幾何直觀的形成途徑探究

[摘 要] 數學概念的形成與數學規律的得出離不開直觀，幾何直觀就是一種直覺思維的表現形式，是人們基于對幾何的理解形成的對幾何關系一種直接的認識. 在小學階段的數學學習中，幾何直觀的培養應當高度重視. 本文試以“圓柱和圓錐”的教學，來談談小學階段培養學生良好幾何直觀的想法與做法.

[關鍵詞] 小學數學；幾何直觀；途徑；探究

數學發展史告訴我們，數學概念的形成與數學規律的得出離不開直觀. 為大家所知道的，現在的義務教育數學課程標準也特別強調幾何直觀的教學. 那么，什么是直觀？什么是幾何直觀？幾何直觀又如何形成呢？根據目前已有的數學研究成果，目前比較一致的認識是，直觀是在不經過邏輯推理的情況下，根據人心中對事物（本文特指數學對象）的本質的一種直接判斷，以求得對事物現象和本質的一種認識. 著名數學家克萊因認為，數學直觀就是對數學概念和證明的直接把握. 而我們認為，幾何直觀就是一種直覺思維的表現形式，是人們基于對幾何的理解形成的對幾何關系一種直接的認識. 至于幾何直觀有什么作用，著名數學教育家弗萊登塔爾曾說，“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦. ”因此，從小學開始就加強幾何直觀的教學也是有必要的.

在學生的數學學習過程中，幾何直觀的作用往往體現在高中階段的學習上，但在小學階段的數學學習中，幾何直觀的培養也應當高度重視. 本文試以“圓柱和圓錐”的教學來談談小學階段培養學生良好幾何直觀的想法與做法.

基于幾何直觀視角的教學內容分析

“圓柱和圓錐”是江蘇教育出版社編寫的課標版小學數學教材六年級下冊的教學內容. 對此內容，一般情況下會確定這樣一些教學目標：讓學生在一定情境中理解圓柱和圓錐各部分的名稱，知道圓柱和圓錐的基本特征；讓學生在圓柱和圓錐的學習中理解其中的點、線、面、體關系；讓學生在本知識學習的過程中，形成合作學習的態度與能力，進一步感受數學學習的興趣. 我們認為這三個目標的確定合乎常規教學要求，但在幾何直觀視角下來看這些教學目標，我們認為有所不足，還必須加上重視幾何直觀的字樣.

我們先來分析教材：本節知識的教材設計延續了蘇教版教材的特色，依然是從一個例子作為引入，在提供了錐形屋頂房子、人造衛星等一系列物體的前提下，提出一系列的問題：上面哪些物體是圓柱體？你還能舉出其他的例子嗎？然后通過插圖提出的問題：“仔細觀察圓柱，你發現了什么”，以讓學生發現圓柱的特征. 我們細細地分析這一問題，似乎可以發現其中一個邏輯矛盾：教材先讓學生去判斷哪些形狀是圓柱，然后讓學生去發現圓柱的特征. 從一般邏輯上來看，如果不熟悉、不理解圓柱的特征，將難以判斷是不是圓柱. 但這種矛盾是不是真的矛盾呢？如果考慮到學生的生活經驗，我們發現這種矛盾其實并不是矛盾，而與幾何直觀有著密切的關系.

為什么教材先讓學生判斷哪些是圓柱呢？在筆者看來，那是因為絕大多數學生在生活經驗中已經有過接觸圓柱概念的機會，小至鉛筆，再至某些玻璃杯或水桶等，都是圓柱. 在生活中他們即使不知道圓柱有什么樣的特征，但也知道圓柱是一種什么樣的物體. 也就是說，學生的生活經驗可以讓學生在思維中形成關于圓柱特征的內隱性知識，這些內隱性知識在日常的學習中沒有運用的機會，自然也就沒有表達的機會，因此可謂是一種“已經意會但未能言傳”的知識. 但這并不妨礙學生運用這些內隱性知識去判斷什么樣的物體是圓柱形.

這種內隱性知識我們認為就是幾何直觀的一種基礎，只是這種基礎僅僅基于生活的淺層經驗，還需要經過嚴格的幾何知識的學習，才能升格成為更好的幾何直觀. 從這段論述來看，我們可以發現，教材所設計的問題順序是符合幾何直觀教學需要的.

更重要的是，我們繼續研讀教材就會發現，教材下面的設計非常符合幾何直觀教學的需要：如三幅圖中所提出的“圓柱上下是一樣粗的”“圓柱上下兩個面是完全相同的圓形”“圓柱有一個面是彎曲的”. 這三句話在實際教學中應當怎樣用呢？同理，在圓錐知識的學習中，“圓錐有一個頂點”“圓錐的底面是一個圓形”“圓錐的側面是一個曲面”等，又該怎樣實施教學，才能培養學生的幾何直觀呢？這是一個重大的問題.

基于幾何直觀視角的教學實踐思考

在本節知識的教學中，筆者重點對上面提出的問題進行了教學實踐. 先以“圓柱的特征”教學實踐為例進行分析.

上文已經提過，圓柱的三個特征如何被學生有效地習得，并且能生成良好的幾何直觀呢？筆者以為，此處要慎重地用好教材.

首先，盡量不要在本知識學習的過程中讓學生看到這幅圖以及其中的三個結論（平常學生翻書看到沒有太大的問題，只要不是預習性質的，他們就不會對圖中的文字感興趣），因為學生一旦知道結論，就會失去一個良好的探究機會. 在此基礎上，基于幾何直覺設計的探究式教學過程應當包括如下幾個方面.

首先，讓學生基于生活經驗去判斷哪些事物是圓柱體（可以幻燈片的方式呈現給學生，而不是讓學生看書）；在學生舉出生活中圓柱體例子的基礎上，教師把握學生初步的幾何直觀水平，即對圓柱認識的水平.

其次，向學生提出問題：圓柱體有哪些特征？在這個過程中，教師必須思考一個問題，即何為特征？特征就是一類物體區別于其他物體的方面，這種區別需要在比較中發現. 這也是筆者在上面提出的不能直接讓學生看出圓柱三個特征的原因，一旦學生發現了便沒有進行區別的機會了. 因此，此處教師的教學應當是讓學生充分地尋找、發現、比較圓柱與其他物體的不同. 具體教學中怎樣實現這種區別的探究過程呢？通過上面提出的問題，學生會考慮其有什么特征，這可以讓學生在對圓柱的觀察中逐步發現，其中最容易發現的是兩點：一是上下一樣粗，二是上下為兩個圓形（在與第一個發現結合以后，就會發現這兩個圓是一樣大的）. 在得到這個認識之后，教師要另外設計一個教學環節：如果上下不一樣粗，那出現在我們面前的是一種什么物體？這個時候學生就會開動腦筋進行思考，能力較強的會在大腦中構建出一個比較好的圓臺表象（盡管學生不知道這個物體叫圓臺），顯然，這個表象與圓柱不一樣.

那有沒有“上下一樣粗”但上下兩個面不都是圓形的情形呢？這顯然是不太可能的. 這種不可能依然需要學生通過思維加工來完成. 必要的時候也可以通過新手實踐去進行，比如讓學生用紙板去構建這樣的物體，而構建困難或構建出的結果與圓柱大相徑庭便表明了上述兩點確為圓柱的特征.

再次，探究圓柱的第三個特征. 根據我們的教學經驗，“圓柱有一個面是彎曲的”這一特征表面上看很容易為學生所理解，因為圓柱除了上下兩個面之外，就只有一個面了，從外形上看過去，其正是一個彎曲的面. 但這里如果深究，便會發現學生的理解可能會遇到另外一個問題：彎曲的面，學生能懂嗎？因為當一個面彎曲著呈現在學生面前時，學生可能知道它是彎曲的面，但離開了這個物體，他們便很難判斷出什么樣的面叫彎曲的面. 因此，在學生初步理解了這一特征之后，我們可以用幻燈片向學生呈現多種彎曲的面的情形，也可以讓學生把一個平面（白紙）改成曲面（彎曲變形），以豐富他們思維中彎曲的面的材料.

我們的教學實踐表明，經過了這樣的探究過程，學生會在獲得對圓柱特征認識的同時，還會對這些特征的得出過程有所認識，從而從過程與結果兩個層面加深學生對圓柱的認識. 同樣的教學過程還出現在圓錐的特征認識過程中，因而學生對圓柱與圓錐的認識過程就經過了必要的重復. 我們認為，這可以幫學生形成良好的幾何直觀.

基于幾何直觀視角的教學細節漫談

在本節知識的教學中，我們還設計了一些教學細節來幫助學生形成良好的幾何直觀，從后面的教學反饋來看，我們認為是有價值的. 比如在引入圓柱體時，即時生成這樣一個教學細節：拿起一本薄薄的書，使其封面繞裝訂處旋轉，讓學生想象封面轉動的三條邊構建出的物體的形狀. 這是一個需要學生想象的過程，這個過程雖然對于部分學生而言具有一定的困難，但他們可以在合作的過程中生成認識，當他們意識到生成的圖形就是一個圓柱時，他們的幾何直觀能力無形當中也就增強了. 同理，筆者還即時想出利用膠帶，使其一端固定于手中，另一端繞著固定點作一個圓錐運動，學生即能在思維中構建出圓錐的形象. 這樣的過程同樣增強了學生的幾何直觀.

有了這些細節，有了上面詳細的教學設計，既達成了本節的知識與技能目標，同時又以幾何直觀作為教學主線，以讓學生經歷一個有意義的學習過程. 總的來說，培養幾何直觀的實現之道，在于教師帶著這樣的意識去設計教學，去實施教學. 如是，幾何直觀可能成為現實！