問渠那得清如

　　平面幾何教學在初中數學教學中占有重要地位.面對紛繁復雜的題型，教師該如何把握，才能提高教學效率，減輕學生的負擔，真正體現素質教育呢？筆者認為充分挖掘課本中定理教學價值，不失為一個可行的辦法.下面我結合浙教版八（下）6.1矩形中的三個定理的教學證明做探討，以期拋磚引玉.
　　定理1：矩形對角線相等.
　　方法1：已知四邊形ABCD是矩形，求證：AC=BD.
　　（引導學生分析：證兩條不在同一個三角形中的兩條線段相等，最為常用的方法是證兩個三角形全等.這里只要證△ABC≌△BAD.）
　　證明：∵四邊形ABCD是矩形
　　∴∠ABC=∠BAD=90°，DA=CB
　　∵AB=BA
　　∴△ABC≌△BAD（SAS）
　　∴BD=AC
　　方法2：已知四邊形ABCD是矩形，求證：AC=BD.
　　（引導學生分析:由于矩形中有直角，因而可考慮用勾股定理證明.）
　　證明：∵四邊形ABCD是矩形
　　∴∠ABC=∠BAD=90°，DA=CB
　　在Rt△ABC和Rt△BAD中
　　∵BD=■，AC=■，
　　∴BD=AC
　　方法3：已知四邊形ABCD是矩形，求證：AC=BD.
　　（引導學生分析:因為AO=■AC，BO=■BD，所以只要證AO=BO.）
　　證明：∵四邊形ABCD是矩形
　　∴∠ABC=90°，AO=■AC，BO=■BD
　　∴O為AC中點，又△ABC為直角三角形
　　∴BO=■AC
　　∴AC=BD
　　方法4：已知四邊形ABCD是矩形，求證：AC=BD.
　　（引導學生分析:因為OA=■AC，OB=■BD，所以只要證AO=BO，即證三角形為等腰三角形.）
　　證明：取AB中點E，連接OE
　　∵四邊形ABCD為矩形
　　∴∠ABC=90°，OA=■AC，OB=■BD
　　∴O為AC的中點，又E為AB的中點
　　∴OE∥BC
　　∴∠OEA=∠ABC=90°
　　∴OA=OB（中垂線的性質）
　　∴AC=BD
　　方法5：已知四邊形ABCD是矩形，求證：AC=BD.
　　（引導學生分析:考慮到AC和BD不在同一個三角形中，是否考慮通過平移將它們放到同一個三角形中證明.）
　　證明：過C作CO∥BD交BD延長線于點O.
　　∵四邊形ABCD是矩形
　　∴∠ABC=90°，CD=AB，CD∥AB
　　∵CO∥BD
　　∴四邊形BOCD為平行四邊形.
　　∴BO=CD，CO=BD
　　∴AB=BO
　　∵CB⊥AB
　　∴CA=CO（中垂線的性質）
　　∴CA=BD
　　方法6：已知四邊形ABCD是矩形，求證：AC=BD.
　　（引導學生分析:考慮到AC和BD不在同一個三角形中，是否考慮通過先作一個以AC為腰的等腰三角形ACO，再證CO等于BD.）
　　證明：延長AB到O使AB=BO.
　　∵四邊形ABCD是矩形
　　∴∠ABC=90°
　　∵AB=BO
　　∴AC=CO
　　∵CD=AB，CD∥AB又BO=AB
　　∴CD=BO，CD∥BO
　　∴四邊形BOCD為平行四邊形
　　∴CO=BD
　　∴AC=BD
　　綜上，對于定理1的證明共用了6種方法，引導學生歸納證明兩條線段相等的一般方法.第一，三角形全等；第二，在同一個三角形中等角對等邊；第三，可以引進中間量；第四，如在直角三角形中還可考慮用勾股定理；第五，在平面直角坐標系中，還可用兩點之間的距離公式.接下來繼續探討本節第二課時的另一個定理的證明.
　　定理2：直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半.
　　方法1：已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為斜邊AB上的中線，求證：CD＝■AB.
　　（引導學生分析:要證CD＝■AB，那么CD延長使DE=CD，只要證CE=AB.引導學生總結中點倍延為處理該類問題的基本方法.也可以將△ADC繞點D旋轉180°.）
　　證明：延長CD使CD＝DE，連接BE，AE
　　∵DE=CE，AD=BD
　　∴四邊形ABCD為平行四邊形
　　∵∠ACB=90°
　　∴平行四邊形ABCD為矩形.
　　∴AB=CE
　　∴CD＝■AB
　　方法2：已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為斜邊AB上的中線，求證：CD＝■AB.
　　（引導學生分析:要證CD＝■AB，而BD＝■AB，那么只要證BD=CD，D為AB中點，故取BC中點E構造中位線.）
　　證明：取BC中點E，連接DE.
　　∵D為AB的中點，E為BC中點
　　∴DE∥AC
　　∵∠ACB=90°
　　∴∠DEB=∠ACB=90°
　　∴DE⊥BC
　　∴BD=CD
　　∴CD=■AB
　　方法3：已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為斜邊AB上的中線，求證：CD＝■AB.
　　（引導學生分析:要證CD＝■AB，考慮到AB邊的中位線為AB的一半，那只要證CD等于其中位線即可.）
　　證明：取BC，AC中點E，F，連接DE，DF，EF.
　　∵D，E為AB，BC的中點
　　∴DE∥AC，DE=■AC
　　∵FC=■AC
　　∴DE∥FC，DE=FC
　　∴四邊形DECF為平行四邊形
　　∵∠ACB=900
　　∴平行四邊形DEFC為矩形
　　∴CD＝EF
　　∴CD=■AB
　　方法4：已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為斜邊AB上的中線，求證：CD＝■AB.
　　（引導學生分析:要證CD＝■AB，那么構造CD為三角形的中位線，也可將△ABC沿AC作軸對稱圖形.）
　　證明：延長BC到E使CE＝BE，連接AE.
　　∵D為AB中點，CE=BC
　　∴CD=■AE
　　∵∠ACB=90°，CE=BC
　　∴AB=AE（中垂線的性質）
　　∴CD=■AB
　　綜上，對于定理3的證明共用了4種方法，引導學生總結證一條線段為另一條線段的一半常用的方法.第一，倍延較短的線段；第二，取較長線段的一半；第三，構造中間量.對于中點問題常用兩種方法，第一，倍延中線；第二，作中位線.
　　總之，在定理的教學中應加強方法的指導，力爭一題多解、一題多用，培養學生分析問題、解決問題的能力，啟發學生積極地思考，從而真正實現輕負高效.