淺談APOS理論指導(dǎo)下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)一例

[摘 要] 蘇教版“圓與圓的位置關(guān)系”這一課，不僅有基本的概念認(rèn)知，而且對(duì)圓與圓的內(nèi)涵有更深層次的認(rèn)識(shí)，是一個(gè)不斷形式化的過(guò)程，筆者現(xiàn)采用APOS教育理論，對(duì)這一課進(jìn)行整合，與大家交流.

[關(guān)鍵詞] APOS教育理論；圓與圓的位置；初中數(shù)學(xué)

APOS理論是近年由美國(guó)學(xué)者杜賓斯基首先提出的，APOS的全稱是actions（操作活動(dòng)），processes（建構(gòu)過(guò)程），object（對(duì)象階段）和schemas（圖式架構(gòu)）. APOS理論創(chuàng)設(shè)之初，主要是對(duì)概念性知識(shí)的活動(dòng)、過(guò)程及建構(gòu). 筆者學(xué)習(xí)這一理論知識(shí)不久，也有幸聆聽一些運(yùn)用該理念的公開課（主要是概念課），收獲很大. 近年來(lái)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，筆者一直試想能否把APOS理論運(yùn)用在初中概念課或復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，通過(guò)教師指導(dǎo)下的actions，processes，object和schemas，讓學(xué)生充分把握概念的外延與內(nèi)涵或解決問題的方法，通過(guò)自身的建構(gòu)了解概念學(xué)習(xí)的過(guò)程和結(jié)果. 筆者親身實(shí)踐了對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行APOS理論指導(dǎo)下的教學(xué)，現(xiàn)將實(shí)踐過(guò)程記錄下來(lái)，與讀者分享，不足之處懇請(qǐng)大家指正.

筆者采用APOS理論指導(dǎo)下的課程為蘇教版“圓與圓的位置關(guān)系”.

復(fù)習(xí)引入（溫故知新）

師：同學(xué)們，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有幾種？請(qǐng)大家看圖1，設(shè)⊙O的半徑為r，那么……

生：因?yàn)镺Ar，所以點(diǎn)C在圓外.

師：那么直線和圓的位置關(guān)系又怎么樣呢？請(qǐng)大家看圖2～圖4，設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離d，那么……

生：圖2中，因?yàn)閐>r，所以直線l與⊙O的位置關(guān)系是相離；圖3中，因?yàn)閐=r，所以直線l與⊙O的位置關(guān)系是相切；圖4中，因?yàn)閐

actions（操作活動(dòng)）

準(zhǔn)備教具：圓規(guī)、直尺.

師：看圖5，給出線段AB=4，現(xiàn)在以點(diǎn)A為圓心、1為半徑畫圓；又以點(diǎn)B為圓心、2為半徑畫圓. 請(qǐng)問，這兩個(gè)圓有公共點(diǎn)嗎？公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是多少個(gè)？

生1（動(dòng)手嘗試）：我發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn).

師：很好！通過(guò)大家的親自嘗試，發(fā)現(xiàn)了圖5中的兩個(gè)圓是沒有公共點(diǎn)的，現(xiàn)在我改變兩圓半徑的數(shù)據(jù)，請(qǐng)看圖6，以點(diǎn)A為圓心、3為半徑畫圓，又以點(diǎn)B為圓心、1為半徑畫圓. 圖形有什么變化？請(qǐng)大家再嘗試.

生2（程度較差）：我用圓規(guī)畫好了，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圓有一個(gè)公共點(diǎn).

師：很好！同學(xué)們發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)圓有一個(gè)公共點(diǎn). 現(xiàn)在請(qǐng)問大家，你能不能向老師一樣，通過(guò)改變兩圓半徑的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圓之間更多的類似結(jié)論呢？（積極參與）

生3（數(shù)分鐘）：這是我編的一個(gè)問題，如圖7，給出AB = 3，現(xiàn)以點(diǎn)A為圓心、5為半徑畫圓，又以點(diǎn)B為圓心、2為半徑畫圓. 請(qǐng)問大家，這時(shí)兩圓有多少個(gè)公共點(diǎn)呢？（笑）（主動(dòng)建構(gòu)）

生4：這兩個(gè)圓有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1個(gè)！我也發(fā)現(xiàn)了一個(gè)結(jié)論，如圖8所示，給出線段AB=4，現(xiàn)在以點(diǎn)A為圓心、3為半徑畫圓，又以點(diǎn)B為圓心、2為半徑畫圓. 這時(shí)兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，好像是公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多的一種情況！

師：很好，還有嗎？

生5：如圖9所示，我發(fā)現(xiàn)，給出AB=3，現(xiàn)在以點(diǎn)A為圓心、5為半徑畫圓，又以點(diǎn)B為圓心、1為半徑畫圓，此時(shí)兩圓沒有公共點(diǎn).

師：很好！還有公共點(diǎn)個(gè)數(shù)不同的情況嗎？

生：沒有了.

師：同學(xué)們通過(guò)自己的努力，發(fā)現(xiàn)了兩圓公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的所有情形，那么五種上述情形是不是唯一確定的呢？請(qǐng)同學(xué)們?cè)佼嬕划嫛⑾胍幌?

processes（建構(gòu)過(guò)程）

教師多次請(qǐng)學(xué)生進(jìn)行板演，在黑板上畫出兩個(gè)大小不同的圓，滿足下列條件：（教師請(qǐng)的學(xué)生，程度要有所區(qū)分，盡可能多地讓學(xué)生參與主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程）

（1）兩圓無(wú)公共點(diǎn)；（2）兩圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）兩圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).

師：同學(xué)們，我們把上述情形進(jìn)行總結(jié)：

生：我明白了，圓和圓的位置關(guān)系總共是3大類5小類，與直線和圓的位置關(guān)系有些相似.

（1）請(qǐng)分別作出∠A與∠B的角平分線，記△ABC的內(nèi)心為O；

（2）過(guò)內(nèi)心作OD垂直AC于點(diǎn)D；記以點(diǎn)A為圓心、AD長(zhǎng)為半徑的圓為圓1；

（3）過(guò)內(nèi)心作OE垂直BC于點(diǎn)E；記以點(diǎn)B為圓心、BE長(zhǎng)為半徑的圓為圓2；

（4）請(qǐng)問：⊙A與⊙B的位置關(guān)系是相離、相交還是相切？說(shuō)明理由.

（5）你能列舉判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系的重要理論依據(jù)嗎？

溫馨提示：（1）對(duì)于兩圓位置關(guān)系的操作，主要從感官認(rèn)識(shí)、感性材料出發(fā)，不要過(guò)多地做理論上的解釋（尤其是針對(duì)程度薄弱的后進(jìn)生）. 教師要多利用CAI（諸如幾何畫板等熟悉軟件）課件幫助初中生理解，教學(xué)中應(yīng)主要抓住從特殊到一般的規(guī)律、從感性到理性的認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行教學(xué)，教師的啟發(fā)式引導(dǎo)要合理，不宜過(guò)多地對(duì)兩圓位置關(guān)系進(jìn)行啟發(fā)，本課還可以利用適度啟發(fā)下的主動(dòng)探究培養(yǎng)初中生的動(dòng)手能力、主動(dòng)建構(gòu)能力.

（2）說(shuō)明一點(diǎn)，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)校學(xué)生的學(xué)情特點(diǎn)，判斷是否需要淡化圓心與切點(diǎn)共線這一結(jié)論（對(duì)程度較為一般的學(xué)生宜采取直觀處理的方式予以呈現(xiàn)）.

（3）教師布置鞏固性練習(xí)（本文省略，題目要更多關(guān)注知識(shí)對(duì)于學(xué)生的感受認(rèn)知，數(shù)量無(wú)需太多，主要目的是幫助學(xué)生在頭腦中產(chǎn)生“圖式”，運(yùn)用知識(shí)內(nèi)化、吸收后頭腦中的“圖式”反饋解決實(shí)際應(yīng)用問題）.

尾聲

筆者通過(guò)“圓與圓的位置關(guān)系”做了APOS理論指導(dǎo)下初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)踐，通過(guò)本次實(shí)踐，筆者總結(jié)了幾點(diǎn)感受：

（1）教師首先要精選課題，因?yàn)橛行┱n題不適宜采用APOS教育理論進(jìn)行探究實(shí)踐.

（2）APOS理論不僅可用于概念建構(gòu)、認(rèn)知、反思、再螺旋式上升，也可以用于更多的數(shù)學(xué)教學(xué). 教師要像文中的學(xué)生一樣，有創(chuàng)新，把理論拿來(lái)武裝自己，做最合適的教學(xué). 既要閱讀理論，也不要全迷信理論，要敢于在自己的教學(xué)實(shí)踐中實(shí)施符合本校特點(diǎn)的教學(xué).

（3）給學(xué)生一桶水，教師自己首先要有更多的水. 在APOS理論的學(xué)習(xí)實(shí)踐后，筆者深深感到自己知識(shí)的匱乏，要在以后的學(xué)習(xí)中不斷豐富理論知識(shí)，在教學(xué)實(shí)踐中摸索，爭(zhēng)取有更高的教學(xué)突破.