《線性系統理論》研究生課程教改嘗試

摘 要： 針對高等院?？刂祁愌芯可n程《線性系統理論》的特點，遵循理論聯系實際，學以致用的指導原則，開展研究型教學改革的探索，首先加強課程基本概念的教學，有針對性地解決難點問題，然后根據學生和學校的行業特點探索教改方法，努力提高研究生培養的質量，在此基礎上，引入案例教學，培養學生的創新意識和分析能力。教學實踐表明，課程教改取得了明顯的效果。

關鍵詞： 《線性系統理論》 課程教改 基本概念 教學方法 實例教學

引言

目前，《線性系統理論》是國內“控制理論與控制工程”專業研究生階段的學位基礎課之一。國內許多院校為了加強對相關專業學生控制理論的強化，特別在本科階段開設了《現代控制理論》等課程，其主要內容與《線性系統理論》基本相同，只是學時較少而已。

從學科發展和課程建設的角度來看，《線性系統理論》類課程一直是電子信息類學科的核心基礎課程，占用的學時較多，教學的各個環節都受到廣泛重視，它也被看成是控制類研究生專業的標志性課程。因此，這門課程教學的效果將直接關系到相關專業的學科發展和研究生的培養質量，它在研究生培養中占有十分重要的地位。

從控制理論發展的角度來看，目前已經建立了完善的線性系統理論體系，包含能控性、能觀測性、線性系統穩定性和系統綜合等在內的系統分析綜合的理論方法，這些理論和方法也將為后續專業課程，如，最優控制、自適應控制和非線性系統等課程的學習奠定基礎。因此，《線性系統理論》課程的主要任務是通過對線性控制理論知識的講授和指導，奠定研究生的控制理論基礎，培養研究生對控制系統的初步分析和綜合能力，在此基礎上能夠掌握解決初步控制問題的基本方法，這對研究生的專業理論學習，專業素養的培養，以及工程實踐能力的提高具有十分重要的作用。

《線性系統理論》課程的主要特點是將實際系統抽象為狀態空間描述的數學模型，根據數學模型研究系統的各個方面，理論性強、內容豐富。由于課程概念抽象、數學知識比重大、涉及知識面廣、理論公式多、習題類型繁雜、計算難度較高，學生感到難學、枯燥，容易產生恐懼心理和厭學情緒，學習效果不理想，這將嚴重影響研究生的培養質量和學科的發展。

國內許多院校都對《線性系統理論》課程的教學十分重視，在注重精選教材和重視課堂教學的同時，還將《線性系統理論》列為研究生精品課程、重點課程或雙語課程進行建設。例如，早在20世紀90年代，清華大學的《線性系統理論》課程就被作為重點課程建設，2002年清華大學研究生精品課程建設工程正式啟動，自動化系的《線性系統理論》課程首先就被納入到精品課程建設項目中。此外，哈爾濱工業大學、北京航空航天學院、中國科技大學、上海交大和南京航空航天學院等許多高校都將“線性系統理論”列為研究生精品課程、重點課程或雙語課程進行建設。國外一些高校如美國南加州大學、匹斯堡大學和德克薩斯大學等除采用精品教材或自編教材外，還借用輔助教學手段提高教學質量，同時特別注重課程實踐和師生的互動增強教學效果，最重要的是教授們將自己的最新研究成果也在教學中充分展現出來，充分體現出研究型教學的特點。

我校開設的《線性系統理論》課程教學內容主要以線性系統的分析理論和綜合方法為主，課程教學團隊根據本學科發展的規劃目標，結合國內外相關學科的先進教學經驗和航運交通行業的科技發展，對該課程的教學內容、教學方法等進行了改革、探索和實踐，結合科研項目，在《線性系統理論》課程的理論學習、發展動態和實例教學等方面開展了研究型教學研究。

1.注重基本概念，突破難點內容

相較于本科階段講授的《自動控制原理》課程，《線性系統理論》提供了一種截然不同的控制系統分析和綜合的方法，課程具有較強的理論性和較完整的知識體系。在教學中，既要給學生建立完整的知識體系，加強基本概念學習，又要強調理論聯系實際，注重概念背景的理解和理論運用條件的掌握。

例如，在講解線性系統數學模型的時候，課程中介紹了一種將微分方程模型轉化為狀態空間模型的方法，當時并未說明為什么用這種方法選擇狀態變量，而且由于一些后續的概念還沒有引入，實際上也沒有辦法講清楚這樣選擇狀態變量的好處。但是在后來講解線性系統的能控性和能觀測性概念的時候，我們就及時地把前面講解的模型的變換方法與其能控性和能觀測性問題聯系起來，告訴同學們當時為什么要選擇那樣的狀態變量，而且這樣的模型變換不需要再討論其能控性或能觀測性的問題，使得同學們對于前后的概念有一個完整的理解，也搞清楚了什么樣的模型需要討論能控性和能觀測性的問題。

在系統穩定性理論的講授中，涉及許多穩定性概念和穩定性定理，理論性較強，例如，BIBO穩定、李亞普諾夫穩定、漸進穩定、一致漸進穩定、大范圍一致漸進穩定等，這些概念對于理解和運用李亞普諾夫穩定性理論十分重要，但是初學者容易混淆。我們就讓學生根據自己的理解對這些概念及條件進行歸納，然后在課上進行比較討論，最后我們再給出一個歸納各種穩定性概念的表格（見表1），讓同學們找出這些概念列表的異同和條件增減的關系。通過這種形式的教學，學生對于李亞普諾夫穩定性理論涉及的基本概念和定理有了較扎實和全面的掌握。

表1 課程涉及的各種穩定性概念的比較歸納

在李亞普諾夫穩定性理論中，系統運動的狀態是以系統儲能形態變化作為衡量準則的，這對于絕大多數物理系統都適用，這一點是比較形象和易于理解的，關鍵是建立系統儲能的數學描述，即選取合適的李亞普諾夫函數，迄今沒有普適的方法來建立系統的能量函數，這對于初學者來說又是一個難點。實際上對于低年級研究生短期內也不可能嫻熟地掌握各種選取李亞普諾夫函數的技巧。這時，我們根據科研工作的實際情況和經驗，將李亞普諾夫函數的選擇、控制器參數的設計和系統穩定性分析等幾個問題相結合進行案例教學，使學生了解李亞普諾夫理論的實際使用方法，加深了他們對這方面知識的理解，經過近年教學實踐對比，獲得了較好的反響。

2.關注學科發展，不斷改進教學方法

線性系統理論的發展目前已經比較成熟，《線性系統理論》課程主要是為研究生進行科學研究和工程實踐打下理論基礎。

目前，《線性系統理論》類課程已被國內外大學廣泛列為電子類專業、系統工程專業和控制專業高年級本科生和研究生的核心課程，由于它關系到學科的發展和研究生培養，課程的建設和教學方法的改革受到了普遍重視。在國外，《線性系統理論》課程在注重精選教材和重視課堂教學的同時，采取了研究型教學，借用輔助教學手段提高教學質量。

我們在不斷探討改進教學的同時，也在時刻關注相關學科發展和教學動態，不斷采納“他山之石”。

（1）建立完整教學體系，靈活運用不同教學方法。在控制理論發展的漫漫歷程中，線性系統理論只是其中的一個發展階段，然而對于研究生來說，這是一門全新的基礎知識，對于未來繼續學習后續課程是十分必要的。在學習過程中，不但要掌握知識難點和要點，而且要突出它在整個控制領域的地位和作用。對于《線性控制理論》課程本身，它也有著相對完整的知識體系，遵循循序漸進的規律展現課程的內容。因此，在課程教學中，我們非常注意把握這些內在的規律，幫助學生們理清楚點和面的關系，即始終把教學內容置于一個體系當中，始終讓學生搞清楚所學知識的運用條件及能夠解決的問題，即課程的知識體系定位。

在課程教學中，充分運用各種先進傳媒技術帶來的便利，例如，利用互聯網絡、數字校園平臺、多媒體教室等手段建立起交互式的教學環境，將多媒體課件講授、在線/離線答疑、專題討論、文獻閱讀、課后作業和課程考核評估等環節結合起來，構建多樣化的學習環境，適應當代青年學生的學習特點。

（2）結合最新科研教學成果，大力推進研究型教學。我們在《線性系統理論》課程教學中充分吸收國內外院校課程建設的有益經驗，結合海事院校的行業特點，利用多媒體手段，積極開展課內外的專題研討，推進研究型教學。比如，就線性系統理論的發展狀況、李亞普諾夫理論的應用情況、船舶港機的控制問題等內容，組織學生課外查閱文獻，編寫成電子講稿，然后通過教室的多媒體設備在課堂上分組講解討論，通過師生互動增強教學效果。

圖1 橋式吊車運動

另外，結合教師的科研課題，引入真實物理對象，開展研究型教學。例如，對于圖1所示的一種二維橋式吊車，在一定條件下簡化后的微分方程模型如下：

（M+m）x-mlθ-2mlθ+Dx=f■ml-mlθ■-mg=f■ml■θ+2mllθ-mxl=0（1）

可以選擇如下狀態變量：x■=x，x■=l，x■=θ，x■=x，x■=l，x■=θ，則上面微分方程就可以化為下面的狀態方程：

x■=x■x■=x■x■=x■x■=（f■-Dx■）/Mx■=g+x■x■■+f■/mx■=（f■-Dx■）/Mx■-2x■x■/x■（2）

在理解各個變量物理意義后，組織同學對上面兩種模型采用Matlab/Simulink進行仿真，通過仿真曲線的對比研究，深入了解兩種模型的建立方法、狀態變量選擇對模型的影響等，然后指導學生嘗試進行控制器設計和仿真。

（3）課外閱讀論文，關注科研動態。線性系統理論作為一種控制手段隨著時間的推移也在不斷地豐富完善，其中的一些基本方法也用于解決一些帶有大滯后、輸入受限、非線性特性系統的控制器設計問題。筆者在進行課外論文推薦的時候，結合自己所講授的自適應控制課程，著意向學生講解不同控制方法的發展情況、特點和應用條件，特別是將線性系統理論應用于不同的工業控制環境，解決了許多實際問題，以期引起學生的研究興趣和探索欲望。我們將這些有關線性系統理論最新發展和應用的論文精選出來，推薦給學生閱讀，并作為課程考核的一項內容，使他們注意了解相關學科的發展動態。

經過幾年的努力，理論教學與科研實際背景相結合的方法，取得了較好的效果，研究生普遍能夠較快地進入科研環節。

3.加強實例教學，使課程具體生動

我們在《線性系統理論》課程教學中，還特別注重理論聯系實際，通過具體的實例將抽象的概念、方法和理論具體化，同時培養學生的工程意識和動手能力。

（1）利用Matlab/Simulink工具提供的強大的功能，將計算機仿真手段引入課堂。除了在教學過程中提供計算機仿真案例外，還要求學生利用這些仿真工具完成1—2項課后作業，使這種仿真工具的使用成為教學輔助手段。

（2）開設橋式吊車控制開放性實驗課程，提高學生運用所學知識解決實際控制問題的能力。針對我們重點實驗室的一臺橋式吊車的控制實驗系統（如圖1），課程教學團隊首先給出了橋式吊車的微分方程模型，然后要求學生將其變為狀態方程，在此基礎上，設計一種控制器，利用李亞普諾夫方法分析穩定性，然后用Simulink完成計算機仿真研究，最后，選擇較好的控制方案進行物理實驗。通過這個過程，學生將學到的知識與解決實際的控制問題聯系了起來，增強了感性認識，提高了分析能力，更重要的是學會了解決控制問題的方法。

圖2 橋式吊車控制實驗系統

加強課程教學的實踐環節，有效地培養了研究生的動手能力。經過近年來的實踐發現，對課程實踐環節感興趣的學生人數普遍增加，并有效地激發出學生對控制理論方法進行嘗試的熱情，取得了較好的效果。

結語

本文首先探討了“線性控制理論”研究生課程的重要性和特點，分析了國內外大學相關專業對于該課程建設的不同情況，然后結合我們教學團隊的教學科研經驗對課程教學改革進行探索，重點探討研究型教學方法和內容，以期提高研究生培養的質量。經過近年來教學評估情況的統計對比，教改方法取得了較好的效果。

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