從三角函數(shù)看高三數(shù)學的“二輪復習”

以“回歸教材掌握基礎知識，正確理解基本概念，深刻體會基本思想，靈活運用基本方法”為主旨的第一輪復習已經(jīng)結(jié)束，高三數(shù)學將進入第二輪復習階段.第二輪復習是由“量的積累”到“質(zhì)的飛躍”即“由厚到薄”的過程，是形成知識系統(tǒng)化、條理化，全面提升能力的關(guān)鍵時期，它承上啟下，其效果如何直接關(guān)系高考的成敗.現(xiàn)以三角函數(shù)為例，談談第二輪復習的基本方法.

一、明確復習重點

（一）要深入研究《考試說明》

數(shù)學高考對知識的要求由低到高分為“了解”、“理解”和“掌握”三個層次.《考試說明》指出：“對基本知識和基本技能的考查，既注意全面又突出重點，對支撐數(shù)學學科知識體系的主干知識，考查時保持較高的比例，并達到必要的深度.”通過對《考試說明》研究，三角恒等變換內(nèi)容已淡化，三角函數(shù)的類型也只是正弦、余弦、正切，而三角函數(shù)的圖像、倍角公式和正余弦定理依然是不變的重點，圖像可以適當關(guān)注對稱性和周期性.

（二）要深入分析歷年高考試題

1.新課標近五年高考理科三角函數(shù)試題分析：

2.新課標近五年高考文科三角函數(shù)試題分析：

通過分析，我們可以看出，三角函數(shù)題目大多以容易或中等難度的題為主，從題型設計來看，大致是2道小題1道大題（或3道小題）；從考查內(nèi)容來看，主要考查對三角函數(shù)有關(guān)概念、性質(zhì)的理解，對基本公式的運用.具體主要有三類：（1）三角式的化簡與求值；（2）三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像；（3）解三角形及其應用.值得指出的是，新課標卷17題多是以解三角形的實際應用出題，但綜合各省市試題來看，多以三角函數(shù)結(jié)合解三角形，可能還結(jié)合平面向量.解這類題目，要利用平面向量的運算，用三角公式將函數(shù)式化為標準形式：y=Asin（ωx+？準）+B，或y=Acos（ωx+？準）+B，然后結(jié)合正余弦定理做出解答.

所以，在二輪復習中我們既要加強對《考試說明》的學習，又要加強對高考試題的分析.《考試說明》是高考命題的依據(jù)，而高考試題是《考試說明》要求的具體化.

二、強化基礎知識

二輪復習要在形成知識體系上下工夫，注重知識的不斷深化，新知識應及時納入已有知識體系，關(guān)注知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，使模糊的清晰起來，缺失的填補起來，雜亂的條理起來.應構(gòu)建知識網(wǎng)絡，網(wǎng)絡應當是立體的、交叉的，單一的線狀連接難以適應變化.

高考數(shù)學歷來注重基礎知識和基本技能的考查，雖然高考數(shù)學試題不可能考查單純背誦、記憶的內(nèi)容，不會直接考查課本上的原題，但高考試題大多能在課本上找到它的“根”，不少高考題就是對課本原題的變型、改造及綜合.比如2009年新課標文理17題是解三角形的應用，為必修五1.2例2的變式，而2012年的17題更是課本常見的解三角形題型.雖然現(xiàn)在高考試題力求體現(xiàn)新課改理念，但不論怎么新，解題的數(shù)學模型仍要以課本上重點數(shù)學知識為基礎，所以夯實基礎仍是重中之重，扎實的數(shù)學基礎是成功解題、獲取高分的關(guān)鍵，要防止忽視基礎、專攻難題的不良傾向，真正做到：基本概念清晰明了，基本運算熟練正確，基本方法運用得當，書面表達規(guī)范準確.

三、提煉思想方法

怎樣有效提高學生的解題能力？現(xiàn)在提倡高效課堂，有些老師往往著眼于多舉例子，似乎學生做題越多越高效.我認為，不著重啟發(fā)學生思路、推進其思維過程的課堂就不是高效課堂.只有讓學生的“腦”和“手”都動起來，并使之在數(shù)學方法上有了突破，在數(shù)學思維能力上有了提升，才能稱為高效.可以說，“知識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學素質(zhì)的核心就是加強學生對數(shù)學思想方法的認識和運用，數(shù)學素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”.因此，在二輪復習時應對高中數(shù)學涉及的四種主要思想方法即“函數(shù)與方程”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”、“等價轉(zhuǎn)化”進行專題研究，并在解題活動中注意提煉，而這些思想方法在各內(nèi)容中側(cè)重點各有不同.比如三角函數(shù)中公式及性質(zhì)之類的內(nèi)容較多，“等價轉(zhuǎn)化”和“數(shù)形結(jié)合”的思想在三角函數(shù)這章中貫穿始終.

例如：若動直線x=a與函數(shù)f（x）=sinx和g（x）=cosx的圖像分別交于M、N兩點，則|MN|的最大值為（ B ）

A.1 B. C. D.2

分析：|MN|=|sina-cosa|=| sin（a- ）|= |sin（a- ）|≤ ，將兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求解，而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的過程則運用了差角正弦公式的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想.

四、加強專題訓練

高考命題強調(diào)全面考查考生的數(shù)學能力.在二輪復習中我主張將歷年高考試題按內(nèi)容分類，經(jīng)過篩選組成專題讓學生練習.但選題時做到既要縱選，又要橫選.例如，我在編三角函數(shù)資料時，除了把本省近五年高考三角函數(shù)試題編出來給學生練習外，還選一些外省的比較新穎的試題讓學生練習.例如：（2010年重慶卷文15）如題（15）圖，圖中的實線是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲線C，各段弧所在的圓經(jīng)過同一點P（點P不在C上）且半徑相等.設第i段弧所對的圓心角為α =（i=1，2，3），則cos cos -sin sin = .

通過專題訓練，使學生學會綜合運用所學數(shù)學知識、思想和方法對新的信息、情境和設問進行分析與加工，獨立思考，研究探索，解決問題，增強實踐能力和創(chuàng)新意識.有利于學生了解認識新形勢下高考試題，適應高考新要求.

五、注重引導學生進行總結(jié)與反思

每次考試或練習，教師講評后要引導學生及時總結(jié)反思，總結(jié)試卷中試題涉及的知識點，采用了哪些解題方法，反思自己錯誤的原因，要把當時解題思路的誤區(qū)進行剖析，并補充好的解法.

例如：已知α∈（0，π），sinα+cosα= ，求tanα的值.

【錯點分析】本題利用平方關(guān)系求出sinα-cosα的值，再通過解方程組的方法可解得sinα、cosα的值.但在解題過程中忽視了sinαcosα<0這個隱含條件來確定角α范圍，主觀認為sinα-cosα的值可正可負從而造成增解.

平時做練習題時，我都要求學生把選擇題和填空題的主要過程寫在試卷上，一是節(jié)省草稿紙，高考只一張草稿紙，養(yǎng)成只用一張草稿紙的習慣；二是等以后復習時能知道當時自己的思路誤區(qū)在哪里，讓學生養(yǎng)成整理“錯題集”的習慣.只有這樣不斷地反思，才能真正做到：退一步——觸發(fā)靈感，進一步——認清本質(zhì)，串一串——融會貫通，議一議——豁然開朗，從而提高練習的實效.

總之，二輪復習絕不是一輪復習的翻版，要將重點放在指導學生“做真題、練真功”上，指導學生全面整理、提煉已有知識并創(chuàng)造性地運用到新問題和新情景中去.如此，方能真正實現(xiàn)“知識的深化”和“能力的活化”.