一種遞推公式給出的數列的求解和變式

摘 要： 現在高考對遞推公式的考查，是一個熱點.本文通過對遞推公式的通項公式的求解，以及變式的求解，追根溯源，對同仁和廣大同學有借鑒意義.

關鍵詞： 遞推公式 數列求解 變式

例題：已知a=1，a=2a+1，求數列{a}的通項公式.

解法一：∵a=1，a=2a+1，∴a=3，a=7，a=15.

猜想：a=2-1

一、用數學歸納法來證明

①當n=1時，命題顯然成立.

②假設當n=k（k∈N*）時命題成立，即a=2-1，則a=2a+1=2（2-1）+1，∴a=2-1，即當n=k+1時命題也成立.

∴由①②可證得：a=2-1.

解法二：∵a=2a+1

∴a=2（a+1）

∵a=1

∴a+1=2

∴{a+1}是首項為2，公比為2的等比數列.

∴a+1=2×2，即a=2-1.

解法三：∵a=2a+1

∴a=2a+1

=2（2a+1）+1

=2a+2+1

=2a+2+1

……

=2a+2+2+…+2+1

∵a=1

∴a=2+2+2+…+2+1

∴a=2-1

這三種解法各有好處，其中解法一具有一般性，數列遞推公式的題目均可這樣求，關鍵是要具有高度的概括性.能將數列的通項公式猜想出來，再用數學歸納法證明.解法二對于這一類的數列題型具有一般性，而且解題是構造一個等比數列，解題較快，易于推廣.解法三稱為迭代法，通過遞推公式將a轉化為a的式子，再轉化為a的式子，看出規律再轉化為a的式子.關鍵是接下來能求和，將a表示出來.不具有一般性，主要是不一定能求和.

下面對解法二進行推廣：

例題：a的值已知，a=pa+q（p，q是常數），求數列{a}的通項公式.

解：（1）當p=1時，數列{a}是等差數列，a=a+q（n-1）.

（2）當p≠1時，構造數列{a+x}是等比數列，公比是p.

設a+x=p（a+x）即a=pa+（p-1）x

∵a=pa+q

∴（p-1）x=q，即x=

∴a+=p（a+）

∴{a+}是首項為a+，公比為p的等比數列

∴a+=（a+）p，即a=（a+）p-.

二、在應用題中的應用

例題：選菜問題：學校餐廳每天供應500名學生用餐，每星期一有A，B兩種菜可供選擇.調查資料表明，凡是在這星期一選A種菜的，下星期一會有20%改選B種菜；而選B種菜的，下星期一會有30%改選A種菜.用a，b分別表示在第n個星期一選A的人數和選B的人數，如果a=300，求a.

分析：題中出現a和b，可以想辦法找遞推關系式，還要注意a+b=500，得到a與a的遞推關系式，然后利用a=pa+q的解法求解即可.

解：a，b分別表示在第n個星期一選A的人數和選B的人數，則a，b分別表示在第n-1個星期一選A的人數和選B的人數.

那么a=（1-20%）a+30%b

∵a+b=500

∴a+b=500

∴a=（1-20%）a+30%（500-a）

=a+150

∴a-300=（a-300）

∵a=300

∴a-300=0

∴a-300=0即a=300

∴a=300

對解法二的變式：

例1：已知a=1，a=2a+3n-1，求數列{a}的通項公式.

分析：a=pa+q，q是常數時，構造數列{a+x}是等比數列；q是n的一次函數時，構造數列{a+xn+y}是等比數列.

解：設a+x（n+1）+y=2（a+xn+y）

可得a=2a+xn-x+y

∵a=2a+3n-1

∵-x+y=-1

x=3

∴y=2

∴{a+3n+2}是首項為6，公比為2的等比數列

∴a+3n+2=6×2即a=6×2-3n-2

注：a=pa+q，q是n的二次函數時，構造數列{a+xn+yn+z}是等比數列.

例2：已知a=1，a=3a+2，求數列{a}的通項公式.

分析：把a=3a+2中的2給去掉，可以等式兩邊同時除以2，得到=×+，令b=則b=b+，b=，然后利用a=pa+q求通項公式的方法.

解：∵a=3a+2等式兩邊同時除以2

∴=×+

令b=則b=b+

∵a=1

∴b=

∴b+1=（b+1），b+1=

∴b+1=×（）即b=（）-1

∵b=

∴a=3-2

推廣：已知a的值，a=pa+q（p，q是常數），求數列{a}的通項公式.

一般方法：a=pa+q等式兩邊同時除以q，得到=×+，令b=則b=b+，b=，然后利用a=pa+q求通項公式的方法.