一道平凡而不平淡的高考題引發的思考

2012年6月7日晚上，老師們在辦公室里討論今年的高考數學卷，普遍認為浙江卷比較平常，直到一個老師提到他那參加高考的女兒說有幾道題雖然看起來很平常，實際上卻不好做，比如理科卷的17題.細細品味發現此題初看很平淡，實質卻內蘊豐富：知識縱橫交錯，數學思想運用靈活，只有達到對數學的本質理解才能做好.

一、試題再現

（2012浙江數學理科卷第17題）設a∈R，若x>0時均有[（a-1）x-1]（x-ax-1）≥0，則a=？搖 ？搖.

二、試題解答

圖一

思路一：令函數y=[（a-1）x-1]（x-ax-1）

①當a=1時，y=-（x-ax-1），顯然不合題意；

②當a≠1時，易知a>1，

由于[（a-1）x-1]（x-ax-1）=0的根有一個必為（>0），

又x-ax-1=0的△=a+4>0，

所以[（a-1）x-1]（x-ax-1）=0至少有兩個根，

結合y=[（a-1）x-1]（x-ax-1）的圖像（圖一），

∴必為x-ax-1=0（△=a+4>0）的根

∴a=.

思路二：原不等式等價于（a-1）x-1≤0x-ax-1≤0（A）或（a-1）x-1≥0x-ax-1≥0（B），

圖二

令函數y=（a-1）x-1，y=x-ax-1都過定點P（0，-1）.

考查函數y=（a-1）x-1：令y=0，得M（，0），

∵x趨向無窮大時y2必為正，要使yy≥0，

則x趨向無窮大時y1也為正，

∴a>1，

由（圖二）可得函數y=x-ax-1必過點M（，0），

代入得：（）--1=0，解得：a=，或a=0（舍去），

∴a=.

思路三：把a當做主元

[（a-1）x-1]（x-ax-1）≥0，即為[xa-x-1]（xa-x+1）≤0，

又方程[xa-x-1]（xa-x+1）=0的兩根為a=或a=，

∴[xa-x-1]（xa-x+1）≤0關于a的解必在、兩根之間.

因為本題為填空題且是求a的值，

所以a===.

思路四：[（a-1）x-1]（x-ax-1）≥0，即為[ax-x-1]（ax-x+1）≤0

圖三

令y=ax，y=x+1，y=x-1

∵x>0時均有[（a-1）x-1]（x-ax-1）≥0，

∴x>0時y=ax的圖像在y=x+1與y=x-1的圖像之間.

由圖三易知y=ax的圖像過y=x+1與y=x-1的交點，

∴a=.

思路五：特值法：因為x>0恒有[（a-1）x-1]（x-ax-1）≥0，

那么對特定的x（x>0）的值上述不等式必成立，

取x=2，得（2a-3）≤0，

∴a=.

三、教學反思

高考結束后，筆者對該題的解法做了相關調查，發現60%的同學想到用第一種思路即結合三次函數的圖像解題，但大部分同學只結合函數而沒有考慮對應的方程，加上考試時的時間因素和心理因素（看其是最后一道填空題）放棄了解答.而接下來幾種解法為什么沒有那么多學生做呢？筆者對高三數學教學進行了反省，發現還有不少地方值得改進.

1.過分強調“模式識別”，制約了學生思維的拓展.

“模式識別”對基礎題的作用是顯而易見的，所以大多數老師在高三解題教學中，往往強調“模式識別”.此題學生受挫，絕大多數就是吃虧在“模式識別”：不等式的恒成立問題轉化為最值問題求解，可此題的最值實在不好求，導致學生無法求解，又由于慣性思維而想不到其他解法.

2.忽視對知識發生發展過程的復習，制約了學生的數學理解.

思路一，學生知道應該利用函數和方程思想及數形結合思想，但為什么沒有想到要考慮對應的方程呢？又為什么沒有想到第二種解法呢？問題就在于高三數學教學實在太具有功利性了.回想高一教一元二次不等式的解法時，注重讓學生體驗結合一元二次函數和方程解一元二次不等式的過程，最后歸納解一元二次不等式的步驟.可高三時我們把不等式的解法放在一節課上，知識點的講解著重放在讓學生回顧各種不等式的解題步驟，比如一元二次不等式的解法：①二次項系數化為正；②能因式分解則因式分解，不能因式分解則計算△；③結合圖像寫出解集.而此解題步驟沒有讓學生充分體會到方程對解不等式的重要性.由于高三復習的高度總結性讓學生忽視了最原始的利用降維方法（蘊含化歸與轉化思想）把二次不等式化為兩個一元一次不等式組的解題方法，導致該題的解答過程中許多同學想不到用思路二進行解答.

3.知識復習與數學思想復習的割裂，制約了學生對思想方法的靈活應用.

縱看高三數學復習的安排，絕大多數分成三階段：一輪復習（知識為主），二輪復習（思想方法為主），三輪復習（解題與應試技巧為主）.而一輪復習往往要持續到當年高考3、4月份，思想方法和填空選擇的解題技巧的復習往往只用了幾節課，留給學生對思想方法與解題技巧的體會內化時間著實不多，況且由于教師的教學方式方法及學生對完備解答（許多學生在平時往往不喜歡用代入法、特值法等解題，覺得那不是真正會）的追求導致學生不善于從思想方法的高度尋找解題思路，就如同沒有大局上的戰略指導，把握不好某一場戰役的戰術選擇，由此大多數學生想不到思路三、四、五.

四、教學啟迪

這一道看似很平凡的題確實給一線教師指明了教學的方向：數學理解.

現代認知心理學研究表明，對于一些簡單的技能，重復訓練也許可以奏效，但對于較復雜的技能，特別是高級思維技能，則必須建立在理解的基礎上.[1]高考中綜合性問題、創新性問題或通俗說的“難題”實質上考的就是學生對數學本質的理解，這是無法通過重復訓練、記憶“數學模式”所能達到的.數學思想是對數學事實與數學知識的一種本質認識，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識之中，經過思維活動而產生的結果.因此，數學思想的理解在數學理解中處于主導地位，是數學學習的本質要求.在高三復習中，知識點的教學與數學思想方法的理解應雙線同時進行，融會貫通，讓學生從新課到高三復習經歷一個對數學知識、思想理解的螺旋式上升的過程.根據“超回歸”數學理解模型，數學理解的過程并非直線的，而要經歷一個多次重新回到內側水平的過程才能逐步達到高水平的理解[2].比如不等式解法中所蘊含的數學知識與思想，第一階段，高一學習解一元二次不等式時，學生對解不等式中蘊含的函數與方程思想、數形結合思想還只是初步的認識，可能還有點懵懂；第二階段，高二學習絕對值不等式的解法是再次認識；第三階段，導數的應用中不等式的恒成立問題、方程解的個數問題等是進一步認識；第四階段，高三對解不等式的總體復習再次讓學生體驗數學思想在解題思路挖掘過程的指導作用.總之，讓數學理解成為課堂教學的主旋律，讓學生有足夠的機會、時間一步步循序漸進地理解數學.

參考文獻：

[1]徐兆洋.數學理解型教學及其課例設計.數學通報，2012.1.

[2]李淑文，張同君.“超回歸”數學理解模型及其啟示.數學教育學報，2001.1.