“拉一拉”的困惑

一、問題緣由

前不久，聽一位教師執教“三角形的認識”一課，在突破讓學生了解三角形具有穩定性這一教學重點時，她是這樣設計的：將男女生分成兩組進行比賽，分別拉一拉三角形框架和四邊形框架，拉完后讓學生談談有什么感受，同時思考為什么電線桿的支架不設計成四邊形而設計成三角形。學生經過交流討論，最后得出三角形具有穩定性這一特性。應該說，這樣的設計，課堂是熱鬧的，學生是高興的，仿佛充分體現了以學定教的思想。確實，教材中就是采用“拉一拉”的方式讓學生體驗三角形的穩定性的。但熱鬧之后再深入思考，暫且不論三角形框架和四邊開框架由于材質不好而導致拉斷、拉壞等現象的發生，僅以“拉一拉”這一方式來教學三角形的穩定性，是否真的把三角形的穩定性直觀地展現給學生？學生是否真正理解了三角形的這一特性呢？在后面的教學中，教師讓學生找找生活中有哪些事物應用了三角形的穩定性。

生1：我發現自行車車架中的三角形框具有穩定性。

生2：我發現保護新種的樹木的架子是三角形的，它也具有穩定性。

生3：老師，我覺得三角形也不一定具有穩定性。你瞧，我們胸前戴著的紅領巾也是三角形的，但它不具有穩定性，它一拉就會變形，還可以任意地被我們揉捏。

有許多學生頓時小聲應和道：“是啊，是啊，紅領巾是三角形，可它會變形啊！”而這位教師呢，或許是事前也沒想到這一點吧，只見她稍稍遲疑了一下，然后給了學生這樣的解釋：“是啊，但紅領巾是布做的，我們不能用紅領巾來理解三角形的穩定性，而是要看看人字架屋頂、高壓線框架這些物體，多牢固啊。” ……

課結束后，我找幾位學生了解他們對三角形具有穩定性的認識程度，發現情況果然并不理想，不少學生對三角形穩定性的認識存在著許多誤區。有的學生支支吾吾說不清何為三角形的穩定性，而大部分學生給出的答案都是“拉一拉不會變形，這個就是三角形的穩定性”。

二、緣由分析

怎么會這樣？這節課引起了我的思考。通過對教師以及學生的測查、訪談發現，多數師生對三角形穩定性的認識處在非常淺顯的層次，教師能夠清楚知道三角形穩定性的也為數不多。通過查找資料及與一些教師的討論分析，發現在三角形穩定性的教學過程中易出現以下三個方面的誤區。

誤區1：以“拉不拉得動”作為唯一標準來判斷多邊形是否具有穩定性

從多數師生的反饋中，可以看出他們是以“拉不拉得動”為標準來判定多邊形是否具有穩定性的，把操作活動的注意點集中在“拉不拉得動”上。教學時讓學生自己用木條做一個三角形和一個平行四邊形，然后拉一拉，發現三角形拉不動，不會變形，由此判定三角形具有穩定性；而四邊形拉得動，容易變形，因此認為四邊形不具有穩定性。“拉不拉得動”的標準也是使學生形成錯誤邏輯思維的重要因素之一。由此可見，這樣的判斷標準是不合適的。

誤區2：將“三角形”與“三角形物體”混為一談

作為數學概念，是不研究材料的粗細、大小、顏色等非數學本質的東西的。然而，學生面對的紅領巾、自行車架等都是三角形的物體，錯將三角形圖形與三角形物體混為一談，這樣導致學生容易做出錯誤的推理，認為所有三角形的物體都具有穩定性，而四邊形容易變形，所有材料構成的四邊形物體不具備穩定性。而且，學生能舉出其中的個別反例。如上述紅領巾問題，紅領巾形狀是三角形，它一拉就會變形，所以三角形不具備穩定性；焊死的衣服掛鉤是四邊形，它拉不動，不會變形，因此它具有穩定性。穩定性是三角形的特性，它有時在某些三角形物體上表現為穩固、不易變形，但這并不說明所有三角形的物體都很穩固、不易變形，更不說明不易變形的物體就具有穩定性。從這個角度看，教材中關于三角形穩定性的描述似乎有以“物”代“形”的嫌疑，容易使學生產生錯誤的推理，造成認識上的矛盾。

誤區3：將“牢固性”（拉不拉得動）和“穩定性”混為一談

在用“拉一拉不會動”來教學三角形的穩定性時，教師和學生在無意間都“偷換”了概念，將“牢固性”（拉不拉得動）和“穩定性”（三角形的三邊長度確定，這個三角形的形狀和大小就完全確定）混在了一起，但牢固性≠穩定性。翻閱教材，我們可以發現教材中是這樣描述三角形穩定性的：“用三根木條釘成一個三角形，用力拉這個三角形，這個三角形的形狀不會改變，可見，三角形具有穩定性。”小學數學教材安排這一內容時，更多考慮的是學生的年齡特點和認知能力，只要求學生通過現實生活去感受并體驗三角形具有這種穩定的特性，但我們教師的認識應不局限于此。其實，上網搜索“三角形穩定性”，就會發現很多網頁中的“三角形穩定性”明確指向于“形狀和大小完全確定”。其中，最具代表性的描述是“只要三角形三條邊的長度固定，這個三角形的形狀和大小也就完全確定，三角形的這種性質叫做三角形的穩定性”。也就是說，三角形的穩定性不是“拉不拉得動”的牢固性問題，其實質應是“三角形邊長確定，其形狀和大小就確定了”的穩定性特性。

三、反思與改進

那么，如何才能讓學生真正了解三角形的穩定性，在他們的頭腦中建立正確的穩定性的概念呢？

1.消除生活經驗的副作用，正確認識“拉一拉”

教學中不能以“拉不拉得動”或“變不變形”為標準判定多邊形是否具有穩定性，應把學生的關注點引導到拉一拉后，有沒有變成其他形狀的多邊形。如三角形拉一拉后，沒有變成其他圖形的多邊形，因此說三角形的形狀具有穩定性；而四邊形、五邊形等多邊形拉一拉后變成其他圖形的多邊形，因此不具有圖形的穩定性，容易變形。這樣就可以解釋拉動或揉捏后的紅領巾會變形，這是它的材質問題導致了形狀的變化，揉捏后已非三角形，跟三角形的穩定性這一本質特性并沒有關系。

2.辨別兩個概念的差異性，正確定位“穩定性”

由于教材的誤導及教師的錯誤引導和學生頭腦中生活經驗的副作用，對操作活動拉一拉的認識都集中到了物理意義的牢固性上。因此，教師在教學中應明確提出“穩定性”與“牢固性”這兩個概念，以區別不同的屬性，即抽象的幾何意義與物理意義。這樣可把幾何意義上穩定性的注意點引到“不變”，把物理意義上穩定性的注意點引到“牢固”，就能較好地解決只用“穩定性”一詞表述所帶來的副作用。

3.溝通抽象意義與直觀操作之間的聯系

首先讓學生動手操作，用小棒圍三角形，然后啟發學生思考：用這三根小棒是否還能圍成其他形狀的三角形？學生操作之后發現，不管怎樣移動小棒，三角形除位置和擺放的角度發生變化外，其形狀、大小都不會改變。然后再讓學生用四根小棒任意圍四邊形，引導學生發現四根小棒圍成的圖形，形狀、大小也會發生改變。通過兩個實踐操作活動之后，再讓學生比較、討論，然后教師根據學生的討論順勢引導歸納出三角形穩定性的含義，繼而幫助學生建立這樣的觀點：正是因為“三角形三邊的長度確定，這個三角形的形狀和大小就完全確定”這一幾何意義上的穩定性，使得具有三角形結構的物體有了牢固性，而其他任何多邊形在同等條件下都不具有類似的牢固性。最后讓學生在拉一拉的活動中體驗三角形的牢固性和不容易變形性，以此幫助學生建立正確的推理方向，不能反過來推導。

仔細分析教學過程中存在的這三個誤區，發現在一定程度上都是受了生活經驗的影響。生活中獲得的各種經歷、體驗有時恰好能為抽象的數學概念和知識提供認識的基礎，但它還可能包括其他的干擾因素。因此，數學教學應該與學生的生活經驗建立聯系，但必須注意在生活化的過程中，要切實處理好生活的隨意性與數學的嚴謹性、科學性之間的關系，防止數學內涵的缺失。