數(shù)域F上多項(xiàng)式的最大公因式的講解

魏幗

（蘭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅蘭州730070）

多項(xiàng)式的最大公因式是高等代數(shù)多項(xiàng)式中的重要教學(xué)內(nèi)容，本文在一般數(shù)域上討論多項(xiàng)式的最大公因式，得出的結(jié)論適用范圍較廣。我們選擇的教學(xué)內(nèi)容包括：（1）公因式及最大公因式的定義；（2）最大公因式的性質(zhì)；（3）輾轉(zhuǎn)相除法求解兩個多項(xiàng)式的最大公因式；（4）相關(guān)題型的一題多解。

公因式、最大公因式：（1）若f（x），g（x），h（x）∈F［x］，且|f（x），h（x）|g（x），則稱h（x）為f（x）與g（x）的一個公因式。（2）若f（x），g（x），d（x）∈F［x］，且（Ⅰ）d（x）是f（x）與g（x）的一個公因式；（Ⅱ）f（x）與g（x）的每一個公因式都是d（x）的因式；則稱d（x）為f（x）與g（x）的一個最大公因式。

定理：F［x］對中任意兩個多項(xiàng)式f（x），g（x），則（1）f（x）與g（x）的最大公因式一定存在；（2）若d（x）是f（x）與g（x）的一個最大公因式，那么cd（x）（c是F中非零常數(shù)）也是f（x）與g（x）的最大公因式，且f（x）與g（x）也只有這樣的最大公因式。

由此知，（1）若f（x）=g（x）=0，則最大公因式為零多項(xiàng)式；（2）若f（x），g（x）不全為零，則最大公因式不等于零。記f（x），g（x）的首系數(shù)為1的最大公因式為（f（x），g（x）），則（f（x），g（x））唯一。

最大公因式的性質(zhì)：設(shè)f（x），g（x）∈F［x］，d（x）是f（x）與g（x）的一個最大公因式，則存在u（x），v（x）∈F［x］，使得f（x）u（x）+g（x）v（x）=d（x）。

輾轉(zhuǎn)相除法是求兩個多項(xiàng)式的最大公因式的一般方法，在每次作除法時用的是帶余除法。它的原理和一般實(shí)例可以參見《高等代數(shù)》，為了運(yùn)算的簡化，我們可以用一個非零常數(shù)去乘被除式或者除式。這種方法不僅在輾轉(zhuǎn)相除法的開始可以用，而且在輾轉(zhuǎn)相除的過程中也可以用，對計算的結(jié)果并無影響。

例1：求f（x）與g（x）的最大公因式，其中f（x）=x4+x3－3x2－4x－1，g（x）=x3+x2－x－1

解：用輾轉(zhuǎn)相除法來求：

由于兩個多項(xiàng)式的最大公因式是這兩個多項(xiàng)式輾轉(zhuǎn)相除時最后不為零的余式，而在相除的一開始或中途，對除式或被除式乘以非零的常數(shù)，對余式來說僅是零次因式的差異，所以為了避免分?jǐn)?shù)系數(shù)計算時的麻煩，允許對除式或被除式乘以非零常數(shù)。

此題可按如下進(jìn)行：

所以（f（x），g（x））=x+1。

例2：證明：如果d（x）|f（x），d（x）|g（x）且d（x）是f（x）與g（x）的一個組合，那么d（x）是f（x）與g（x）的一個最大公因式。

證法1：設(shè)f（x）=d（x）f1（x），g（x）=d（x）g1（x），由假設(shè)d（x）=f（x）u（x）+g（x）v（x），（*）其中u（x），v（x）是F上的多項(xiàng)式。

（1）若d（x）=0，則f（x）=g（x）=0，結(jié)論正確。

（2）若d（x）≠0，從（*）式兩邊消去d（x），得f1（x）u（x）+g1（x）v（x）=1，即（f1（x），g1（x））=1。又由假設(shè)知d（x）是f（x），g（x）的公因式，因此d（x）是f（x）與g（x）的一個最大公因式。

證法2：因d（x）是f（x）與g（x）的一個組合，故存在u（x），v（x）使得d（x）=f（x）u（x）+g（x）v（x）。設(shè)h（x）是f（x）與g（x）的任一公因式，由上式知，h（x）|d（x），再由d（x）是f（x），g（x）的公因式的假設(shè)知，d（x）是f（x）與的一個最大公因式。

證法3：由題設(shè)知d（x）是f（x）與g（x）的一個公因式，設(shè)（f（x），g（x））=k（x），則d（x）|k（x）。又因d（x）是f（x）與g（x）的一個組合，所以k（x）|d（x），從而d（x）=ck（x），c為非零常數(shù)，于是d（x）也是f（x）與g（x）的一個最大公因式。

［1］張禾瑞，郝鈵新．高等代數(shù)［M］．北京：人民教育出版社，1979．

［2］張建初，王宗堯．高等代數(shù)課程體系和教學(xué)內(nèi)容改革研究——工科優(yōu)秀生理科訓(xùn)練的嘗試［J］．化工高等教育，2003，（3）．