為數(shù)學(xué)化教學(xué)搭建“腳手架”

思索

凡是值得思考的事情，沒有不是被人思考過的，我們做的只是試圖重新加以思考而已。

——歌德

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂關(guān)注數(shù)學(xué)化，但只重結(jié)果，總覺得數(shù)學(xué)化的過程缺少些什么。而課改后課堂關(guān)注生活化，但也總覺得生活化的教學(xué)丟失了什么。帶著這樣的疑問，我經(jīng)常聆聽名師的課堂教學(xué)，尤其是聆聽特級教師丁杭纓的課堂教學(xué)，終于領(lǐng)悟到了一些道理。

【例1】《有余數(shù)的除法》（二年級上冊）

【例2】《千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識》（二年級下冊）

例1中學(xué)生從動手搭小棒這具體的實(shí)物操作，到腦中搭正方形的半具體半抽象的表象操作，再到算式的抽象符號操作，搭正方形自始至終貫穿在數(shù)學(xué)化的過程之中；例2中大屏幕上顯示具體的596塊積木、計數(shù)器上所撥的半具體半抽象的596、對應(yīng)數(shù)位順序表下寫著的抽象的596，這三者有機(jī)聯(lián)系在一起，構(gòu)建了596的意義磁場。正是為學(xué)生搭建了“腳手架”，使學(xué)生完成了數(shù)學(xué)思維的三步跳。同時讓學(xué)生在具體、半具體半抽象和抽象中反復(fù)穿梭，尋求聯(lián)結(jié)的過程，為數(shù)學(xué)化教學(xué)注入富有生命的靈性內(nèi)涵。

實(shí)踐

我不能，別的任何人也不能替代你走過的路，你必須自己去走。

——惠特曼

一種想法醞釀著一種實(shí)踐，它促使著我有了躍躍欲試的那股沖動，也只有實(shí)踐才會促使我不斷成長。在參加市教壇新秀上課評比時，在短短一個半小時備課中，我試圖用搭建“腳手架”的方法引領(lǐng)學(xué)生完成數(shù)學(xué)化的過程，而設(shè)計了如下教學(xué)片斷。

片斷A：初教《筆算乘法》（三年級下冊）。

出示題目：一套書12本，每本24元，共花多少元？

師：你能列出算式嗎？

生：12×24，24×12。

師：估計大約花多少元錢？

生：把12看成10，24看成20，10×20=200，大約花200元錢。

師：如果要準(zhǔn)確計算12乘24的結(jié)果，你會嗎？

出示要求：①安靜地想一想，你有幾種方法，并寫下來。②在你的四人小組內(nèi)交流，你又學(xué)會了什么方法？

匯報：

師：48是怎么來的？代表什么意思？橫式中有嗎？24呢？代表什么意思？橫式中呢？（溝通豎式、橫式與生活原型的聯(lián)系）

反思：盡管時間很短，但我試圖溝通乘法豎式、橫式與實(shí)物圖三者之間的聯(lián)系，也能有丁杭纓老師招牌教學(xué)的雛形，且能從具體的實(shí)物圖到半具體半抽象的橫式計算，再到抽象的豎式計算，尋找筆算乘法的意義建構(gòu)。但細(xì)細(xì)推敲，總覺得設(shè)計不夠深入，尤其是算法多樣化方面留下諸多遺憾。

再實(shí)踐

智慧的秘密可能恰恰在各要素之間關(guān)系的那種妙不可言的契合。

——丁杭纓

帶著仔細(xì)斟酌過的教學(xué)預(yù)案，我躊躇滿志、懷著期待踏上講臺，又一次進(jìn)行數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的嘗試。

片斷B：再教《筆算乘法》（三年級下冊）。

師：你是怎樣計算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的？

①24×2=48 24×10=240 240+48=288

②24×2×6=288 ③24×3×4=288

④12×3×8=288 ⑤12×4×6=288

⑥豎式計算（同第一次教學(xué)）

師：這么多的方法，其實(shí)有共同點(diǎn)，就是把新知識轉(zhuǎn)化為舊知識解決，這就是化歸思想方法。下面來找找豎式計算與橫式計算的聯(lián)系點(diǎn)。（溝通豎式、橫式與實(shí)物圖之間的聯(lián)系）

生：我的豎式怎么與橫式?jīng)]什么聯(lián)系？

我仔細(xì)看該生的解題過程，發(fā)現(xiàn)他的方法非常別具一格。為了讓其他同學(xué)理解方便，我做了如下板書。）

師：誰能理解他的意思？（48不是2×24的結(jié)果）

生：他先算4個12是48，再算20個12是240，加起來還是288。

師：能找到它的橫式嗎？

生：不能。

師：真是與眾不同，你解釋得更好。其實(shí)我們做筆算乘法時一般是由下往上乘。能聯(lián)系實(shí)際說說它具體的意義嗎？

又一次引領(lǐng)學(xué)生踏上了數(shù)學(xué)化的“旅程”，與上次相比，這次賦予數(shù)學(xué)化的內(nèi)涵更加豐富，思想更加深刻。從具體的生活化購書情境，引發(fā)出多種解決新問題的途徑，就是利用化歸思想方法將問題解決，然后實(shí)現(xiàn)橫式與豎式一一對應(yīng)，再去尋找生活中的原型，進(jìn)而完成數(shù)學(xué)化的全過程。課堂有精心預(yù)設(shè)，又有有效生成，尤其是那位學(xué)生“與眾不同”的豎式計算，從另一個角度溝通了橫式、豎式與現(xiàn)實(shí)原型的聯(lián)系，為數(shù)學(xué)化注入豐富內(nèi)涵！

再思索

學(xué)生與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，還不如說是學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)化”。

——弗賴登塔爾

由當(dāng)初的一種想法刺激著我躍躍欲試，兩次的實(shí)踐之后我又想去尋找理論的支撐，希望獲得更大的認(rèn)可。我的教學(xué)實(shí)踐不正切合弗賴登塔爾的巨著《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中關(guān)于數(shù)學(xué)化的詮釋嗎？我細(xì)細(xì)琢磨，搭建“腳手架”，引領(lǐng)學(xué)生完成數(shù)學(xué)化，找到了以下三個聯(lián)接點(diǎn)。

一、數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)的聯(lián)接點(diǎn)——找準(zhǔn)現(xiàn)實(shí)原型

數(shù)學(xué)課堂是理性的，那是我們數(shù)學(xué)課程自身注定的。小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)卻是感性的，那是小學(xué)生自身的思維特點(diǎn)決定的。如果將理性的數(shù)學(xué)知識和學(xué)生感性的現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)巧妙結(jié)合，借助已有現(xiàn)實(shí)原型這個“拐杖”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也就會變得事半功倍。

“筆算乘法”是理性的，但是孩子們計算24乘12時卻聯(lián)想到了現(xiàn)實(shí)的原型，又用感性的經(jīng)驗(yàn)解釋了理性的數(shù)學(xué)。同理，“有余數(shù)除法”找到了“動手搭小棒”的現(xiàn)實(shí)原型，“千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”找到“大屏幕上的596塊積木”這個現(xiàn)實(shí)原型。正是因?yàn)檎覝?zhǔn)了數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)原型，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才會變得水到渠成。

二、抽象和直觀的聯(lián)接點(diǎn)——搭建提升階梯

數(shù)學(xué)是抽象的，但是小學(xué)生更喜歡直觀的數(shù)學(xué)。因此溝通直觀模型和抽象數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系就成為教師關(guān)注的重點(diǎn)。“筆算乘法”中豎式計算利用聯(lián)想到的購書情境，“有余數(shù)的除法”中憑借腦中搭正方形的表象操作，“千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”中借助計數(shù)器上所撥的半具體半抽象的596，這些都是找到了表象這個載體，搭建了學(xué)生數(shù)學(xué)思維提升的階梯。

三、新知和舊知的聯(lián)接點(diǎn)——激活新知生長

數(shù)學(xué)知識是需要生長支點(diǎn)的，否則數(shù)學(xué)知識就成為無源之水、無本之木。在教學(xué)中，教師應(yīng)在數(shù)學(xué)新知和舊知間架起一座溝通的橋梁，讓學(xué)生從已有的知識順利遷移到新知識，激活新知的生長點(diǎn)，打通知識生長的脈絡(luò)。

筆算乘法是找到對應(yīng)的橫式口算這個生長點(diǎn)，有余數(shù)的除法找到了無余數(shù)除法的生長點(diǎn)，千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識找到了百以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識的生長點(diǎn)。這正是利用已有的知識經(jīng)驗(yàn)，順勢遷移到新知識的同化教學(xué)。

由此可見，搭建“腳手架”更好地實(shí)現(xiàn)了學(xué)生的“數(shù)學(xué)化”，很好地幫助學(xué)生找尋數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)的聯(lián)接點(diǎn)、抽象和直觀的聯(lián)接點(diǎn)、新知和舊知的聯(lián)接點(diǎn)，同時使教師實(shí)現(xiàn)了深入淺出地教數(shù)學(xué)。