微分中值定理及導數應用的教學思考

摘 要： 微分中值定理和導數應用是微積分課程的重要組成部分和微分學的核心內容之一，同時它也是微積分課程教學的重點和難點問題.本文就如何做好這部分的教學做了研究與探討.

關鍵詞： 微分中值定理 導數應用 微積分課程教學

微分中值定理和導數應用在微積分課程中具有重要的地位與作用.微分中值定理是聯系函數和導數的橋梁，它是導數應用的理論基礎和前提.導數應用是導數作用的具體體現，是利用導數解決實際問題和最優化理論應用的基礎.下面我就微分中值定理和導數應用的相關教學問題談談思考.

一、微分中值定理的教學思考

微分中值定理是這章的開頭部分，其作用和地位顯而易見.這部分教學主要講清以下兩個問題，第一個問題是要講清為什么要講這部分內容，也就是其重要性.從教材內容上看，前面我們已經講解了導數及微分，讓學生明白了導數及微分的重要性，但沒有講解究竟如何應用導數的問題，因此有必要進一步加強研究導數的應用，而微分中值定理是導數應用的理論支撐，它是后面研究函數的極限、單調性、凹凸性、最值等的基礎.從微積分產生的歷史來看，微積分的產生可以歸結為四大問題，其中之一為函數的最值問題，而解決函數最值問題的理論前提和基礎就是微分中值定理.第二個問題就是要講清羅爾定理、拉格朗日定理和柯西中值定理這三個定理內容及相互間的聯系.這三個定理在條件和結論上都有很大的相似性，它們之間有很密切的內在聯系.為了方便敘述，我們簡單地羅列一下內容.羅爾定理：如果函數f（x）滿足（1）在閉區間[a，b]上連續；（2）在開區間（a，b）內可導；（3）在區間端點處函數值相等，即f（a）=f（b），那么在（a，b）內至少有一點ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=0.拉格朗日定理：如果函數f（x）滿足（1）在閉區間[a，b]上連續；（2）在開區間（a，b）內可導，那么在（a，b）內至少有一點ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）.柯西中值定理：如果函數f（x）和F（x）滿足（1）在閉區間[a，b]上連續；（2）在開區間（a，b）內可導；（3）對任一x∈（a，b），F′（x）≠0，那么在（a，b）內至少有一點ξ∈（a，b），使得[f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]=f′（ξ）/F′（ξ）.從條件上看，三個定理都有閉區間[a，b]上連續和開區間（a，b）內可導的共性條件.從結論上來看，它們都是通過導數聯系函數增量與自變量的關系.那么條件和結論如何聯系的呢？我們可以按照如下方式進行分析.羅爾定理條件（1）表明f（x）對應的曲線在閉區間[a，b]上是不間斷的，條件（2）表明曲線在開區間（a，b）內光滑.條件（3）表明曲線在閉區間[a，b]上的平均變化率即[f（b）-f（a）]/（b-a）為0.結論表明f（x）對應的曲線在開區間（a，b）內有平行于兩端點連線的切線或者在某點的切線的斜率等于f（x）在閉區間[a，b]上的平均變化率為0.拉格朗日中值定理條件與羅爾定理條件（1）（2）一樣，結論表明f（x）對應的曲線在開區間（a，b）內有平行于兩端點連線的切線或者在某點的切線的斜率等于f（x）在閉區間[a，b]上的平均變化率為[f（b）-f（a）]/（b-a）.柯西中值定理與拉格朗日中值定理類似，只不過要通過其中兩個函數的關系看出參數方程的形式而已.從條件和結論可以看出三個定理的密切相關性，也可以從定理的證明看出它們之間的關系.在講條件和結論關系時，要注意強調條件是結論成立的必要條件而非充分條件.

二、導數應用的教學思考

導數應用的內容豐富，在這里我們主要講羅比達法則、函數的單調性、函數的極值及最值等方面.

1.關于羅比達法則教學方法方面.我們要強調極限未定式的類型判別和轉換方法，同時強調該法則不是萬能的和唯一的.極限未定式類型分為0/0，∞/∞，∞-∞，0·∞，1，∞，0等類型，其中0/0和∞/∞為基本類型，可以直接使用羅比達法則求極限，而其他幾種類型必須轉換為基本類型才能使用.其中∞-∞和0·∞類型既可以轉化為0/0型，又可以轉化成∞/∞型，這樣在計算極限時就要選擇轉化方向，其標準是通過求導后求極限變得更簡單，易求出結果.最后三種類型屬于冪指函數類型，該類型可以通過取對數或寫出指數函數形式轉化成基本類型.同時要強調的是用羅比達法則求極限的前提和條件，即使可以使用該法則求極限也不一定是最簡單的，只有和其他方法如等價無窮小替換法、四則運算求極限方法結合起來才能更有效地解決求極限的問題.

2.關于函數的單調性的教學.函數的單調性是函數的基本形態之一，也是學生比較熟悉的概念.在教學時，第一步，我們可以從高中簡單的例子著手，讓學生回顧相關的內容.第二步，設置一些復雜的例子，這些例子難以用高中的方法來解決，從而引出本節課的主題——用導數研究函數單調性.第三步，通過觀察函數單調性的圖形特征，結合導數的幾何意義，讓學生猜出判斷函數單調性的條件.第四步，通過單調性定義，聯系拉格朗日中值定理，給出嚴格證明.最后通過例題講解定理的應用，說明判斷函數單調性關鍵在于判斷函數導數的符號.同時強調，一階導數大于零（或小于零）只是函數單調增加（或減少）的充分而非必要條件.

3.關于函數的極值和最值的教學.函數的極值和最值是導數應用的最重要部分，它是利用導數解決實際問題的具體訓練，也是最優化理論的基礎.在概念引入時可以設計從回顧單調性的定理或例題出發引出單調增加區間和單調減少區間的分界點，從而引出極值點的概念，進一步可以引進最值的概念.從引入的例子進一步分析函數在何時達到極值，從引入例子的圖形很容易看出函數達到極值的條件，從而歸納出可導函數取得極值的必要和一階充分條件.由一階充分條件分析可以得出函數的二階充分條件，要注意的是二階充分條件是在駐點處的二階導數符號不等于0就可保證函數的極值性.由求極值的方法立即可得出求最值的方法，從而為導數解決實際問題提供方法.但在實際問題中函數f（x）往往不是現成的，需要通過分析實際問題，得出函數關系，進而轉化為最值問題，因此在課堂教學中要有意識地培養學生的數學建模意識，培養運用數學知識解決實際問題的能力.

參考文獻：

[1]同濟大學應用數學系.高等數學：上冊（6版）[M].北京：高等教學出版社.

[2]蕭樹鐵.微積分：上冊（1版）[M].北京：清華大學出版社.