中考壓軸題中如何構建直角三角形

　　摘要：構建直角三角形是中考壓軸題常考的考點，很多學生對此束手無策.本文通過一個淺顯的例子，探索構建直角三角形的萬能模型——兩切線夾一圓模型，通過建立該模型，可以很容易地解答只要求符合條件的點的個數(shù)的題目.對于壓軸題來說，可以利用該模型直觀地給出分類解題的思路，且不會出現(xiàn)漏解或者多解的情況.
　　關鍵詞： 中考壓軸題兩切線夾一圓模型直角三角形
　　
　　歷年來的中考數(shù)學壓軸題中都有涉及構建直角三角形的問題，且有逐年增加的趨勢.以近幾年的中考題為例，很多省市的壓軸題涉及了構建直角三角形，比如2012廣東廣州，2012浙江杭州，2011遼寧沈陽，2012重慶等十多個省市的壓軸題.解這類題需要運用數(shù)形結合思想，先從形上感受如何得到直角三角形，再從數(shù)的方面計算出符合要求的答案.
　　一、以形快速體驗
　　對于構建直角三角形的題目，一些學生不知道如何入手，最常見的問題是產(chǎn)生漏解.我們先看下面這個看似與壓軸題無關但是很重要的題目.這道題是根據(jù)2010年南通市中考題中的選擇題改編的.
　　例1:（改編題）在平面直角坐標系xOy中，已知點P（-2，-2），R（5，5），點Q在y軸上，△PQR是直角三角形，則滿足條件的點Q共有（ ）
　　A.5個B.4個C.3個D.2個
　　如何快速簡單地將所有符合要求的點都找出來呢?這就要講究技巧.市場上出版的書籍和其他任何書籍都很少涉及這方面的技巧.題目是已知兩點（假設為點A，點B），找直角三角形的第三個點.很多同學知道過一點（點A或點B）作線段AB的垂線，只有極少數(shù)同學會以AB為直徑作圓.大部分同學都找不出所有符合要求的點.
　　這里探討迅速找出所有符合要求的點的方法.首先，分別過點A和點B作線段AB的垂線.然后以AB為直徑作圓.這樣除線段AB之外的所有點都符合要求（如圖1）.
　　有了上面那個圖形，我們就得到一個萬能的和已知兩點構建直角三角形的基本圖形.圖1中除線段AB外，其他任何一點都與點A和點B構成直角三角形，并且圖1外的其他任何一點和點A點B都不構成等腰三角形，我們把這個圖形叫做“兩切線夾一圓模型”，當點A點B是定點的時候，答案顯而易見.這個模型可以在幾何畫板里制成自定義工具.
　　再回到剛才的例1，將“兩切線夾一圓模型”套進去，可立即得出答案，如圖2.
　　從圖2中可以看出，在y軸上共有4個點和點P、點R構成直角三角形，所以答案為B.
　　接下來讓我們看看中考壓軸題真題，體會“兩切線夾一圓模型”的“威力”.
　　例2：（2012湖南邵陽）如圖3所示，直線y=-■x+b與x軸相交于點A（4，0），與y軸相交于點B，將△AOB沿著y軸折疊，使點A落在x軸上，點A的對應點為點C．
　　（1）求點C的坐標.
　　（2）設點P為線段CA上的一個動點，點P與點A、C不重合，連接PB，以點P為端點作射線PM交AB于點M，使∠BPM=∠BAC，
　　①求證：△PBC∽△MPA.
　　②是否存在點P使△PBM為直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　圖3圖4
　　分析:第一個問題是送分題，直接可以看出答案.第二個問題的第一小問也不難，先證明∠PMA=∠BPC，再利用兩角對應相等證明兩個三角形相似即可.第二小問就可以用“兩切線夾一圓模型”了.在幾何畫板中以點P點M構建“兩切線夾一圓模型”，移動點P，使“兩切線夾一圓模型”經(jīng)過點B，可以發(fā)現(xiàn)有兩種情況出現(xiàn)，△PBM是直角三角形，如圖4、圖5.這給我們進行分類討論提供了直觀的思路（其中有個答案可以直接看出來），防止出現(xiàn)漏解.
　　規(guī)范解答:（1）解：∵A（4，0），且點C與點A關于y軸對稱，∴C（﹣4，0）．
　　（2）①證明：∵∠BPM=∠BAC，且∠PMA=∠BPM+∠PBM，∠BPC=∠BAC+∠PBM，
　　∴∠PMA=∠BPC．
　　又∵點C與點A關于y軸對稱，且∠BPM=∠BAC，
　　∴∠BCP=∠MAP．
　　∴△PBC∽△MPA．
　　②存在．
　　解：∵直線y=-■x+b與x軸相交于點A（4，0），
　　∴把A（4，0）代入y=-■x+b，得b=3，∴y=-■x+3，∴B點坐標為（0，3）．
　　當∠PBM=90°時，則有△BPO∽△ABO
　　∴■=■，即■=■，∴PO=■，即P■坐標為（-■，0）．
　　當∠PMB=90°時，則∠PMA=90°（如圖）．
　　∴∠PAM+∠MPA=90°．
　　∵∠BPM=∠BAC，
　　∴∠BPM+∠APM=90°．
　　∴BP⊥AC．
　　∵過點B只有一條直線與AC垂直，
　　∴此時點P與點O重合，即：符合條件的點P2的坐標為（0，0）．
　　∴使△PBM為直角三角形的點P有兩個，P■（-■，0），P■（0，0）．
　　二、數(shù)形結合不漏解
　　有些題目有多個答案，學生解題時容易出現(xiàn)漏解的情況.我們先以“兩切線夾一圓模型”了解答案的個數(shù)，然后根據(jù)情況分類討論，這樣就不會出現(xiàn)漏解的情況.
　　例3：（2011年沈陽市）如圖6，已知拋物線y＝x■+bx＋c與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C（0，-3），對稱軸是直線x＝1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點D．
　　（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
　　（2）求直線BC的函數(shù)表達式；
　　（3）點E為y軸上一動點，CE的垂直平分線交CE于點F，交拋物線于P、Q兩點，且點P在第三象限．
　　①當線段PQ=■AB時，求tan∠CED的值；
　　②當以C、D、E為頂點的三角形是直角三角形時，請直接寫出點P的坐標．
　　溫馨提示：考生可以根據(jù)第三問的題意，在圖中補出圖形，以便作答.
　　分析:第一個問題比較簡單，將拋物線設為頂點式，再將點C的坐標代入即可求得拋物線的函數(shù)表達式.可以先用對稱軸公式求出b的值，再將點C代入c的值即可求得答案.第二個問題也不難，先在拋物線中令y=0，解出方程即可求得點B的坐標，再用待定系數(shù)法可以求出直線BC的函數(shù)表達式.第三個問題是考查學生思維能力的問題，關鍵是求出點E的坐標和使用“兩切線夾一圓模型”及數(shù)形結合思想.如圖7.
　　規(guī)范解答：（1）設拋物線的函數(shù)表達式為y=(x-1)■+n，將點C（0，-3）代入，得n=-4.
　　∴拋物線的函數(shù)表達式為y=(x-1)■-4=x■-2x-3.
　　（2）由y=x■-2x-3=(x+1)(x-3)，知A（-1，0），B（3，0）．設直線BC的函數(shù)表達式為y=kx+b，代入點B（3，0）和點C（0，－3），得3k+