向量在中學數學中的應用

摘 要： 本文基于向量的基本理論與性質，主要介紹了向量在中學數學中的應用，并簡單分析了向量學習的誤區.

關鍵詞： 向量 數量積 平面幾何 立體幾何

高中數學中引進向量，給中學數學帶來了廣闊的天地，無論是在平面幾何﹑立體幾何﹑解析幾何﹑三角函數等方面都有著大大拓寬解題思路的重要作用.向量融“形”“數”于一體，既有代數的抽象性，又有幾何的直觀性，用它研究問題時可以實現形象思維與抽象思維的有機結合.毫不夸張地說，向量的數形遷移思想在中學數學中能得到很好的體現.本文整理了幾類向量在中學數學中的應用.

一、預備知識

1.平面向量的數量積

a·b=|a||b|cosθ（a≠0，b≠0，0°≤θ≤180°）

坐標運算：設a=（x，y），b=（x，y），則a·b=xx+yy.

2.平面向量的基本定理

如果e和e是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ、λ，使a=λe+λe.

3.兩個向量平行的充要條件

a∥b？圳a=λb

坐標運算：設a=（x，y），b=（x，y），則a∥b？圳xy-xy=0.

4.兩個非零向量垂直的充要條件

a⊥b？圳a·b=0

坐標運算：設a=（x，y），b=（x，y），則a⊥b？圳xx+yy=0.

二、向量應用的探究

1.利用向量解三角問題

例1：已知α，β∈（0，），且cosα+cosβ-cos（α+β）=，求α，β的值.

解：原條件式可化為

sinαsinβ+（1-cosα）cosβ+cosα-=0

構造向量={sinα，1-cosα}，={sinβ，cosβ}，

|·|=|cosα-|≤？圯（cosα-）≤0

？圯cosα=？圯α=

由α，β的對稱性知β=.

2.利用向量解不等式的問題

對于不等式問題的解決，有時如果我們利用常規的解法，往往很繁瑣.利用兩個向量的數量積的一個性質：·=||·||cosθ（其中θ為向量與的夾角），又-1≤cosθ≤1，則易得到以下推論：

（1）·≤||·||；

（2）|·|≤||·||；

（3）當與同向時，·=||·||，當與反向時，·=-||·

||；

（4）當與共線時，|·|=||·||.

下面利用這些性質和推論來看兩個例子.

例2：已知a和b為正數，求證：（a+b）（a+b）≥（a+b）.

證明：設=（a，b），=（a，b）

則·=a+b，||=，||=

由性質|·|≤||·||，得（a+b）（a+b）≥（a+b）.

說明：對于例1根式不等式我們通常采用兩邊平方的辦法，但這種辦法運算量大，容易出錯.而應用向量法解決不等式的問題，不僅避免了常規解法的不足，而且為解題帶來了新的思路.

3.利用向量求最值問題

最值問題是高中數學中的一個重要問題，在高考中它的考核主要體現在求實際問題，從文字表述上常常表現為“工程造價最低”，“利潤最大”或“面積（體積）最大（最小）”等諸多實際問題上.解決這些問題的辦法則是將其代數化，轉化為函數，再利用所學的方法如：換元法，不等式法等求解.下面將介紹利用向量方法解最值問題.

例3：已知m，n，x，y∈R，且m+n=a，x+y=b，求mx+ny的最大值.

解：設=（m，n），=（x，y），

則由向量積的坐標運算得·=mx+ny.

而||=，||=，

從而有mx+ny≤·.

當與同向時，mx+ny取最大值·=.

三、注意向量學習的幾個誤區

誤區一：“實數a﹑b﹑c由ab=ac，a≠0推出b=c”這一性質在向量推理中不正確.

例4：取||=1，||=，與的夾角為45°，||=，與的夾角為0°.

顯然 = =，但≠.

誤區二：“如果ab=0，那么a，b中至少有一個為零”在向量推理中不正確.

例5：已知||=2，||=3，與的夾角為90°，則有·=2×3×cos90°=0，

顯然≠，≠.

由·=0，可以推出以下四種可能：

①=，≠；

②≠，=；

③=，=；

④≠且≠，但⊥.

誤區三：乘法結合律（ab）·c=a·（bc）在向量推理中不成立.

例6：試說明（·）·=·（·）不成立.

解：因為在式中·是一個數量，由實數與向量的積的運算的定義，可知左邊表示的是與共線的向量，同理，右邊表示的是與共線的向量，而向量與一般是不共線的，故（·）·≠·（·）.

誤區四：平面幾何中的性質在向量中不一定成立.

例7：判斷下列各命題是否正確，并說明為什么？

①若∥，∥，則∥.

②若||=||，則=±.

③單位向量都相等.

解：①不正確，取=，則對兩不共線向量與，也有∥，∥，但不平行于.

②不正確，因為||=||只是說明這兩個向量的模相等，但方向未必相同.

③不正確，單位向量是模均是1，但對方向沒有要求.

綜上所述，我們發現向量集數與形于一體，溝通了代數、幾何與三角函數的聯系.利用向量的運算法則、數量積可解決長度、角度、垂直問題，應用實數與向量的積，則可以證明共線、平行等問題，以及它的巧妙應用.其中運用到的數形遷移思想，是重要的數學思想方法.在高中數學中引進向量，充分體現出新教材新思路﹑新方法的優越性，并且對于培養直覺思維﹑邏輯思維﹑運算求解等理性思維能力，具有重要意義.

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