恒成立問題的幾種常見解法

導數是研究函數的有力工具，函數與導數不僅是高中數學的核心內容，還是學習高等數學的基礎.函數的觀點及其思想方法貫穿于整個高中數學教學的全過程，最常見的是解含有參數的不等式恒成立問題.恒成立的不等式問題的綜合性較強，方法很獨特，學生初次接觸此類問題會感到很頭痛，甚至覺得無所適從.揭示本類題目內在規律，探討特有的解題方法很有現實意義.

對于含參變量的某些與函數、數列、方程和不等式有關的恒成立問題，如果能將變量分離出來，問題就會化難為易，化繁為簡，從而迎刃而解.現我就高中階段常見的一些問題做總結.

一、符合由淺入深的認識規律，區別對待各種題型是掌握恒成立問題的基礎.

含有參數的不等式問題中至少有兩個變量，將兩個變量分離，再通過求函數最值的方式解題，這是解答這類題目的最常用方法，稱為分離參數法.

二、夯實的基礎是靈活運用知識進行轉化的關鍵，為更進一步的應用提供保障.

轉化一：已知函數的定義域，求參數的范圍.

總結：上述經過轉化可以轉化為題型二或題型三解決.

三、重視綜合運用知識分析問題、解決問題和推理論證能力的培養，是解決數學問題的靈魂.

應用一：利用恒成立問題可以證明函數不等式.

解得x=1時取得最小值，

g（0）=0為最小值，∴原不等式成立.

當不等式不能用通常的比較法，特別是指數函數、對數函數和一些冪函數結合在一起的比較繁瑣的函數，可以聯想到這種方法.

總結：證明x∈D，f（x）>g（x）？圳F（x）=f（x）-g（x）在x∈D上的最小值大于0.

應用二：利用恒成立問題可以證明數列中的不等式.

例7：設函數f（x）的定義域為R，當x<0時，f（x）>1，且對任意的實數x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），

恒成立問題經常與函數、方程、數列、導數等相關知識結合，以各種形式出現，其解法多變，具有一定的技巧性，是學生復習的一個重點及難點，在此，給出這類題目的幾種常用解法和轉化方式，以期為高三學生提供一定的解題模型.