數學語言與教學

斯托利亞爾說：“數學教學也就是數學語言的教學。”學生學習數學在一定程度上可以說就是學習數學語言，就是在不斷內化、不斷運用數學語言。學生準確靈活地掌握了數學語言，就等于掌握數學思維、表達和交流的工具。如果數學語言表達（即數學化）能力缺乏，就會死記硬背概念，而不能將其數學化，不能把自然語言形式轉化為符號語言或其他數學語言形式，思維也就會受到抑制。所以，數學教學中教師一定要重視數學語言的教學，提高學生數學語言水平。

數學語言一般可分為三種：符號語言、文字語言和圖表語言。各種語言承載著不同的信息，體現著不同的交流效果，表達不同的思想。數學課堂上教師要引導學生認清三種語言各自的功能，這樣有助于學生對數學的理解，有助于學生對數學的表達、思考，同時也使教學更具方向性，學生思維更具深刻性。

一、符號語言

2011版義務教育階段新課程標準中專門列出了十個重要關鍵詞，“符號感”是其中之一。那么，什么是數學符號呢？英國著名數學家羅素說過：“數學就是符號加邏輯。”徐品方在《數學符號史》中解釋：“ 數學符號是數學文獻中用以表示數學概念、數學關系等的記號。”

數學符號一般分為數字符號（如1、2、3、4、5等）、運算符號（如+、-、×、÷等）、變量符號（如x、y、a、b、c等）、縮寫符號（如△、∥、⊥、∠等）和關系符號（如≈、=、≥、<、>等）。數學符號是具有簡潔性和抽象性的規范語言，它準確、清晰，可以簡約思維，提高效率，是人們進行表達、計算、推理、交流和解決問題的工具。2011版的新課標指出：“應幫助學生建立數感和符號意識。”建立符號意識有助于學生理解符號的使用，它是數學表達和進行數學思維的重要形式。

其實，現實世界中，數學對象本身并不存在。數學是一種由人構造的“思想事物”，一種只存在于人頭腦中的事物。現實有的只是五個手指頭、五雙襪子等，而“5”這個數字符號只是思想上的存在，這就是數學語言的符號世界。撇去許多具體屬性，在數學世界中，符號語言變得更模式化、符號化，其外延更寬。符號語言的應用，大大縮減了數學材料的篇幅，便于學習者記憶。教學中教師要重視數學符號語言的應用，充分揭示數學的精髓——數學符號語言的現實意義、生活意義，引導學生正確運用數學符號語言表示數學內容，提高學生思維的簡潔性、概括性。

如學習《用字母表示數》的時候，教師用唱兒歌引入：1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿，撲通一聲跳下水；2只青蛙2張嘴，4只眼睛8條腿，撲通一聲跳下水；3只青蛙3張嘴，6只眼睛12條腿……

師：這樣說下去能說完嗎？

生：說不完。

師：那怎么辦呢？怎樣表示才能讓人家一看就清楚、一聽就明白？

教師引導學生用字母表示：n只青蛙n張嘴，2n只眼睛4n條腿。字母n在這里代表的是青蛙的只數，表示是一個數，可以是1、2、3、4、5等任意一個自然數。n也可以換成m、a、c、x等其他字母。“2n只眼睛4n條腿”，這里的2n、4n表示的是一種關系，是青蛙只數與青蛙眼睛、青蛙腿之間2倍、4倍的關系。通過這樣引導，學生明白了當遇到說不清、數不完、道不明、比較復雜的問題的時候，要想辦法用簡潔一點的符號語言來表示，這樣比自然語言敘述簡潔、清楚、明了。這樣教學，學生明白了數學符號語言產生的需要，理解了數學符號語言表示的優勢：可以把一個復雜的生活事實用簡便的形式表示出來，直觀、簡明、概括性強。學生減輕頭腦中很多繁瑣工作，自然就經歷了數學化的過程，學會用數學語言表示現實生活中的數學問題，更理解了符號表示的現實意義。

二、文字語言

自然語言具有模糊性，而數學文字語言是嚴謹的，容不得含糊的。數學文字語言不是自然語言文字的簡單移植或組合，不能多樣化理解，也不能隨意想象，它是表達數學概念、判斷、推理、定理的邏輯思維語言，具有準確、嚴密的突出特點。與富有彈性的文學語言相比，數學文字語言有一副“鐵板的面孔”，它的每個字、詞都有確切的含義，不容混淆，如“直線”和“射線”、“鈍角”和“銳角”等，一字之差，表示完全不同的兩個概念。詞序顛倒，也會表達出兩種不同的意思，如“數位”和“位數”、 “a、b兩數的倒數和”與“a、b兩數和的倒數”、“全不為零”與“不全為零”、“方程解”與“解方程”、 “軸對稱”與“對稱軸”等。數學文字語言還有一副鋼制的骨架——其內蘊是嚴謹的邏輯，特殊不能代替一般、部分不能代替整體、不能循環論證等。這些特點使數學概念表述準確、判斷嚴謹、推理嚴密、思維縝密。

課堂上教師的教學用語應充分體現這些特點：一絲不茍地使用數學文字詞匯、數學術語，敘述要合乎邏輯，準確無誤，思辨清晰，步步有據，完整周詳。要做到無懈可擊，簡明扼要，言簡意賅，惜字如金，沒有任何多余成分。要對法則中的關鍵詞下一番咬文嚼字的工夫，如教學“分數基本性質”時，對分數的定義[（分數的分子和分母同乘或除以一個相同的數（零除外），分數的大小不變）]中的關鍵詞“同乘或除以”、“零除外”、“相同”等要引導學生反復推敲，以增進理解。對有些數學概念還可以適當輔以反例，以明確概念的內涵、外延，如教學倒數的時候，可以出示“a+b=1、a÷b=1” 等讓學生判斷a和b是否互為倒數。總之，要使學生明白，任何模棱兩可、含糊其辭的數學語言都不能正確揭示數學概念的本質特征與邏輯關系。這樣的數學語言教學才能真正有助于學生思維的發展，有助于培養學生思維的嚴謹性、準確性和邏輯性。

三、圖表語言

圖表語言是指包含一定數學信息的各種圖或表，可細分為圖形語言（幾何圖形、韋恩圖等）、圖像語言（函數圖像和統計圖等）和格表語言（統計數據表、分析表、框圖等）。它們是形象思維的載體和中介，也是數學思維的重要材料和結果，還是進行抽象思維的重要工具。這些圖形、圖像或格表作為信息傳遞的一種形式具有同文字信息形式相同的功能，但比文字信息更直觀、形象，是對其他兩種語言的補充。它與數學術語、符號等一起構成數學語言系統。 圖表語言的概括性很強，學生理解起來往往比較困難。所以，教學中教師一定要引導學生經歷圖表語言的抽象過程，讓學生理解圖表語言的生活意義和數學意義。

例如，一位教師在教學一年級《統計》的時候，先出示喜羊羊運動會的場景，引導學生把運動會的各種花進行分類，然后數一數各有多少朵，再引出簡單的統計表，最后讓學生根據表格中的數據說一說發現了什么。這個過程經歷了四個階段：生活事實（喜羊羊運動會）——數學問題（各種花分類，再數出多少朵）——數學模型（統計表）——應用模型（你能夠發現什么）。學生經歷了搜集信息、整理信息、建立模型、分析數據的過程。

其實，我們的數學教學就是數學語言的教學。教學中教師要重視各種數學語言的功能，引導學生用數學語言準確地表達信息、表達思維。