論圓錐曲線中幾組有趣的姊妹圓

廖星星

摘 要：圓錐曲線中一些動態定值問題的研究成果，不斷出現在各種報紙雜志上，并且一些性質的應用或探究還經常出現在各種訓練題、考試題中。

關鍵詞：圓錐曲線；雙曲線；圓

教學之余，筆者研究發現了與圓錐曲線為載體的幾組有趣姊妹圓的定值問題。

現簡要介紹如下：

性質1：以圓錐曲線的焦點弦AB為直徑的圓M與圓錐曲線

準線L的位置關系。

當圓錐曲線是橢圓時，直線L與圓M相離；

當圓錐曲線是雙曲線時，直線L與圓M相交；

當圓錐曲線是拋物線時，直線L與圓M相切。

證明：設弦的端點A、B在準線L上的射影分別為A1、B1，AB的中點M在準線L上的射影為N，則圓M的半徑r=■AB，于是，MN=■AA1+BB1=■■+■=■·r

當曲線是橢圓時，0r，即圓M與準線相離；

當曲線是雙曲線時，e>1，∴MN

當曲線是拋物線時，e=1，∴MN=r，即圓M與準線相切。

性質2：已知圓錐曲線焦點弦AB的端點A、B在準線L上的

射影分別為A1B1，則以線段A1B1為直徑的圓M與直線AB的位置

關系。

當圓錐曲線是橢圓時，圓M與直線AB相離；

當圓錐曲線是雙曲線時，圓M與直線AB相交；

當圓錐曲線是拋物線時，圓M與直線AB相切。

證明：作MN⊥AB于N，則S■=S■+S■+S■，由面積公式得■AA1+BB1·2r=■AA1·r+■BB1·r+■AB·MN，化簡得MN=■·r

當曲線是橢圓時，0r，圓M與準線相離；當曲線是雙曲線時，e>1，MN

e=1，MN=r，圓M與準線相切。

性質3：1.設橢圓■+■=1（a>b>0）的左右焦點分別為F1，F2，P是橢圓上異于頂點的任意一點，圓M是△PF1F2的旁切圓（即圓M與F1F2、F1P的延長線和線段F2P都相切或圓M與F2F1、F2P和線段都相切），則圓心M的軌跡方程是x=a（y≠0）或x=-a（y≠0）。

證明：設圓M與F1F2、F1P的延長線及線段F2P的切點分別為A、B、C，M（x，y），則F1C=F1A=x+c，F2A=x-c

又F1C=F1P+PC=PF1+PB=PF1+PF2=2a-F2A

∴x+c=2a-（x-c），即x=a（y≠0）

同理可證另一種情形。

2.設雙曲線■-■=1（a>0，b>0）的左右焦點分別為F1，F2，若P是雙曲線右支上異于頂點的任意一點，則△PF1F2的內切圓M軌跡方程是x=a（y≠0）；若P是雙曲線左支上異于頂點的任意一點，則△PF1F2的內切圓心M軌跡方程是x=-a（y≠0）；

證明：設圓M與F1F2、F1P、F2P相切于點A、B、C，則當P是雙曲線右支上時，PF1-PF2=2a？圯F1C-F2B=2a？圯F1A-F2A=2a。

又F1A+F2A=2c，∴F1A=c+a，F2A=c-a，∴點A為雙曲線的右頂點，即△PF1F2的內切圓心M軌跡方程是x=a（y≠0）

當P是雙曲線左支上時，同理可證△PF1F2的內切圓心M軌跡方程是x=-a（y≠0）；

性質4：1.設橢圓■+■=1（a>b>0）的左右焦點分別為F1，F2，P是橢圓上異于頂點的任意一點，M是△PF1F2的內切圓圓心，直線

PM交直線F1F2于Q，則■=e，（e為橢圓離心率）

證明：因為M為△PF1F2內心，所以F1M，F2M分別是∠PF1F2，∠PF2F1的角平分線，由角平分線性質得■=■=■，于是■=■=■=e

2.設雙曲線■-■=1（a>0，b>0）的左右焦點分別為F1，F2，P是雙曲線上異于頂點的任意一點，M為△PF1F2的旁切圓圓心，直線PM交直線F1F2于Q，則■=e（e為雙曲線離心率）

證明：因為M為△PF1F2的旁切圓圓心，所以F1M，F2M分別是

∠PF1Q，∠PF2Q的角平分線，由角平分線性質得■=■=■，于是■=■=■=e

略舉以下兩例應用：

例1.過雙曲線■-■=1的右焦點F作傾斜角為30°的直線L交雙曲線于A、B兩點，P為右準線上一點，使∠APB=■的點P

（ ）

A.不存在 B.有1個 C.有2個 D.有無數個

解析：原問題就是判定以弦AB為直徑的圓與準線的交點個

數。根據性質1，以AB為直徑的圓與準線相交，故滿足條件的P點有2個。

例2.△ABC的頂點為A（-5，0），B（5，0），△ABC的內切圓心在直線x=3上，則頂點C的軌跡方程是（ ）

A.■-■=1 B.■-■=1

C.■-■=1（x>3） D.■-■=1（x>4）

解析：由性質3.2知，頂點C在雙曲線的右支上，否定答案A、B，又因為△ABC的內切圓心應在直線x=a上，所以，a=3，故正確答案為C。

（作者單位 湖北省宜昌市遠安縣第一高級中學）