數軸在小學數學中的應用和思考

學生在小學數學學習中，并沒有從完整意義上認識數軸，但數軸的思想和應用滲透在小學數學的諸多教學環節中。學生可能不知道數軸的準確含義，但他們能夠看懂數軸，甚至用好數軸。下面，本文試圖對小學數學中數軸的主要應用作一梳理和探討。

一、數軸是認數的直觀工具

數學是研究數和形的科學，“數形結合”是數學的重要思想方法。讓學生在數軸上填數，是教材中第一次出現數軸，在學生接觸了“數尺”后，數軸實現了數與形的第一次“聯姻”。它比直尺上的數更抽象，其目的是幫助學生認識數的順序，初步感知數的排列是有規律和有方向的，讓學生對數序形成較淺顯的感性認識。在后來的小學階段教學中，不斷借助數軸幫助學生直觀認識自然數、分數、小數、負數、百分數等，使學生逐步認識到所有的有理數都可以用數軸上的點表示，數與數軸上的點形成一一對應關系。數軸上的點表示的數，右邊的數總比左邊的數大。借助數軸幫助認數，便于引導學生發現數和數之間的內在關系。

二、數軸是數的大小比較的直接方式

借助數軸比較數的大小，直觀呈現的同時便于學生總結出比較數的大小的方法。數軸上從左到右各點表示的數，形成由小到大的數列，即右邊的數總比左邊的大。正數都在0的右邊，負數都在0的左邊，向左越來越小，向右越來越大。學生在數軸上很容易看到“數量級”，會明顯看到所有的兩位數都在一位數的右邊，借助數軸上自然“綁定”的數序，在找到數的相應位置之時，也就比較出了數的大小。認識小數時，純小數在數軸上的對應點總是在0與1之間，這些小數都比0大而比1小。借助數軸，不僅能夠準確地判斷數的大小關系，“大多少”“小多少”也能夠被學生直觀地感受到，這也是數感建立的重要過程。因此，要比較數的大小，只要把它們表示在同一條數軸上，大小也就一目了然了。

三、數軸是理解運算的形象載體

數軸不但將抽象的“數”直觀形象化，而且也有助于理解運算，將運算直觀形象化。如加法就是在數軸上先找到一個加數，再繼續向右數。乘法就是在數軸上從0開始幾個幾個地向右數，數到幾，積就是幾。當學生擁有在數軸上進行加法的“跳躍”經驗后，在數軸上進行乘法計算時，這種連續的“等距離跳躍”（如下圖），既可以幫助學生進一步理解相同加數連加的乘法本質，使學生清楚地認識乘法口訣中每個乘積的來源，理解相鄰兩個積之間等差的關系，又有助于學生初步感知數列的規律。

減法就是在數軸上先找到被減數，再繼續向左數。除法就是在數軸上先找到被除數，然后幾個幾個地向左數，如果恰好數到0結束，表示能整除，數了幾次，商就是幾；如果沒有恰好數到0，表示不能整除，產生了余數。如下圖：

借助數軸幫助學生理解運算，學生需要將計數與圖像聯系起來。如“加一個”就是與數序中的后一個數相關聯，在數軸上表現為向右數或向右移動；“減一個”則是與數序中的前一個數相關聯，在數軸上表現為向左數或向左移動。這種在數軸上的移動表征，為以計數為基礎的計算策略提供了心理意象。

四、數軸是認識時間的輔助平臺

學生對時間的認識和理解需要相當長的過程，在這個學習過程中，學生既需要積累豐富的感知經驗，也需要教師用直觀的手段給予輔助。當用數軸來對應和表現時間軸時，“時刻”就是數軸上的點，“時間”就是兩個時刻點之間的距離，“時刻”和“時間”這兩個概念的聯系與區別借助數軸就直觀地呈現出來了。兩個時刻之間相隔時間的計算，就是數軸上右邊點對應的時刻減去左邊點對應的時刻。數軸上的每個時刻，都能夠作為學生對時間進行比較和計算的標準或參照，使得復雜的關系變得簡單明了。

如學習“24時計時法”時，為了讓學生清晰地理解時間的周期性，可以把12時或24時作為一個新的單位長度在數軸上呈現出來，借助數軸幫助學生認識12時計時法與24時計時法的特征，并聯系生活實際，引導學生體驗12時計時法與24時計時法的相互轉換，使抽象的概念變得具體而形象。

五、數軸是平面結構化的組成元素

小學數學教材“確定位置”中導入了平面直角坐標系的原型，而平面直角坐標系是由平面內兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成的。在小學數學學習中，平面直角坐標系是對數軸應用的提升。

“確定位置”包含了三方面的內容，即“用方向和距離確定位置”“用數對確定位置”“用平面圖描述線路和位置”，實施分散式教學。其實，教材中的直角坐標系還不是嚴謹意義上的平面直角坐標系。如在“用方向和距離確定位置”教學中，兩個原點重合的數軸（直線）垂直相交，便成了直角坐標系，沒有規定正方向，也沒有單位長度，只是根據需要，標出了地圖上的方向。學習“用數對確定位置”時，將平面圖抽象成直角坐標系，建立數對與平面上點之間的一一對應關系，用一對有順序的數唯一地確定平面上的一個點。有了直角坐標系后，數與形再一次結合，整個平面就結構化了。

此外，學習“正比例和反比例”時，把具有正、反比例關系的兩個量在直角坐標系中描述出來，借助具體的圖像，能直觀地感知兩個量的依存關系和變化狀態，便于學生深入地理解抽象的函數關系。