平面向量數量積的運算

平面向量數量積是新課程中平面向量的重要內容，是高中數學三角函數、平面幾何、解析幾何等章節知識的交匯點，因此受到高考命題者的青睞.但這也成為眾多學生眼里的知識難點，尤其在方法的選擇上存在著很大的盲目性.下面就最近幾年各地高考或模擬試卷上出現的題目做簡要的歸類，希望能給廣大考生提供參考.

一、定義法

所謂定義法，顧名思義就是利用平面向量數量積的定義·=||·||·cosθ（其中與之間的夾角）直接進行運算.

例1：（2005湖南）已知直線ax+by+c=0與圓O：x+y=1相交于A、B兩點，且|AB|=，則·？搖？搖？搖？搖.

解析：易知和的模即為圓的半徑1，而根據直線與圓相交的性質，可以得到兩向量之間的夾角為120°，因此·=1×1×cos120°=-.

例2：（2004浙江）已知平面上三點A、B、C滿足||=3，||=4，||=5，則·+·+·的值等于？搖？搖？搖？搖.

解析：盡管該題目的解法較多，但是從定義入手還是比較直觀明朗的：

·=||×||×cos（π-B）=-12cosB=-12×=0

·=||×||×cos（π-C）=-20cosC=-20×=-16

·=||×||×cos（π-A）=-15cosA=-15×=-9

最后，三者相加為-25.需要提醒學生的是本題中各個向量之間的夾角，一定要平移到“共起點”再運算.

小結：用定義來計算平面向量的數量積，思維較為單一，目標十分明確，該類題目的關鍵是要明確兩個向量各自的模跟兩者夾角的大小.但是，參照近幾年全國各地的高考試題，很多考查數量積的題目，其涉及的模和夾角并不明朗.因此，處理平面向量數量積的另一個重要手段便呼之欲出.

二、分解轉化法

所謂分解轉化法，即在具體問題中，根據原有圖形對所求問題中涉及的向量進行分解，化為用一組基底表示的向量處理.如果能合理地選擇基底，該方法便能大大減少運算量，達到事半功倍之效果.

但是，筆者在日常的教學過程中發現很多學生對分解轉化較為生疏，尤其在基底的選擇上存在著很大的困惑.下面就近幾年來各地模考卷及高考試題中出現的數量積問題作簡要分析.

例3：在平行四邊形ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠BAD=60°，E為CD的中點，則·=？搖？搖？搖 ？搖.

解析：本題中無論是還是的模都不清楚，兩者的夾角也不明確，因此用定義法顯然是不合適的.但是根據向量加法的定義，可以得到=+=+，=+，這樣，所求數量積中涉及的兩個向量都與已知條件中的AB和AD產生了聯系，問題自然就能輕松解決：·=--·=1-2-×1×2×cos50°=-.

例4：如圖，扇形AOB的弧的中點為M，動點C，D分別在線段OA，OB上，且OC=BD.若OA=1，∠AOB=120°，則·的取值范圍是？搖？搖 ？搖？搖.

解析：本題中已知的量是半徑MO，因此盡可能把所求的和向靠攏.根據向量加法，易得到·=（+）（+）=+·+·+·，設OC=x，則OD=1-x，·=1+（1-x）cos120°+xcos120°+x（1-x）cos120°=x-x+，由x∈[0，1]得·的取值范圍為[，].

例5：（2008年蘇州市一模）已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為，點A，B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點，點O到直線AB的距離為，

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）已知點E（3，0），設點P、Q是橢圓C上的兩個動點，滿足EP⊥EQ，求·的取值范圍.

解析：（1）略，橢圓方程為+=1.

（2）由于P，Q兩點都是動點，很顯然無法通過定義直接表示·.這時要抓住EP⊥EQ這一核心條件，將向量轉化成跟與有關的結果，即·=（+）=，從而將所求的量轉化成兩點之間的距離的運算.設P（x，y），則=（x-3）+y，由y=9-x得·=x-6x+18=（x-4）+6，由于-6≤x≤6，因此·的取值范圍為[6，197e19a2a74dae14317cf76162257064a9e451b50ffe054cb2dfadf7c269b3d181].

例6：（2012年上海高考）在平行四邊形ABCD中，∠A=，邊AB、AD的長分別為2、1.若M、N分別是邊BC、CD上的點，且滿足=，則||·||的取值范圍是？搖？搖 ？搖？搖.

解析：本題中與已知條件有關的向量是和，因此就找到了、的化簡方向.記==λ（0≤λ≤1），則 =λ，=（1-λ）.結合向量的加法得到·=（+）（+）=（+λ）[+（1-λ）]=（1-λ）+λ+[1+λ（1-λ）]·.再由向量數量積的定義得到·=1，經整理，·=λ-2λ+5（0≤λ≤1），所以當λ分別等于0和1時，·取得最大值5和最小值2.

小結：該方法的實質就是化歸思想的體現.根據上述幾例不難發現，基底的選擇往往與題目中的已知條件有著密切的聯系.因此處理該類問題時，可以根據向量加法及數乘等知識，將所求數量積中的向量跟已知量（通常是某些圖形的邊長）聯系起來，再通過一系列展開化簡，問題便能迎刃而解.

三、解析法

解析法是基于向量的坐標表示、通過建立合適的直角坐標系來求數量積的方法.由于該方法不用太多轉化，因此很多學生在解決平面向量數量積的時候比較傾向于這一方法.

例7：在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，點M、N分別是AB、BC的中點，點P是△ABC（包括邊界）內任一點，求·的范圍.

解析：雖然易求得||=，但||、與的夾角不易求得，由于△ABC是等腰直角三角形，故可建立平面直角坐標系，將點A，B，C，M，N用坐標表示即可.

具體如下：以C為坐標原點，CA所在的直線為x軸，CB所在直線為y軸，建立如圖所示的坐標系，則C（0，0），A（1，0），B（0，1），M（，），N（0，）.

設P（x，y），則x≥0y≥0x+y≤1.

∴=（-1，），=（x-，y-），

∴·=-1×（x-）+×（y-）=-x+y+.

由線性規劃的知識可得·的范圍為[-，].

例8：（2012年江蘇高考）如圖，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若·的值是，則·的值是？搖？搖 ？搖？搖.

解析：本題中矩形背景為建立直角坐標系提供了便利條件，具體如下：分別以AB、AD在直線為x軸和y軸，則A（0，0），B（，0），C（，），D（0，2），E（，1）.設F（x，2），其中0≤x≤，則·=（，0）·（x，0）=x=，解得x=1，則·=（，1）·（1-，2）=（1-）+2=.

小結：坐標法體現了數與形的相互轉化和密切結合的思想，在解決向量問題的時候有著廣泛的應用，但此類方法也有一定的局限性，確切地說只適合于圖形背景較容易建立直角坐標系（如直角三角形、等腰三角形、圓、扇形等）的題目.否則，不僅僅會帶來計算上的麻煩，甚至可能會走進運算的死胡同.這一點應引起廣大考生的重視.

當然，考生在利用上述方法解題時，應注意到各方法之間的聯系互通，而不應將各個方法孤立起來.譬如例4，也可以通過建立直角坐標系后采用坐標法來解決，而2012年江蘇高考題的第7題，同樣也可以避免建系而改用定義結合三角函數的知識求解.因此，也只有學生認識到各個方法適用的題型，才能對該類問題了然于心，從而選擇最合適的方法獲解.