一元二次方程根的分布

沈佳佳

一元二次方程根的分布是高中數學的重要內容，可以運用函數與方程的關系來解決。

一、兩根都小于或大于某個數

例1.若方程2x2+3x-5m=0的兩實根都小于1，則實數m的取值范圍是__________

解析：設f（x）=2x2+3x-5m，依題意，

得x0=-■<0

Δ=32-4×2×（-5m）≥0

f（1）=2×12+3×1-5m>0，解得-■≤m<1，即m的取值范圍為[-■，1）

二、兩根在某個數的兩側

例2.求實數m的范圍，使關于x的方程x2+2x+m+1=0有兩個實數根，且一根比1大，另一根比1小。

解：設函數f（x）=x2+2x+m+1，依題意，

可得f（1）=m+4<0，

解得m<-4。故m的取值范圍為（-∞，-4）

三、兩根都在某一區間內部

例3.已知關于x的方程x2-（m+4）x-2m2+5m+3的兩個

不等實根都在區間[-1，3]內，求實數m的取值范圍。

解：設函數f（x）=x2-（m-4）x-2m2+5m+3，可得對稱軸為直線x=■，依題意，可得-1≤■≤3

Δ≥0

f（-1）≥0

f（3）≥0，解得-6≤m≤2

m∈R

-1≤m≤4

0≤m≤1即0≤m≤1，故m的范圍為[0，1]

四、兩根在某一區間兩側

例4.如果方程x2+2mx-1+m=0的兩個根一個小于0，

另一個大于1，試確定m的范圍。

解：設f（x）=x2+2mx-1+m，依題意，得f（0）=m-1<0

f（1）=3m<0，解得m<1

m<0即m<0。故m的取值范圍為（-∞，0）。

五、兩根只有一個在某一區間內

例5.若關于x的方程2x2+mx+1=0的兩個不等實根有且只有一個在區間（0，1）內，求實數m的取值范圍。

解：設f（x）=2x2+mx+1，依題意，可得f（1）f（0）<0，即m+3<0，

解得m<-3，故m的取值范圍為（-∞，-3）。

六、兩根在兩個區間內

例6.已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0有兩根，其中一根在區間（-1，0）內，另一根在區間（1，2）內，求m的取值范圍。

解：設函數f（x）=x2+2mx+2m+1，依題意，

可得f（-1）=2>0

f（0）=2m+1<0

f（1）=4m+2<0

f（2）=6m+5>0，解得-■

因此，m的取值范圍為-■，-■

（作者單位 江蘇省上岡高級中學）