二次函數在數學競賽中的應用

【摘要】分類例析數學競賽中二次函數相關問題的應用及其解答策略。

【關鍵詞】二次函數 性質 數學競賽 應用

二次函數是中學數學中重要的知識點之一，它是解決一些實際問題的有效工具，二次函數本身也蘊含著豐富的內涵和外延，因此，在近幾年的各類數學競賽中，有關二次函數的試題頻頻出現，并有不斷拓寬和加深的趨勢，那么本文就通過一些實際例子來說明有關二次函數的問題在數學競賽中的應用及其解決方法。

1 二次函數的表達式與性質

1.1 二次函數的三種常用表達式

① 一般式： y=ax2+bx+c（a≠0），圖像的對稱軸是直線 x=-b2a，頂點坐標是 （-b2a，4ac-b24a）；

② 頂點式：y=a（x-x0）2+h（a≠0） ，圖像的對稱軸是 x=x0，頂點坐標是（x0，h ）；

③ 交點式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0） ，其中 x1，x2 是方程 ax2+bx+c=0的兩根，圖像的對稱軸是 x=x1+x22。

一般情況下應用二次函數表達式解題時應注意：

（1） 已知點為一般情形的三個點坐標時，應首先選用一般式；

（2） 已知頂點坐標或對稱軸時，應首選頂點式；

（3） 已知點坐標為拋物線與 軸的交點或是對應二次方程的根時，應首選交點式。

根據已知條件的不同選取不同的方法，有利于簡化解題過程。

1.2 二次函數的性質

二次函數 y=ax2+bx+c（a≠0）的單調區間的劃分依賴于對稱軸和開口方向。當 a>0時，二次函數y=ax2+bx+c 的圖像開口向上， （-∞，-b2a）為單調遞減區間， （-b2a，∞）為單調遞增區間，并在 x=-b2a處取得最小值 4ac-b24a。當 a<0時，二次函數 y=ax2+bx+c的圖像開口向下， （-∞，-b2a）為單調遞增區間， （-b2a，∞）為單調遞減區間，并在 x=-b2a 處取得最大值 4ac-b24a。

1.3 二次函數 y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與 x軸的交點坐標與一元二次方程 ax2+bx+c（a≠0）的根的關系：

2 二次函數在數學競賽中的具體應用

題型1、求二次函數的解析式

例1、已知二次函數 y=x2+2（m+1）x-m+1。

（1） 隨著 m的變化，該二次函數的圖像的頂點 P是否都在某條拋物線上？如果是，請求出拋物線的函數表達式；如果不是，請說明理由。

（2） 如果直線 y=x+1經過二次函數y=x2+2（m+1）x-m+1圖像的頂點 P，求此時 m的值。

分析：這道數學競賽題目就是要考查學生利用二次函數的性質來確定解析式的問題，并要求考生結合已學知識進行求解。二函數的解析式有三種形式，分別為一般式，頂點式及兩根式，我們需要依據題目所給的具體條件選擇適當的表達式，結合函數圖像求出待定系數的值。

解：（1） 該二次函數圖像的頂點 P是在某條拋物線上，下面求該拋物線的函數表達式：

利用配方法得y=（x+m+1）2-m2-3m ，頂點坐標 P（-m-1，-m2-3m）。

令-m-1=x ， 將 m=-x-1代入y=-m2-3m ，得 y=-（-x-1）2-3（-x-1）=-x2+x+2

故拋物線的函數表達式是 y=-x2+x+2

（2） 如果頂點 P（-m-1，-m2-3m）在直線 y=x+1上，即頂點坐標滿足直線方程，則 -m2-3m =-m-1+1 即 m2=-2m。

解得m=0 或 m=-2。

所以當直線 y=x+1經過二次函數 y=x2+2（m+1）x-m+1圖像的頂點P 時， m的值為 -2或 0。

歸納：關于求解二次函數的解析式的問題，我們只要抓住二次函數的三種表示方法，出現頂點可選用頂點式，知道對應方程的兩根可選用兩根式，三種表示方法都可以用，只要計算起來方便即可。

題型2、確定二次函數一般式中系數的符號

二次函數 y=ax2+bx+c（a≠0）的二次項系數 a，一次項系數b ，常數項 c及判別式 =b2-4ac與圖像之間有直接的聯系。

（1）a >0（ a<0）的充要條件是拋物線開口向上（下）；

（2）c>0 （ c<0）的充要條件是拋物線與 軸正（負）半軸相交；

（3）c=0 ，拋物線過原點；

（4） b的符號一般由二次項系數 a和對稱軸的位置確定。

有時也可以考慮圖像的整體性質、特殊點的位置及與二次方程的聯系，結合韋達定理和判別式確定a，b，c， 及系數的代數式符號。

例2、 二次函數 y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖1所示，則下列關系式成立的是（ ）。

（A） abc <0 （B） a+b+c >0

（C） b+2c>0 （D） b2-4ac<0

分析：本題旨在考查學生對二次函數一般式中系數正負性的判斷，只要弄清 a，b，c的符號，問題就能得到解決，因為圖像開口向下，所以a<0 。又圖像與y 軸交于負半軸，則c<0 。由于對稱軸在 y軸的左側，所以x=-b2a<0 ，從而，b<0 ，因此abc<0 ，故選（A） 。

注：當 x=1時，令f（x）= ax2+bx+c（a≠0），則f（1）=a×12+b×1+c=a+b+c ，由已知的圖像得f（1）<0 ，即a+b+c<0 ，而拋物線與 x軸有兩個交點，所以 >0。容易排除 （B） ，（D） ；由于b <0， c<0從而 b+2c<0，所以 （C） 答案錯誤。

歸結：對于判斷二次函數中各系數之間的關系是否成立的問題，可以轉化為判斷二次函數一般式中系數的正負性，結合圖像即可解決問題。

題型3、二次函數中的定點和動點問題

求動點運動所形成的直（曲）線一般采用消去參數法，即消去參數以后的方程即為動點需滿足的函數解析式。

解決定點問題有兩種方法：

（1） 特殊值法，即令參數取兩個符合條件的特殊值，通過解方程組求出解，則解就是定點坐標。

（2） 轉化為參數為主元的方程問題，即方程有無窮多解，得到系數為零的條件再討論解決。

例3、已知點A（0，3） 、B（-2，-1） 、 C（2，-1）， P（t，t2）為拋物線 y=x2上位于 ABC內（包含邊界）的一動點， BP所在直線交 AC于E點 ， CP所在直線交 于F點 。將 BFCE表示為自變量 t的函數。

解：設AB 所在直線為一次函數 y=ax+b的圖像。將 A（0 ，3）、B （ - 2 ， - 1） 代入 y=ax+b 解得 a=2，b=3 。

所以 AB所在直線為一次函數 y=2x+3的圖像。該直線與拋物線 y=x2的交點的橫坐標 x滿足方程 x2=2x+3。解得 x1=-1， x2=3。

類似地可求得 AC所在直線為一次函數y=-2x+3的圖像，該直線與拋物線y=x2 的交點的橫坐標為x3=1 ，x4=-3 。

由于P（t，t2 ）為拋物線 y=x2上位于 ABC 內部的一動點，因此， -1t1。

過點P 作MN∥BC，則BM=CN ，于是，

BFCE=BFBM·CNCE=BCBC-MP·BC-NPBC

=BC-NPBC-MP=BC-[12MN-t]BC-[12MN+t]

=2BC-MN+2t2BC-MN-2t

又 BC=4， MNBC=3-t24，有MN=3-t2 ，故 2BC-MN=8-（3-t2）=t2+5，

因此 BFCE=t2+2t+5t2-2t+5（-1t1）。

題型4、二次函數在閉區間上的最值問題及其利用二次函數的性質解決實際生活中的最值問題

求二次函數 f（x）在閉區間 [m，n]上的最值，看二次函數圖像的開口情況及其對稱軸與閉區間的相對位置關系來判斷二次函數在閉區間 [m，n]上的單調性，進而求最值。具體方法總結如下：

a、設二次函數 f（x）= ax2+bx+c（a >0）

（1） 求函數 f（x）在區間 [m，n]上的最小值。

① 當 [m，n]（-∞，-b2a]，即-b2an 時 f（x）min=f（n）；

② 當 [m，n][-b2a，+∞），即 -b2am時 f（x）min=f（m）；

③ 當 m<-b2a

（2） 求二次函數 f（x）在區間 [m，n]上的最大值。

① 當 -b2am+n2時 f（x）max=f（n）；

② 當 -b2a>m+n2時 f（x）max=f（m）；。

b、 設函數 f（x）= ax2+bx+c（a <0）

（1） 求函數f（x） 在區間 [m，n]上的最大值。

① 當 [m，n]（-∞，-b2a]，即-b2an 時 f（x）max=f（n）；；

② 當 [m，n][-b2a，+∞），即 -b2am時 f（x）max=f（m）；

③ 當 m<-b2a

（2） 求函數 f（x）在區間 [m，n]上的最小值。

① 當 -b2am+n2時 f（x）min=f（n）；

② 當 -b2a>m+n2時 f（x）min=f（m）；。

例4、已知二次函數 f（x）=4x2-4ax+（a2-2a+2）在 0x1上的最小值為2。求a 的值。

解：根據題意將二次函數表達式進行配方得：

f（x）=4（ x-a2）2-2a+2

可知其圖像的開口向上， 且對稱軸為x= a2。即可按其對稱軸x= a2 與閉區間 x[0，1]的三種位置關系分類進行求解。

（1） 當 a2<0，即 a<0時，依題意得

f（x）min=f（0）=a2-2a+2=2

解得 a=0或 2都與 a<0矛盾，所以此時 a不存在。

（2） 當0a21 ，即 0a2時，依題意得

f（x）min=f（a2）=-2a+2=2

解得a=0 。

（3） 當a2 >1，即 a>2時，依題意得

f（x）min=f（1）=4-4a+a2-2a+2=2

解得a=3±5 。因為 a>2，所以a=3+ 5。

綜上所述 a=0或 3+5。

例5、有一種產品的質量要求從低到高分為1，2，3，4共四種不同的檔次。 若工時不變，車間每天可生產最低檔次（即第一檔次）的產品40件，生產每件產品的利潤為16元；如果每提高一個檔次，每件產品利潤可增加1元，但每天少生產2件產品。現在車間計劃只生產一種檔次的產品。要使利潤最大，車間應生產第幾種檔次的產品？

分析：本題為實際生活中的最值問題，要求利潤最大，關鍵在于結合具體數據列出二次函數的表達式，從而利用二次函數求最值的方法進行求解。

解：設車間生產第 x檔次的產品所獲得的利潤為 y元，依題意可知 y=[40-2（x-1）][16+（x-1）]

= -2x2+12x+630

=-2（x-3）2+648

根據二次函數的性質可知，當 x=3時，利潤 y為最大，即為648元。

題型5、 幾何圖形中的二次函數問題

一般情況下，某個封閉圖形的面積是某條線段的二次函數，可通過相似關系、勾股定理、面積關系等幾何工具建立函數的解析式，轉化為函數問題解決。

例6、如圖3，在 ABC 中BC=6，AC=42，∠C=450，P為邊 BC上的動點，過點 P作 PD∥AB交于 AC點D ，聯結 AP。 ABP 、 APD、 CPD 的面積分別記為 S1、 S2、S3 。設BP=x 。

（1） 試用 x的代數式分別表示S1、 S2、S3 ；

（2）當點 P位于 BC上某處使得 APD的面積最大時，你能得出 S1、 S2、S3 之間或 S1、 S2、S3 兩兩之間的哪些數量關系（要求寫出不少于3條） ？

解：（1）過點 P作 PM⊥ AC， AN⊥ BC。由題意可知 BP=x（0

AD=ACBC·BP=42x6=223x，

S1=S ABP=12BP·AN=2x，

S2=S ADP=12AD·PM

= 12×223x×22（6-x）=2x-13x3

S3=S ABC-S1-S2=13（6-x）2

（2） 因 S2=2x-13x2=3-13（x-3）2則當 x=3時 S2取最大值，且最大值為3。

此時 S1=6， S3=3。

因此 S1、 S2、S3 之間的數量關系有

S1=S2+S3 ， S2=S3 ， S1=2S2，S1=2 S3。

例7、 如圖4 ，扇形 AOB是單位圓的四分之一，半圓⊙ O1的圓心O1 在 OA上，并與圖4中AB 內切于A點 ，半圓⊙O2 的圓心O2 在 OB上，并與 AB內切于點B ，半圓⊙ O1 與半圓⊙ O2 相切。設兩圓的半徑之和為x ，面積之和為 y。

（1） 試建立以 x為自變量的函數 y的解析式；

（2） 求函數 y的最小值。

解： （1） 如上圖 ，設⊙O1 、⊙O2 的半徑分別為 R、 r。則

y= 12 π（R2 +r2 ）= 12π[（R+r）2-2Rr]

聯結 O1O2 ，則連心線必過兩圓切點。在 Rt O1OO2中，由勾股定理有 ，（R+r）2=（1-R）2+（1-r）2，即 Rr+R+r=1

故 y=12 π{（R+r）2-2[1-（R+r）]}

=12 π[（R+r）2+2（R+r）-2]

又由題設條件R+r=x 得

y=12π（x2+2x-2）

（2） 因為 R+r2Rr，所以 14（R+r）2Rr

又Rr=1-（R+r ），則 （R+r）2+4（R+r ）-40

因為 R+r0所以R+r2（ 2-1），即 x2（ 2-1）

因此，函數的解析式為

y=12π（x2+2x-2）

當 x=2（ 2-1）時，有最小值 （3-22）π

歸結：本題型是幾何中最值問題，通過建立二次函數模型，應用勾股定理、兩圓相切的性質得到半徑的數量關系，利用平均值不等式求得 的取值范圍，進而求得最小值。

可見，恒成立問題是函數問題中的常見題型，求解此類問題的方法并不唯一，轉化為相應的最值問題比較常用。

綜上所述，本文從求二次函數的解析式，確定二次函數一般式中系數的正負性，二次函數中的定點和動點問題，求區間上的最值、二次函數與二次方程的實根分布，幾何圖形中的二次函數問題五個方面論述了關于二次函數的應用問題，從不同的方面進行了分析，當然不可能面面俱到。只希望做一些淺顯的分析總結，幫助學生熟練掌握此類問題的解題技巧，以便能節省出更多的時間去攻克難題，取得優異的成績，并對以后的教學工作起到很好的輔助作用。

【參考文獻】

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[2] 王盛裕，初中數學競賽中的二次函數相關問題（下）.中等數學

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