以及邏輯思維能力的培養(yǎng)也起著相當(dāng)重要的作用，可以幫助學(xué)生培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力。對于數(shù)形結(jié)合的綜合運(yùn)用題型，筆者認(rèn)為，應(yīng)該充分利用所學(xué)的知識點(diǎn)，采取各個擊破的辦法解決問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]戎利君，盧萬兵.二次函數(shù)測試題[J].數(shù)學(xué)大世界：初中生數(shù)學(xué)輔導(dǎo)版，2012（Z1）.

[2]張宏亮.二次函數(shù)考點(diǎn)“直通車”[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)：初中版九年級，2013（Z1）.

[3]王曉春.注重對稱性在二次函數(shù)中的應(yīng)用[J].考試：中考版，2012（11）.

（作者單位 福建省泉州市惠安縣岞港中學(xué)）