淺談與四邊形有關的動態問題

動態題是近年來中考的一種常見題型，各地中考越來越關注動態問題.動態問題在中考中大多以壓軸題出現，集代數、幾何、三角函數等知識于一體.綜合性、探究性較強，有助于培養學生的分析、綜合、探究、邏輯推理能力和知識的整合能力，所以也備受關注.動態圖一般指題目圖形中存在一個或多個動點、動線、動圖，它們在折線、射線或弧線上運動的一類開放性題目.有關動態問題的綜合題要特別關注運動與變化中的不變量不變關系或特殊關系，注重在圖形形狀或位置的變化過程中尋求函數與方程、函數與幾何、函數與解直角三角形的聯系.下面主要探討與四邊形有關的動態問題.

—、動點問題

動點問題主要有兩種題型：一是尋找滿足條件的點的位置；二是由動點問題探究題目中變化的量之間的關系.

例1：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，DC=5，BC=10，梯形的高為，動點從點出發沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動，設運動的時間為（秒），

圖1

（1）當MN//AB時，求t的值；

（2）試探究：t為何值時，△MNC為等腰三角形.

思路分析1：第一小題是求滿足條件的值，首先要注意審題，明確題目提供哪些變量、哪些不變量.通過分析動態條件和靜態條件之間的關系求解.所以當題中設定MN//AB時，其實是一個靜止問題.通過作輔助線腰的平行線便可將動態問題轉化成平行時候的靜態問題，于是由平行得到相似，列出比例式建立變量與不變量之間的關系，很快可以求出滿足條件的值.

解：（1）由題意知，當M、N運動到t秒時，如圖2，過D作DE//AB交BC于E點，則四邊形是平行四邊形.

圖2

∵AB//DE，AB//MN，

∴DE//MN.

∴=.

∴，解得t=.

思路分析2：由于我們平常見到的等腰三角形經常是MN=NC這種狀態.因此就漏掉了MN=MC，MC=CN這兩種情況.在中考中如果在動態問題當中出現等腰三角形，就一定不要忘記分類討論的思想，任意兩邊都可以當腰.具體分類以后，就成了較為簡單的解三角形問題，最后要提醒學生注意檢驗值是否符合題意.像這種題目一般先假設結論成立，再根據結論與已知條件進行合情推理，去偽存真，得到正確結論.

（2）分三種情況討論：

①當MN=NC時，如圖3，作MF⊥BC交于F，則有MC=2FC，易得10-2t=2×，解得t=.

圖3

②當MN=MC時，如圖4，過M作MH⊥CD于H，則CN=2CH，即t=2（10-2t）×，解得t=.

圖4

③當MC=CN時，10-2t=t，解得t=.

綜上所述，當t=、或時，△MNC為等腰三角形，

總結：例1中（2）小題由動點產生特殊三角形，此外，這種存在性問題還包括存在特殊四邊形、相似三角形、全等三角形、最值問題、對稱問題、距離之和最小問題等，這里就不一一介紹了.

二、動線問題

解動線問題時，也要特別關注運動與變化中的不變量，不變關系或特殊關系，綜合應用函數、方程、分類討論、數形結合等思想.

例2：如圖5，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，點B的坐標為（4，3）.平行于對角線AC的直線m從原點O出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設直線m與矩形OABC的兩邊分別交于點M、N，直線m運動的時間為t（秒）.

（1）點A的坐標是？搖？搖 ？搖，點B的坐標是？搖？搖 ？搖？搖；

（2）當t=？搖？搖 ？搖？搖秒時，MN=AC；

（3）設△OMN的面積為S，求S與t的函數關系式；

（4）探求（3）中得到的函數S有沒有最大值；若有，求最大值，若沒有，請說明理由.

思路分析：第二小題很多學生會很自然地認為MN與AC的位置關系只有題目提供的圖示情況，從而忽略了隱含的另一種情況而導致失分.第三小題以一條運動的直線為載體，以矩形為背景探究圖形面積的變化也要先確定分段點，分兩段尋求S與t的函數關系.

解：（1）（4，0）（0，3）

（2）2或6

（3）當0

由△OMN∽△OAC，得==，

∴ON=t，S=t.

當4

由△DAM∽△AOC，可得AM=（t-4），

∴S=△OND的面積-△OMD的面積

=t-t（t-4）=-t+3t.

（4）有最大值.理由：當0

在對稱軸直線t=0的右邊，S隨t的增大而增大，

∴當t=4時，S可取到最大值×4=6.

當4

綜上，當t=4時，S有最大值6.

三、動圖問題

動圖問題，經常以三角形或四邊形來創設情境，探索三角形或四邊形在運動變化過程中蘊含的規律或相關結論.

例3：如圖7，直線y=-x+4與兩坐標軸分別相交于A、B點，點M是線段AB上任意一點（A、B兩點除外），過M分別作MC⊥OA于點C，MD⊥OB于D.

（1）當點M在AB上運動時，四邊形OCMD的周長是否發生變化？并說明理由.

（2）當點M運動到什么位置時，四邊形OCMD的面積有最大值？最大值是多少？

（3）當四邊形OCMD為正方形時，將四邊形OCMD沿著x軸的正方向移動，設平移的距離為a（0

思路分析：本題中點M的位置改變，從而使四邊形OCMD的形狀一直在變，但是點M在第一象限，它到x軸和y軸的距離分別是它的縱、橫坐標，所以利用周長與面積公式很容易得出周長不變的結論和面積的最值.第三小題以三角形為背景，以運動的正方形為載體探究圖形面積的變化情況，也是分段函數.所以要先確定分段點，畫出每一段的某一時刻的圖形進行探究.

解：（1）設點M的橫坐標為x，則點M的縱坐標為-x+4（00，-x+4>0）.

則MC=|-x+4|=-x+4，MD=|x|=x，

∴C=2（MC+MD）=2（-x+4+x）=8.

∴當點M在AB上運動時，四邊形OCMD的周長不發生變化，總是等于8.

（2）根據題意得S=MC×MD=（-x+4）x=-x+4x=-（x-2）+4.

∴四邊形OCMD的面積是關于點M的橫坐標x（0

（3）如圖8，當0

如圖9，當2≤a<4時，S=（4-a）=（a-4）.

圖8 圖9

動態幾何問題往往作為壓軸題，這種題型靈活性大，綜合性強，一般思路如下。

第一，注意審題，結合圖形進行分析，要明確的是在變化過程中有哪些不變的量和變量，并對它們進行梳理，把一個個條件分離出來，將大問題化成若干個小問題去解決.針對運動的量，要掌握其運動的方式與形式.針對不動的量，要建立它們和動量之間的關系.

第二，確定臨界點，準確地對自變量進行分段，全方位考查導致圖形發生變化的各個時刻，畫出每一段某個瞬間的圖形.在各個靜態圖形中探索各個變量的關系.如果沒有靜止狀態，則可通過比例、相等關系等建立變量間的函數關系來研究.

第三，在做題過程中時刻注意是否需要分類討論，不同的情況下題目是否有不同的表現，很多同學失分是因為沒有討論，只是想當然地認為只有題目所給的那一種圖示形式，沒有挖掘出題目隱含的另一種情況.