一道經典等差數列習題的研究

在等差數列的復習課時，很多數學教師會將這道習題當作

例題：

等差數列{xn}的前10項的和S10=100，前100項的和S100=10，求S110。

等差數列的求和問題，天經地義地會聯想到求和公式：Sn=nx1+n（n-1）d，由兩個已知條件，恰好構成二元一次方程組，求出x1，d，就能求出S110了。

【法一】設首項為x1，公差為d，則

10x

+d=100

100x

+d=10，解得

x

=

d=

，于是S110=110x1+=-110。

有道是“說起來容易，做起來難” ，能正確求出x1，d的同學寥寥無幾，好像是走進死胡同了，其實不解方程組，也能“柳暗花明又一春” ！（這是興趣小組的同學共同摸索出來的）

【法二】在得到

10x

+d=100

100x

+d=10后，不解方程組，而是去進行變形：兩式相減（下式-上式），可得90x1+=-90，于是x1+=-1，從而S110=110 x1+=110×（x1+）=-110。

求和公式Sn=nx1+n（n-1）d本質上是n的常數項為0的二次函數，用其變形式Sn=an2+bn無疑會方便并且快捷些。

【法三】設等差數列{xn}的前n項的和為Sn=an2+bn，則100=S10=100a+10b

10=S100=10000a+100b。

解得

a=-

b=

，于是S110=1102a+110b=-110。

【法四】將100=S10=100a+10b

10=S100=10000a+100b的兩式相減，得90=-9900a-

90b，于是110a+b=-1，從而S110=1102a+110b=110×（110a+b） =-110。

法四毫無疑問是法二的類比產物。比較一下，就可以發現，數學的知識面越廣，解題思維越靈活，視野自然也越開闊……

等差數列的求和公式不是還有Sn=嗎？也能一鏢中的嗎？如果掌握了等差數列的這樣一個性質：若m+n=p+q（四個數都是正整數），則xm+xn=xp+xq。別說，還真有可能馬到成功。

【法五】S100-S10=x11+x12+x13+…+x100==，可得x1+x110=-2，于是S110== ×（-2）=-110。

其實等差數列的性質非常多，如果用得恰到好處，自然會讓人耳目一新。

【法六】∵{xn}是等差數列，∴數列S10，S20-S10，S30-S20，…，S100-S90，S110-S100構成了一個新的等差數列，如果設其公差為d'，則前10項和為10S10+d'=S10+（S20-S10）+（S30-S20）+…+（S100-S90）=S100，代入相關數據，可得d'=-22，于是S110-S100=S10+10d'，從而S110=-110。

眾所周知，二次函數或二次方程的計算量遠遠大于一次的，解答此題能否像孫悟空一樣也變出個花樣來呢？

【法七】∵{xn}是等差數列，∴是n的一次函數，設其為=kn+b，則

=10k+b

=100k+b，解得k=

b=

，于是=110k+b=-1，從而S110=-110。

既然是n的一次函數，借用斜率相等來一下“乾坤大挪移”，豈不思路更簡捷？

【法八】∵{xn}是等差數列，∴{}是等差數列，于是（10，）（100，），（110，）三點共線，從而=，不難解得S110=-110。

這個命題不僅可以一題多解，而且其推廣命題用得也非常

廣泛：

推廣命題：若m≠n時，等差數列{xn}的前m項的和Sm=n，前n項的和Sn=m，則Sm+n=-m-n。

其證明方法也是“八仙過海，各顯神通”。這里用法四的方法，水到渠成地證一下：

證明：設等差數列{xn}的前n項的和為Sn=an2+bn，則m=Sn=n2a+nb

n=Sm=m2a+mb，兩式相減，得m-n=（n2-m2）a+（n-m）。∵m≠n，∴-1=（m+n）a+b，于是Sm+n=（m+n） [（m+n）a+b]=-m-n。

但學生往往把等差數列中的另一個命題與上述推廣命題

混淆。

干擾命題：若m≠n時，等差數列{xn}的xm=n，xn=m，則xm+n=0。

干擾命題的證明非常容易，在此略過。筆者想強調的是，區分這兩個命題的最佳方法是用特殊值法，進行辨別：

當m=1，n=2時，x1=2，x2=1，公差d=-1，x3=1+（-1）=0；

S1=x1=2，S2=1，x2=-1，公差d'=-3，x3=-4，S3=x1+x2+x3=2+（-1）+（-4）=-3。

總之，掌握等差數列的這道經典題的解答，不僅有利于學生全面加深等差數列的相關公式和性質，而且對學生的數學思維的培養有著極大的促進作用。教師如能因材施教、因勢引導，學生的數學解題能力將會有明顯的提高。