反比例函數(shù)的知識構(gòu)建與數(shù)學(xué)價值發(fā)掘

[摘 要] 本文以反比例函數(shù)的教學(xué)為核心，詳細(xì)闡述了反比例函數(shù)的知識地位與數(shù)學(xué)價值、新知學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)策略，以及闡述了由此引發(fā)的思考.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；反比例函數(shù)；知識構(gòu)建；數(shù)學(xué)價值

反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)繼一次函數(shù)學(xué)習(xí)之后的另一重要函數(shù)，也是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中的一個難點. 根據(jù)我們的教學(xué)經(jīng)驗，學(xué)生在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)時，經(jīng)常會受一次函數(shù)學(xué)習(xí)的影響，產(chǎn)生一些負(fù)遷移，導(dǎo)致在反比例知識構(gòu)建過程中出現(xiàn)理解困難的情形. 更為重要的是，由于知識教學(xué)中出現(xiàn)的困難，我們教師往往在本知識的數(shù)學(xué)教育價值方面也有所忽略，這就導(dǎo)致本知識在知識構(gòu)建和價值發(fā)掘方面容易出現(xiàn)雙損失的情形. 考慮到這一點，筆者決定在這兩個方面進(jìn)行一些更深的挖掘，以讓本知識能夠在知識構(gòu)建和數(shù)學(xué)價值兩個方面綻放出更多的光彩.

反比例函數(shù)的知識地位與數(shù)學(xué)價值

反比例函數(shù)自身的知識結(jié)構(gòu)一般從四個方面進(jìn)行描述：一是尋找現(xiàn)實生活中的反比例函數(shù)原型；二是數(shù)學(xué)意義上的反比例函數(shù)概念；三是反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)；四是利用反比例函數(shù)的知識去解決實際生活中的問題. 這四個方面既是一種遞進(jìn)關(guān)系，也是一種互相影響的關(guān)系. 而從更為寬泛的角度來看，反比例函數(shù)知識放在一次函數(shù)的學(xué)習(xí)之后，還具有平面直角坐標(biāo)系的知識作為基礎(chǔ)，因此從知識銜接的角度來看，我們認(rèn)為本知識的教學(xué)應(yīng)重視與前面知識的聯(lián)系，在已有知識基礎(chǔ)上進(jìn)行提升. 根據(jù)一般經(jīng)驗，在本知識學(xué)習(xí)之前，我們應(yīng)做好知識上的鋪墊，即幫學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固函數(shù)、自變量、函數(shù)值、正比例函數(shù)、一次函數(shù)等知識；同時還要考慮為后面的二次函數(shù)、三角函數(shù)等埋下知識與方法的種子.

從數(shù)學(xué)價值的角度來看，反比例函數(shù)知識的教育價值在于，要繼續(xù)跟學(xué)生強(qiáng)化函數(shù)中的“變化與對應(yīng)”思想，讓學(xué)生通過反比例函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，去感受數(shù)學(xué)概念的得出過程. 如教師可以提供多種現(xiàn)實例子，讓學(xué)生抽象出反比例函數(shù)；并學(xué)會通過分析綜合、類比比較、抽象概括等方法，去體驗反比例函數(shù)的性質(zhì). 具體到教學(xué)細(xì)節(jié)當(dāng)中，還包括一種新的作圖方法，即描點法（在此之前，學(xué)生均通過兩點確定一條直線的方法去確定一次函數(shù)的圖象）和對稱法. 而在知識應(yīng)用的過程中，待定系數(shù)法則是已有方法的一種體驗的深化，可以讓學(xué)生進(jìn)一步感受這一方法的應(yīng)用價值. 在本知識的數(shù)學(xué)思想中，我們也注重其天然具有的承上啟下作用，尤其是本知識學(xué)習(xí)過程中形成的數(shù)學(xué)思維方法，對于后面二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，如概念形成、圖象獲得、性質(zhì)理解等具有重要作用.

當(dāng)然，在此我們也認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)價值是無法截然分開的，數(shù)學(xué)價值隱藏在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)中，因此本知識的學(xué)習(xí)以及后續(xù)初三階段的復(fù)習(xí)，我們都應(yīng)注意將數(shù)學(xué)思想滲透于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)當(dāng)中，具體見下面的闡述.

反比例函數(shù)的新知學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)策略

一個數(shù)學(xué)知識在初中教學(xué)中的重點出現(xiàn)一般有兩個機(jī)會，一是新知學(xué)習(xí)時，另一個就是在復(fù)習(xí)過程（這里的復(fù)習(xí)主要是指中考復(fù)習(xí)）中. 我們認(rèn)為，知識結(jié)構(gòu)的形成與完善，數(shù)學(xué)思想的體驗與領(lǐng)略，也是在這兩個過程當(dāng)中.

我們先來看看新知學(xué)習(xí)中的反比例函數(shù)教學(xué). 我們認(rèn)為教師在教的方面必須做到如下幾點.

1. 認(rèn)真選擇引入的素材，讓學(xué)生感覺反比例函數(shù)學(xué)習(xí)的必要性

教材上用的是鐵路上列車行駛時速度與時間的乘積為定值的例子引入本章學(xué)習(xí)，用了京滬鐵路列車先進(jìn)例、某住宅小區(qū)面積一定的矩形草坪長與寬的關(guān)系例、北京市總面積一定下人均占地與人口關(guān)系例，以讓學(xué)生分析后綜合出反比例函數(shù). 我們認(rèn)為這些例子選擇得比較好，好在正比例函數(shù)的關(guān)系清晰、學(xué)生容易看得懂. 但在實際教學(xué)中還是要注意例子的呈現(xiàn)順序，比如筆者在教學(xué)中首先呈現(xiàn)的就是第二個例子，因為這個例子學(xué)生最為熟悉（必要時還可以改成學(xué)校球場之類的素材，以讓學(xué)生消除非數(shù)學(xué)方面的干擾）.

2. 注意反比例函數(shù)概念的得出與理解

3. 引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識反比例函數(shù)解析式的外延

而在關(guān)注學(xué)生“學(xué)”的方面，也應(yīng)當(dāng)作如下的兩點努力：

其一，關(guān)注學(xué)生的知識基礎(chǔ). 反比例在整個函數(shù)知識系統(tǒng)中不是起步性質(zhì)的，而需前面的知識基礎(chǔ)作為支撐. 而從函數(shù)的角度來看，這與前面相應(yīng)知識的學(xué)習(xí)之間有時間間隔和知識間隔，因此，在學(xué)習(xí)本知識之前必須同學(xué)生復(fù)習(xí)相關(guān)的函數(shù)知識，并將那些知識盡量置于具體的問題情境中，這樣才能讓學(xué)生有比較深刻的印象，從而支撐起整個反比例函數(shù)知識的學(xué)習(xí).

其二，關(guān)注學(xué)生的知識建構(gòu)方式. 不同的學(xué)生由于知識基礎(chǔ)和建構(gòu)方式不同，往往對于教師的同一個講法，學(xué)生會有不同的理解，在這種情況下，為了保證學(xué)生對反比例函數(shù)概念、定義、解析式、條件等有符合數(shù)學(xué)意義的理解，教師在教學(xué)過程中必須關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，即時進(jìn)行口頭詢問、知識檢測等，以保證學(xué)生在新知學(xué)習(xí)過程中準(zhǔn)確把握.

而在本知識的中考復(fù)習(xí)中，我們認(rèn)為也必須從鞏固知識結(jié)構(gòu)和加深數(shù)學(xué)理解兩個方面進(jìn)行復(fù)習(xí). 其中，鞏固知識結(jié)構(gòu)是我們?nèi)粘＝虒W(xué)中比較重視的，此處就不哆嗦了，此處以“數(shù)形結(jié)合”為例，主要談?wù)剶?shù)學(xué)理解的加強(qiáng).

這是反比例函數(shù)復(fù)習(xí)中常用的經(jīng)典題目之一，通過這道題，可以幫助學(xué)生建立良好的數(shù)形結(jié)合意識，如果在實際教學(xué)中再輔以數(shù)學(xué)探究，如讓學(xué)生猜想、驗證等，則會收到很好的提升概念認(rèn)識、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思考的作用.

由此引發(fā)的思考

在我們的日常教學(xué)中，數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)教育的價值之間常常容易出現(xiàn)“兩張皮”的現(xiàn)象，即說起來時數(shù)學(xué)價值的地位基于數(shù)學(xué)知識卻高于數(shù)學(xué)知識，但做起來時我們幾乎所有的精力都集中在幫學(xué)生構(gòu)建知識、形成解題能力. 這種現(xiàn)象雖久為數(shù)學(xué)界有識之士所抨擊，卻沒有什么實質(zhì)性的改觀. 其中的原因大家都知道，自不必說. 然而對于我們普通數(shù)學(xué)教師而言，有一個重要的成長任務(wù)就是不能讓自己的職業(yè)生命完全浪費在這種低水平的數(shù)學(xué)教育中，因此，我們要努力有所突破，努力接觸數(shù)學(xué)教育的本質(zhì).

基于這樣的想法，我們提出要依托數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，同時滲透數(shù)學(xué)價值的發(fā)掘與教育. 對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，一個重要的策略就是在數(shù)學(xué)知識教學(xué)的過程中，努力落實知識教學(xué)的目標(biāo)，確保學(xué)生學(xué)得輕松、學(xué)得懂；然后在備課中、在教學(xué)中努力將自己所理解的數(shù)學(xué)思想傳遞給學(xué)生，以讓學(xué)生學(xué)得更智慧. 在本節(jié)反比例函數(shù)的教學(xué)中，我們的眼光跨越了八年級的新知學(xué)習(xí)與九年級的中考復(fù)習(xí)，在這兩個重要的時間段，我們既看重數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，也看重數(shù)學(xué)思想的發(fā)掘與提醒，學(xué)生收獲的除了應(yīng)試能力之外，還有對數(shù)學(xué)概念形成過程中分析與綜合的理解，對數(shù)形結(jié)合思想的理解. 我們認(rèn)為，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)才邁出了有意義的初中數(shù)學(xué)教學(xué)的第一步！