追源溯本“線”“面”分離

“面積和周長”是小學低段學生最初接觸到有關圖形的計算。人教版教材中將周長定義為封閉圖形一周的長度，在習題中一般表現為所有邊長的和，用長度單位衡量；面積指的是物體的表面或封閉圖形的大小，用面積單位衡量。但在實際教學中，學生常常把面積和周長這兩個概念混淆，導致出錯。

一、問題提出

問題1：周長和面積分別是哪部分？

人教版教材三年級下冊第8頁練習十九的第11題：在一張邊長為10厘米的正方形紙中，剪去一個長6厘米、寬4厘米的長方形。小明想到了三種方法（如下圖），剩下部分的面積是多少？剩下部分的周長是多少？

本題課本中給出示意圖，降低了解題難度，但在實際解題中發現學生對本題的理解有一定困難。特別是第二個圖形和第三個圖形周長的解答，即“剪去一個長方形后，剩下部分的周長包括哪幾條邊”，學生不夠明確。根據學生的練習情況，統計發現錯誤基本有以下三種：（1）學生利用長方形對邊相等這一性質，剪去圖形后，計算時遺漏多出來的邊；（2）計算每條邊相加時，每一條邊是多少不清楚，這是對邊與邊關系不理解造成的；（3）將面積與周長混淆，甚至有學生用“原面積-周長”或“原周長-面積”來進行計算。

問題2：周長和面積的關系是什么？

習題（1）：一塊長方形菜地和一塊正方形菜地的面積相等，正方形菜地的邊長是24米，長方形菜地的長是36米，寬是多少米？

習題（2）：一個正方形和一個長方形的周長相等。已知長方形的長是26厘米，寬是14厘米。正方形的面積是多少？

在正方形和長方形中，長和寬或者邊長是連接周長和面積的紐帶。以上兩題便是利用長和寬或邊長之間的關系和“相等”一詞來建立關系式，把找長和寬作為解題的突破點。在學生的解題過程中，筆者發現學生對題中給出的數十分敏感，看到數就很興奮，想著如何利用這些數去套用公式，忽視了文字呈現的數量關系和邊長在解題中的紐帶作用，陷入了套用公式的誤區。

二、原因分析

分析以上問題，其產生的原因有以下兩個方面。

1.教學中強調分離異位

首先，教學中對面積和周長的特點分離不夠。在“周長和面積”教學中，教師一般采用摸、畫、量、算等方法來引導學生建立周長和面積的概念。可我們沒有注意到的是，課堂中教師雖然是出示一個物體，告訴學生物體的邊框是周長，但學生看的時候，往往是既看到物體一圈的長度，又看到了物體的面，導致周長和面積沒有很好的單獨區別開來，給部分學生的理解造成干擾。同樣，我們在日常生活中看到的物體，“線”和“面”是一起看到的，不利學生表象的建立。

其次，過分強調公式。教學中引出公式后，教師便不斷地引導學生利用公式進行解題。其實，周長并沒有什么計算公式，無非就是幾條邊加在一起，學生往往在不斷的練習中記住的是死的公式，而不是靈活的解題方法。

2.學生空間思維的局限與解題定式

首先，在思維方式上，小學低段的學生以形象思維為主，空間想象能力比較薄弱，往往需要借助直觀演示、動手操作等方式感知空間觀念。所以，一些文字概念較多的題對低段學生來說難度是比較大的。

其次，小學低段學生在解題中，更容易出現“重結果，輕方法”的現象。很多學生面對練習題時，首先想的是如何利用給出的數據套用公式進行解題，而不是分析這些數據背后的意義，判斷數據是不是有用，它們背后的聯系是什么，是否是解題的橋梁或者紐帶。

三、有效教學策略的思考

觀察是學生認識事物最直接的一種方法。因此，在小學低年級數學教學中，教師可先引導學生觀察實物，形成直觀的印象，然后尋找發現問題的方法，通過表述和交流形成鮮明的直觀形象，建立空間表象，發展空間觀念。

1.提高培養學生空間觀念的意識

空間觀念是數學新課程中的重要內容之一，也是學生應具備的一種基本數學素質。數學課程標準在小學各學段，從不同層次關注學生空間觀念的發展。因此，教師應當樹立一種培養學生空間觀念的意識。

低年級學生受認識水平的影響，對抽象圖形的理解比較模糊，但對于現實中可接觸到的事物他們卻表現出濃厚的興趣。因此，教學中教師要根據教學內容和學生的心理特點，創設寬松的教學環境，讓學生在學習活動中獲得良好的空間認知經驗。例如，教學“周長”時，可以創設生動有趣的故事情境，用多媒體直觀展示小螞蟻沿著樹葉的邊緣爬一周的過程，讓學生直觀感受到周長的意義。

2.注意周長與面積的區別和聯系

周長與面積混淆的現象出現在呈現兩者計算公式之后，究其原因，是學生頭腦中對周長與面積概念的本質缺乏清晰和深刻的理解。

例如，一位教師這樣教學“周長與面積”的比較課：（1）在黑板上貼出四個不同的圖形（圖形的一周貼了一圈白邊），請學生指一指這些圖形的周長。（2）學生指出周長后，教師追問：“用什么辦法可以知道這些圖形的周長？”學生回答：“用尺子分別量出這些圖形一周的長度。”（3）教師順勢把圖形一周的白邊揭了下來，用小磁鐵壓在黑板上，說道：“周長就是求封閉圖形一周的長度，就是長長的一條線。”在上述案例中，教師用紅色卡紙剪成四個不同的圖形，并在圖形的一周分別用雙面膠貼了一圈白邊，因此呈現在學生面前的是紅底白邊的圖形。當學生說出量圖形一周的長度時，教師順勢把白邊揭了下來，然后用小磁鐵壓在黑板上，非常直觀地再現了周長的本質，原來這“邊”還可以掛在黑板上。此時黑板上形成了鮮明的對比，一邊是周長，掛著長長的四條白邊；一邊是面積，紅紅的一整片。這樣的教學設計，給學生造成強烈的視覺沖擊，其中的差別不言而喻。

又如，教學“周長和面積”一課，教師先出示一個大正方形，接著在大正方形中取一個小正方形，再將小正方形移到大正方形的右面（如下圖），請學生先觀察，然后提問：“這個圖形的面積變化了沒有？周長變化了沒有？”讓學生在比較中發現周長與面積的區別。

3.適當延緩公式的引入

教學中，教師可利用多種不規則圖形，讓學生體會什么是圖形的周長、什么是圖形的面積，在不斷的聯系與比較中，引導學生建構周長和面積的概念，并利用長方形和正方形的特征概括出相應的公式。

例如，教學“周長與面積”時，可以讓學生先指一指多種不規則圖形（如下）的周長，然后摸一摸它們的面積，體會周長與面積的差別。

需要注意的是，教師在教學之前，可給學生設計一些動手操作的實踐活動，讓他們體會面積和周長之間的關系。對于概念的理解，要允許學生有一個反復的過程，只有在不斷地對比、不斷的解決問題中，學生對面積和周長才會加以區別。

4.充分利用“畫數學”的方法幫助學生建構與解題

“畫數學”就是讓學生在畫畫的過程中，去參與知識的發生和發展過程，體會數學知識的來龍去脈，提高主動獲取知識的能力。心理學家認為，培養學生的數學思維是發展數學能力的突破口。低年級學生以直觀形象思維為主，思維的方法比較單一，而運用“畫數學”的方法可以培養和發展學生的數學思維。

首先，“畫數學”能提高學生把文字語言轉換成符號語言的能力，其實這也是對數學的抽象概括。

其次，“畫數學”能較好地把學生的數學思維過程展示出來。不同的學生有不同的畫法，表現出不同的思維過程，學生在交流和比較中掌握了不同的思維方法。即使是同一學生，在“畫數學”的過程中也能激起思維的火花，從而使自己的思維得到發散。

如文中的第一道例題，學生不難畫出示意圖，即先畫一個邊長為10厘米的正方形，并在里面畫一個長與寬分別為6厘米和4厘米的長方形，表示截下。通過畫圖，學生不難發現，出現的截圖現象并不僅有課本給出的三種情況，有學生通過思考和分析畫出如右的圖形。

新課程理念下的數學教學，更應該注重學生創造力的培養。在低段數學教學中運用“畫數學”這一方法時，能讓不同學習水平、不同思維特點的學生在畫的過程中都有機會表達自己的思想，而不是用統一的模式要求所有的學生。從實踐中發現，學生在畫的過程中不僅能舉一反三，靈活運用所學知識解決問題，而且有豐富的想象力，喜歡出“新點子”，愛標新立異和發表與別人不同的見解。

周長和面積的本質是線與面，學生在學習中易于混淆卻依然有法可尋。因此，在課堂教學中，教師可讓“線”和“面”盡情碰撞，激發學生思維的火花。