《常微分方程》緒論課的教學探討

王居鳳

摘 要：常微分方程是數學分析的一個分支，是數學知識與應用密切相關的基礎科學。就如何上好緒論課做些探討。

關鍵詞：常微分方程；發展史；內容；意義

《常微分方程》是高等院校數學類的必修課，學好這門課可為學習其他數學理論，例如，線性系統理論、泛函分析等課程打下基礎；緒論課對學生有引導作用，本文從三個方面探討如何上好緒論課。

一、介紹常微分方程的發展史

常微分方程指的是自變量只有一個的微分方程，“微分方程”這個詞是萊布尼茨在1676年提出的，常微分方程經歷了求解、解析理論、定性理論與穩定性理論的過程。1743年歐拉給出了通解與特解的概念，1718年泰勒提出奇解的概念，19世紀20年代，法國柯西給出了柯西問題解的存在唯一性定理。1873年，德國數學家李普希茲對柯西的存在唯一性定理做了改進。19世紀，希爾研究了周期系統方程，龐加萊開創了微分方程定性理論研究。1892年李雅普諾夫在博士論文中給出了基于能量函數上的系統穩定性理論。

二、介紹常微分方程的內容

客觀世界的各種量與量之間的關系，常常滿足常微分方程，

因而對這些量的研究轉化為對應的用常微分方程描述的數學模型的研究。舉實際例子來說明建立微分方程模型的過程。比如：數學擺、馬爾薩斯人口模型、生物種群被捕食—捕食模型、物理冷卻過程的數學模型，并舉歷史上非常有名的一個模型“Lorenz系統”，這是美國數學家和氣象學家洛倫茨建立的，他在研究氣象時，從

一個旋轉水桶得到靈感，建立了一個氣象模型，該模型包含三個變量a、b、和c。而c的取值決定了系統狀態的性質，系統隨c的變化可能是收斂，也可能是混沌的。當系統收斂時，系統的曲線感覺像是被一個點逐漸吸引過去，當系統混沌時，狀態曲線圍繞著兩個固定點不斷地變化著，感覺像展開翅膀的蝴蝶。在這里用圖片展示Lorenz系統各種曲線圖形。讓學生感受到曲線的神奇與美麗。通過建模讓學生體會到這門課研究的常微分方程來源于生活，是有現實意義的。建模后再介紹教材每章的內容。

三、研究常微分方程的意義

常微分方程在很多科學領域都有應用，例如，天文學、力學、物理、航天、生物等。舉幾個具體的例子，如：牛頓通過微分方程發現了行星運動規律。勒維烈與亞當斯利用微分方程計算出海王星的位置，洛倫茨從“Lorenz系統”發現這系統對初始值高度敏感。初始狀態（例如濕度、溫度、風速）的微小差異會對后面的狀態影響非常大。后來人們稱這種現象為“蝴蝶效應”。洛倫茲提出：“巴西熱帶雨林的一只蝴蝶偶然拍動一下翅膀，幾星期后可以在美國德克薩斯州引起一場龍卷風。”由于測量值與真實值有誤差，這樣誤差局部會影響到全局。所以，從這樣的分析角度來看，長期準確預報天氣是不可能做到的。

上好緒論課，引導學生積極地學習《常微分方程》，掌握常微分方程的理論和方法，為他們培養《常微分方程》學習興趣，做個好個開端。

參考文獻：

王高雄，周之銘，王壽松.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006.

（作者單位 中國計量學院數學系）