《常微分方程》緒論課的教學(xué)探討

王居鳳

摘 要：常微分方程是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)分支，是數(shù)學(xué)知識(shí)與應(yīng)用密切相關(guān)的基礎(chǔ)科學(xué)。就如何上好緒論課做些探討。

關(guān)鍵詞：常微分方程；發(fā)展史；內(nèi)容；意義

《常微分方程》是高等院校數(shù)學(xué)類的必修課，學(xué)好這門課可為學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)理論，例如，線性系統(tǒng)理論、泛函分析等課程打下基礎(chǔ)；緒論課對(duì)學(xué)生有引導(dǎo)作用，本文從三個(gè)方面探討如何上好緒論課。

一、介紹常微分方程的發(fā)展史

常微分方程指的是自變量只有一個(gè)的微分方程，“微分方程”這個(gè)詞是萊布尼茨在1676年提出的，常微分方程經(jīng)歷了求解、解析理論、定性理論與穩(wěn)定性理論的過程。1743年歐拉給出了通解與特解的概念，1718年泰勒提出奇解的概念，19世紀(jì)20年代，法國柯西給出了柯西問題解的存在唯一性定理。1873年，德國數(shù)學(xué)家李普希茲對(duì)柯西的存在唯一性定理做了改進(jìn)。19世紀(jì)，希爾研究了周期系統(tǒng)方程，龐加萊開創(chuàng)了微分方程定性理論研究。1892年李雅普諾夫在博士論文中給出了基于能量函數(shù)上的系統(tǒng)穩(wěn)定性理論。

二、介紹常微分方程的內(nèi)容

客觀世界的各種量與量之間的關(guān)系，常常滿足常微分方程，

因而對(duì)這些量的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的用常微分方程描述的數(shù)學(xué)模型的研究。舉實(shí)際例子來說明建立微分方程模型的過程。比如：數(shù)學(xué)擺、馬爾薩斯人口模型、生物種群被捕食—捕食模型、物理冷卻過程的數(shù)學(xué)模型，并舉歷史上非常有名的一個(gè)模型“Lorenz系統(tǒng)”，這是美國數(shù)學(xué)家和氣象學(xué)家洛倫茨建立的，他在研究氣象時(shí)，從

一個(gè)旋轉(zhuǎn)水桶得到靈感，建立了一個(gè)氣象模型，該模型包含三個(gè)變量a、b、和c。而c的取值決定了系統(tǒng)狀態(tài)的性質(zhì)，系統(tǒng)隨c的變化可能是收斂，也可能是混沌的。當(dāng)系統(tǒng)收斂時(shí)，系統(tǒng)的曲線感覺像是被一個(gè)點(diǎn)逐漸吸引過去，當(dāng)系統(tǒng)混沌時(shí)，狀態(tài)曲線圍繞著兩個(gè)固定點(diǎn)不斷地變化著，感覺像展開翅膀的蝴蝶。在這里用圖片展示Lorenz系統(tǒng)各種曲線圖形。讓學(xué)生感受到曲線的神奇與美麗。通過建模讓學(xué)生體會(huì)到這門課研究的常微分方程來源于生活，是有現(xiàn)實(shí)意義的。建模后再介紹教材每章的內(nèi)容。

三、研究常微分方程的意義

常微分方程在很多科學(xué)領(lǐng)域都有應(yīng)用，例如，天文學(xué)、力學(xué)、物理、航天、生物等。舉幾個(gè)具體的例子，如：牛頓通過微分方程發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律。勒維烈與亞當(dāng)斯利用微分方程計(jì)算出海王星的位置，洛倫茨從“Lorenz系統(tǒng)”發(fā)現(xiàn)這系統(tǒng)對(duì)初始值高度敏感。初始狀態(tài)（例如濕度、溫度、風(fēng)速）的微小差異會(huì)對(duì)后面的狀態(tài)影響非常大。后來人們稱這種現(xiàn)象為“蝴蝶效應(yīng)”。洛倫茲提出：“巴西熱帶雨林的一只蝴蝶偶然拍動(dòng)一下翅膀，幾星期后可以在美國德克薩斯州引起一場(chǎng)龍卷風(fēng)?！庇捎跍y(cè)量值與真實(shí)值有誤差，這樣誤差局部會(huì)影響到全局。所以，從這樣的分析角度來看，長期準(zhǔn)確預(yù)報(bào)天氣是不可能做到的。

上好緒論課，引導(dǎo)學(xué)生積極地學(xué)習(xí)《常微分方程》，掌握常微分方程的理論和方法，為他們培養(yǎng)《常微分方程》學(xué)習(xí)興趣，做個(gè)好個(gè)開端。

參考文獻(xiàn)：

王高雄，周之銘，王壽松.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006.

（作者單位 中國計(jì)量學(xué)院數(shù)學(xué)系）