判斷向量組的線性相關(guān)性與無關(guān)性

摘 要： 行列式的值，矩陣的秩，齊次線性方程組的解，矩陣特征向量的性質(zhì)等可應(yīng)用于向量組線性相關(guān)性與無關(guān)性的判斷.本文總結(jié)了判斷向量組的線性相關(guān)性與無關(guān)性的六種方法.

關(guān)鍵詞： 向量組 線性相關(guān) 線性無關(guān)

向量組的線性相關(guān)性與無關(guān)性是線性代數(shù)中最為抽象的概念之一，是學(xué)習(xí)的難點.對于初學(xué)者來說，其定義難以理解，判別方法也難以掌握，下面就判別方法進行總結(jié).

1.利用已知結(jié)論法

直接利用以下的已知結(jié)論，只要進行簡單的觀察或運算，就能非常容易判斷向量組的線性相關(guān)性與無關(guān)性.

結(jié)論1：單個零向量線性相關(guān)，單個非零向量線性無關(guān).

結(jié)論2：若兩個向量對應(yīng)分量成比例，則必相關(guān)；若不成比例，則線性無關(guān)。

結(jié)論3：含零向量的向量組必線性相關(guān).

結(jié)論4：若存在一個部分向量組線性相關(guān)，則整個向量組線性相關(guān)；若整個向量組線性無關(guān)，則任意部分組線性無關(guān).

結(jié)論5：含有一個以上向量的向量組線性相關(guān)的充要條件是：其中至少有一個向量可以由其他向量線性表出.

結(jié)論6：若向量組線性無關(guān)，則對其中每個向量在相同位置任意增加多個分量后所得向量組仍線性無關(guān).

結(jié)論7：若向量組線性相關(guān)，則對其中每個向量在相同位置任意減少多個分量后所得向量組仍線性相關(guān).

結(jié)論8：若向量中向量的個數(shù)大于向量維數(shù)，則向量組必線性相關(guān).