整體思想在初中數學中的應用

摘 要： 整體思想是初中數學中的一種重要思想。本文從五個方面對整體思想在初中數學解題過程中的常見應用舉例分析，使學生進一步感受、理解和掌握整體思想的解題技巧，提高解題能力.

關鍵詞： 整體思想 初中數學 應用

整體思想是初中數學中的一種重要思想，貫穿于初中數學教學的各個階段，是解決好數學問題的一種重要策略.

所謂整體思想，就是在研究和解決有關數學問題時，通過研究問題的整體形式、整體結構、整體特征，從而對問題進行整體處理的解題方法.整體思想涉及的形式較多，這里就通過整體思想在初中數學解題過程中的幾種常見應用方法加以舉例分析，讓我們進一步感受、理解和掌握整體思想的解題技巧，以提高自己的解題能力.

一、整體思想在求代數式的值中的應用

例1：已知a-a-1=0，求a+2a+2012的值.

分析：此題若先從已知條件a-a-1=0中解出a的值，然后代入代數式求解，盡管理論上是正確的，但解答相當麻煩且很困難.若注意到所求代數式與方程的關系，將a-a-1=0轉化為a-a=1，再把a-a看做一個整體，用整體思想進行分析求解，則解題會變得簡單、容易.

解：∵a-a-1=0

∴a-a=1

∴a+2a+2012=a+a+（a+a）-a+2012

=a（a+a）+（a+a）-a+2012

=（a+a）（a+1）-a+2012

=1×（a+1）-a+2012

=2013

例2：已知x=2時，ax+bx+cx-8=10.求當x=-2時，代數式ax+bx+cx-8的值.

分析：由于ax+bx+cx中的x的指數均為奇數，故當x=2和x=-2時，它的值恰好互為相反數，從而可用整體代入的方法求得代數式的值.

解：當x=2時，∵ax+bx+cx-8=10，∴32a+8b+2c=18.①

當x=-2時，ax+bx+cx-8=（-2）a+（-2）b+（-2）c-8=-（32a+8b+2c）-8.

將①式整體代入，得到-（32a+8b+2c）-8=-18-8=-26.

故當x=2時，代數式ax+bx+cx-8的值為-26.

二、整體思想在因式分解中的應用

例3：因式分解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1.

分析：對于這類題目，學生很容易先做整式乘法，把式子（a+2a+2）（a+2a+4）+1展開后得到a+4a+10a+12a+9，要把這個多項式進行因式分解，就必須恰當地運用拆項和乘法公式，這是何等的困難.仔細觀察可以發現式子中前一項的兩個因式中都含有式子a+2a，如果我們把a+2a看成一個整體，展開后就可以得到一個關于a+2a的二次三項式，問題就迎刃而解了.

解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1

=[（a+2a）+2][（a+2a）+4]+1

=（a+2a）+4（a+2a）+2（a+2a）+8+1

=（a+2a）+6（a+2a）+9

=（a+2a+3）

三、整體思想在解方程或方程組中的應用

例4：解方程：（x-1）-5（x-1）+4=0.

分析：如果我們去括號，整理后得到的將是關于x的高次方程x-7x+10=0，要直接解這個方程難度很大.這時我們可以將x-1視為一個整體，設x-1=y，運用整體思想來分析，就可以化難為易.

解：設x-1=y，則原方程可化為

y-5y+4=0

解得y=1，y=4.

當y=1時，x-1=1，解得x=±；

當Y=4時，x-1=4，解得x=±.

∴原方程的解為x=，x=-，x=，x=-.

例5：解方程組：

x+y=5 ①y+z=4 ②z+x=5 ③

分析：解三元一次方程組的基本思路是消元，本題完全可以通過帶入消元法或加減消元法將三元一次方程組轉化為二元一次方程組來解，但這樣比較麻煩.如果我們把三個式子相加，就可以得到x+y+z的值，再把x+y+z看成一個整體分別與方程組中的三個式子相減，就可以求得方程組的解.

解：①+②+③，得

2（x+y+z）=12 ④

④-①，得z=9

④-②，得x=8

④-③，得y=7

∴原方程組的解是x=8y=7z=9.

四、整體思想在解應用題中的應用

例6：若買鉛筆4支，日記本3本，圓珠筆2支，共需10元；若買鉛筆9支，日記本7本，圓珠筆5支，共需25元，則購買鉛筆、日記本、圓珠筆各一樣共需多少元？

分析：本題是要求購買鉛筆、日記本、圓珠筆各一樣共需多少元.如果設鉛筆每支x元，日記本每本y元，圓珠筆每支z元，需要有三個等量關系，才能列出三個方程分別求出x，y，z的值，但本應用題只有兩個等量關系，只能列出兩個方程，這就需要應用整體思想，直接求出的值.

解：設鉛筆每支x元，日記本每本y元，圓珠筆每支z元，依題意得：

4x+3y+2z=10 ①9x+7y+5z=25 ②

②-①，得5x+4y+3z=15 ③

③-①，得x+y+z=5.

答：購買鉛筆、日記本、圓珠筆各一樣共需5元.

五、整體思想在幾何問題中的應用

例6：在如圖所示的星形圖中，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和.

分析：顯然，我們無法分別求出∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度數，但仔細審題后可以發現，題目中并不是分別求出這五個角的值，而是要求“∠A+∠B+∠C+∠D+∠E”這一整體的值，因此我們可以利用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和，把這些角集中到一個三角形內，再利用三角形的內角和定理，就可以使問題得以解決.

解：∠AMN，∠ANM分別是△MCE和△NBD的一個外角.

∴∠AMN=∠C+∠E，∠ANM=∠B+∠D.

在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM=180°，

∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°，

即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.

通過舉例，我們可以看出，整體思想在初中數學中的作用及重要性.在解答某些數學題時，若能用整體思想去考慮，把整體思想滲透到解題中去，就能做到有的放矢，提高數學思維能力及數學解題能力.