“銳角三角函數(shù)的簡單應用”的教學實錄及反思

“銳角三角函數(shù)的簡單應用”是蘇科版教材第七章第六節(jié)的內(nèi)容，它是在學生掌握了銳角三角函數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值和解直角三角形的基礎上展開的一節(jié)應用，是解決生活中實際問題的需要，同時也是學生深刻理解銳角三角函數(shù)知識的需要.研究銳角三角函數(shù)的應用，其目的是讓學生用所學知識解決實際生活中的問題，感受生活與數(shù)學的關系，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣，以及應用數(shù)學的意識與能力.這節(jié)課的學習不僅是對已學知識的綜合應用和深化，而且是培養(yǎng)學生理性思維和創(chuàng)新思維的有效途徑.

同時，在研究銳角三角函數(shù)的簡單應用時，需要學生對圖形結(jié)構(gòu)相互關系進行觀察和分析，對圖形整體或部分進行必要的變換.有了前面的知識做鋪墊，學生已經(jīng)建立了各種解直角三角形的知識儲備和一定的推理能力基礎，有能力采用直觀與理性相結(jié)合的方式學習本節(jié)內(nèi)容.

一、教學實錄

上課開始，屏幕上以動畫形式播放一個氣球在天空停留，一學生站在A點處觀測氣球，測得仰角為30°，然后他向著氣球的方向前進了100m，此時小明再次觀測氣球，仰角為45°，若小明的眼睛離地面1.6m，小明如何計算氣球的高度呢？（精確到0.1m）

教師與學生一起畫出草圖，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，學生一起看圖，逐一說出問題中的已知量與未知量.

師：要計算CD，可以利用Rt△CBE和Rt△CAE，先找出BE、CE與已知量的關系？

生：可以設CE長為xm，則在Rt△CBE中，由“等角對等邊”可知BE=CE=xm，AE=（100+x）m，然后在Rt△CAE中，利用tan30°=，算出x+1.6的值，即為旗桿的高度.

師：根據(jù)上述方程，大家以最快的速度解這個方程，不會的相互幫忙一下.

點評：以上的分析過程簡潔明了，根據(jù)30°角的正切值列出方程也很容易理解，但是具體在解這個方程的過程中，學生卻遇到了很大的麻煩。有很多學生不會解決此類方程，因為方程中x的系數(shù)帶有根號，而且要先移項，再合并同類項，最后還要經(jīng)歷分母有理化的過程，分母有理化本身是書本上的選修內(nèi)容，中間還滲透了平方差公式，對于一些對平方差公式不熟練的學生而言，這是解此類方程的一個難點.

教師邊引導學生解方程的一般步驟，邊引導學生找出分母的有理化因式，從而保證結(jié)果的最簡，師生一起努力共同完成解答過程.

生：解：設CE長為xm，在Rt△CBE中，

∵∠CEB=90°，∠CBE=45°，

∴∠CBE=∠BCE=45°，

由“等角對等邊”可知BE=CE=xm，AE=（100+x）m，

在Rt△CAE中，∠CEA=90°，tan∠CAE=，

∴tan30°=，

即=

∴3x=100+x

∴（3-）x=100

∴x===50（+1）

∴CD=CE+DE=50（+1）+1.6≈138.2m.

教師點評：這一種方案是先在Rt△CBE中設未知數(shù)，再根據(jù)“邊角關系”用的代數(shù)式表示BE，從而表示AE，最后在Rt△ACE中利用tan30°的函數(shù)值列出方程，從而達到解決問題的目的.除了用以上方法解決問題外，同學們觀察一下圖形的特點，能否找出已知線段與未知線段之間存在的相等關系？

生：AE-BE=AB.

師：能否根據(jù)這一相等關系列方程呢？大家先獨立研究，然后把自己的研究成果與同組同學交流.

學生開始探究，教師巡視.巡視過程中發(fā)現(xiàn)大部分同學能利用第一種方案中的兩個直角三角形展開思維，也有的同學在“AE-BE=AB”的基礎上重新設未知數(shù)，結(jié)果得出的方程與第一種方案一致.

師：請想出不同方案的同學把你的研究成果寫在黑板上，其他小組進行補充.

全體同學一起努力，最后得到如下結(jié)果：

設CE=xm，在Rt△ACE中，∠AEC=90°，

∵tan30°=，∴AE==x.

在Rt△CBE中，∠CEB=90°，∵tan45°=，∴BE==x，由AE-BE=AB可知，x-x=100，∴（-1）x=100，∴x===50（+1）.

教師總結(jié)：以上給出了兩種方案，從解題的技巧和解題方法來看，第一種方案利用小Rt△BEC的邊角關系設未知數(shù)，再由大Rt△AEC的邊角關系列方程，由內(nèi)而外地展開大家很容易理解，但是得出方程后解此方程有一定的困難.第二種方案由兩個直角三角形同時進行，利用邊角關系表示AE，BE，再根據(jù)“AE-BE=AB”直接列出方程，而且這個方程比第一種方案中的方程容易解，由此評價方案二比較可行，但是方案二中表示AE，BE時必須注意方式方法.

師：將問題中的特殊角改為27°與40°，其他數(shù)據(jù)不變，求氣球的高度，選擇一種你認為比較合適的方案，自己先試一試.

（在巡視的過程中，選兩位用不同方法解答完成的學生上黑板板演.）

生甲：設CE=xm，

在Rt△BEC中，∠BEC=90°，∵tan40°=，∴BE==.

在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∵tan27°=，∴AE==.

∵AE-BE=100，∴-=100.

∴tan40°x-tan27°x=100·tan27°·tan40°.

∴x=.

生乙：設CE=xm，

在Rt△BEC中，∠BEC=90°，

∵tan40°=，∴BE==.

在Rt△AEC中，∠AEC=90°，

∵tan27°=，∴tan27°=.

∴100·tan27°+=x.

∴100·tan27°·tan40°+tan27°·x=tan40°·x.

∴x=.

教師與學生一起點評，生甲的方案是建立在“AE-BE=100”的基礎上進行的，方程比較簡單，解題的過程簡潔明了.生乙的方案是由內(nèi)而外展開，由小Rt△BEC內(nèi)的邊角關系設未知數(shù)，由大Rt△AEC的邊角關系列方程，所列方程稍微有點復雜，但是只要細心，照樣可以解出答案.

師：大家有沒有發(fā)現(xiàn)這兩個直角三角形有著一條公共的邊呢？

生：有，是線段CE.

師：能否根據(jù)公共邊相等列方程呢？此時設哪條線段為未知數(shù)比較合適呢？

生：設BE=xm，則AE=（100+x）m，在Rt△BEC中，∠BEC=90°，∵tan40°=，∴CE=BE·tan40°=x·tan40°.

在Rt△AEC中，∠AEC=90°，

∵tan27°=，

∴CE=AE·tan27°=（100+x）·tan27°，

∴x·tan40°=（100+x）·tan27°.

解得x=.

∴CE=·tan40°=.

最后求出氣球的高度即可.

教師總結(jié)：本節(jié)課我們主要研究了銳角三角函數(shù)的簡單應用，學會了從各種不同的角度分析問題，抓住問題的突破口，步步逼近.今天我們一起探究了解決銳角三角函數(shù)的三種方案：方案一，由內(nèi)而外，利用三角函數(shù)列方程求解；方案二，根據(jù)兩線段之差等于已知線段列方程求解；方案三，抓住兩個三角形的公共邊列方程.這三種方案各有千秋，平時解題時我們要具體問題具體對待.

二、總評

1.本節(jié)課最大的“亮點”：在數(shù)學教學中，教師有意識地引導學生自主探索，合作交流，注重培養(yǎng)學生理性思維的習慣和方法，求解過程不必統(tǒng)一，鼓勵多樣化的解題方法，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識.

2.需要進一步思考的問題：學生在探究的過程中，圖形語言與數(shù)學符號語言相結(jié)合是重要的數(shù)學思想和數(shù)學方法，這一過程需要時間的保證，因此教學內(nèi)容還需要精簡，教學語言還需要精練.