2012年浙江省高考數學（文科）第22題解法探析

2012年浙江省高考數學（文科）試卷第22題：

如圖1，在直角坐標系xy中，點P（1，）到拋物線C：y=2px（p>0）的準線的距離為，點M（t，1）是C上的定點，A，B是C上的兩動點，且線段AB被直線OM平分.

（1）求p，t的值；

（2）求△ABP的面積的最大值.

圖1

本題突出考查了解析幾何中的直線與拋物線的位置關系、面積、點到直線的距離公式等主干知識，強化能力立意，加強了解析幾何與函數、方程、導數等相關知識的鏈接、滲透與融合.注重在知識網絡的交匯點處設計試題，在強調考查函數與方程思想、化歸與轉換思想，強調考查通性通法的同時，增加了運算處理能力的考查.

命題者提供的參考答案是：

解法一：

（1）由題意2pt=11+=得p=t=1

（2）設A（x，y），B（x，y），線段AB的中點Q（m，m），

由題意知，直線AB的斜率肯定存在，設直線AB的斜率為k（k≠0），

∵y=xy=x，∴（y-y）（y+y）=x-x，∴k·2m=1，∴k=.

∴直線AB的方程為y-m=（x-m），即x-2my-2m-m=0.

又x-2my+2m-m=0y=x，

∴y-2my+2m-m=0，且△=4m-4m>0，

y+y=2m，y·y=2m-m，

從而|AB|=|y-y|=·.

設點P到直線AB的距離為d=，

∴S=|AB|·d=|1-2（m-m）|.

由△=4m-4m>0，得0

令u=，u∈（0，]，∴S=u（1-2u）.

設S（u）=u（1-2u），（0

S′（u）=1-u，由S′（u）=0，得u=∈（0，]，

∴S（u）=S（）=.

故△ABP的面積最大值.

解法二：

（1）同解法一.

（2）設A（x，y），B（x，y），直線AB的方程為：x=ay+b（a≠0），

由y=x ①x=ay+b ②得y-ay-b=0.

∴y+y=a，y·y=-b，△=a+4b>0，

又∵線段AB被直線OM平分，∴AB的中點（，）在直線OM上.

∴a+2b=a即2b=-a+a，∴△=a-2a+2a>0，∴0

|AB|=|y-y|==·=·.

設點P到直線AB的距離為d==（0

∴S=[2-（-a+2a）].

令=u（0

S′（u）=-u，令S′（u）=0得u=∈（0，1]，

∴S（u）=S（）=，∴S的面積的最大值為.

解法三：

（1）同解法一.

（2）設A（x，y），B（x，y），因為直線的斜率肯定存在，

設直線AB的方程為：y=kx+b（k≠0），

由y=kx+b ①y=x ②得kx+（2kb-1）x+b=0，

∴x+x=-，∴x·x=.

△=（2kb-1）-4kb>0，即1-4kb>0，

又AB被直線OM平分，∴=，

得k=1-2kb，即b=，∴△=1-4k·>0，∴k>.

∴|AB|=|x-x|=

==.

點P到直線AB的距離d==.

∴S=|AB|·d=·=·（k+-1）=·=·=[1-（-）]

令=u（0

記S（u）=u（1-u），S′（u）=（1-u）=0得u=∈（0，1]，

∴S（u）=S（）=，故△ABP的面積最大值為.

另在解法三中，若由①得x=-代入②則類同解法二.

三種解法的繁與簡源于直線方程的不同設法：

解法一：直線AB與拋物線相交，且與線段AB的中點位置有關，故可用“點差法”屬通法；解法二：設直線AB方程為：x=ay+b（a≠0）好于方程組的整理，也屬通法.解法一、二在表示△ABP的面積分別為S=[1-2（m-m）]，S=[2-（-a+2a）]后，由此較容易想到換元法，再利用導數求最值從而簡化了運算.解法三中設直線AB方程為：y=kx+b（b≠0）更符合通法，但從S=（k+-1）化到S=×[1-（-）]，再用換元法求最值，在高考限定的時間里找到中間的過渡方法是極其困難的.若直接用導數求最大值，學生則會感覺無法進行下步的運算，因此在最通法中處理運算時要走獨木橋是此題的遺憾之處.理想的命題應當是：設直線AB方程為y=kx+b，面積的表達式出來后，用最通的“通法”導數求最值可解才是上上之作.

從本題三種不同解法中獲得對平時教學上的幾點啟示：

1.根據“題情”選“設法”.

解法一、二的設直線方程，是有“題情”為據的，它的解題過程更簡捷些.其實因題設條件不同，用不同的方法，各有長短，需要針對具體的情況選擇合理、簡捷、有效的解法.如果方法選擇不當，則往往會導致計算煩瑣，不僅不易得到正確的結果，反而會浪費寶貴的時間.

2.加強通性通法.

本題考查學生對“通法通性”的理解與掌握程度，以及數學素養，思維能力.如本題中：①利用拋物線的定義求出p，t；②對“線段AB被直線OM平分”這個條件作出合理的轉化；③直線方程的設法；④利用導數，換元法求面積的最值等都屬于通性通法.首都師范大學教授張飴慈說過：如果在學生學過用導數求最值的一般方法后，我們故意出一道用導數無法求解的題目，而用一種只對這一道題有用的方法來解，勢必引導教師在教學中，去找這樣的偏題怪題來做，而忽視了通性通法的學習.出這樣的題，只能讓學生都遠離數學，怕數學，甚至恨數學，應該反思.據此本題解法二若能設計成直接用導數可求得最大值更為理想.

因此教師在平時的授課時，更應注重通性通法，選擇典型例題，以此為載體對比辨析，滲透通法，注重學生總體與提煉，聚集基本思想方法靈活運用，提升學生的思維層次.

3.注重解題反思

著名教育家波利亞說：“沒有一道題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經過充分的探討，總結，總會有點滴的發現，總能改進這個解答，而且在任何情況下，我們都能提高自己對這個解答的理解水平.”他打比方說在你找到第一個蘑菇（我有了這個發現后）要環顧四周，因為它們總是成堆生長的.事實上本題三種解法中，用k==代入的面積表達式后，三者又是統一的，這不就說明了這一點嗎？同時，這也啟示教師在平時應注重解題反思，因為解題的反思，會給我們帶來意外的收獲，體驗探索成功的快樂，加深對知識的理解.

參考文獻：

[1]2012年普通高等學校招生統一考試試題、參考答案.浙江省教育考試院，2012.6.